Méthode des éléments finis

(« discontinuous Galerkin »). GC. : GlidCopR. AL-60. GFEM. : méthode des éléments finis de Galerkin. (« Galerkin finite element method »). HTS. :

Méthode des éléments finis de Galerkin

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Cette méthode est basée sur une formulation variationnelle de ces problèmes et apparaît alors comme une méthode de Galerkin particulière. Nous nous.

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Méthode des éléments finis - univ-toulousefr

méthode d’éléments ?nis Cette méthode est basée sur une formulation variationnelle de ces problèmes et apparaît alors comme une méthode de Galerkin particulière Nous nous concentrerons sur cet aspect dans ce chapitre 1 Problème en dimension un 1 1 Position générale du problème aux limites La forme générale des pro-

31 Méthode de Galerkin - Maillage et Éléments Finis

Once the requisite properties of the trial/test spaces are identi?ed the Galerkin scheme is relatively straightforward to derive One formally generates the system matrix A with right hand side b and then solves for the vector of basis coe?cients u Extensions of the Galerkin method to more complex systems of equations is also straightforward

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Alexandre Ern Jean-Luc Guermond Eléments finis: théorie applications mise en œuvre Springer Table des matières 1 Introduction 1 1 1 Historique 1 1 2 Organisation du livre 3 1 3 Illustrations numériques 10 Bibliographie 17 1 Fondements 2 Interpolation par éléments finis 21 2 1 Interpolation en une dimension d'espace 21 2 2 Notion

A 4.5.
Soit Omega un ouvert borné de mathbb{R }^d et soit pin [1,+infty [. Alors {fancyscript{D}}(Omega ) est dense dans H^1_0(Omega )cap L^p(Omega ).
Rque 4.2.
Nous savons déjà que {fancyscript{D}}(Omega ) est dense dans H^1_0(Omega ) par définition de H^1_0(Omega ) d’une part et dans L^p(Omega ) d’autre part par convolution par des noyaux régularisants. Le Lemme 4.5 affirme en plus que l’on peut approcher tout élément de l’intersection de ces deux espaces par une suite de fonctions de {fancyscript{...
preuve.
On procède par approximations successives. Soit uin H^1_0(Omega )cap L^p(Omega ). On tronque u à la hauteur k en posant u_{k}=T_k(u). On a par conséquent u_{k}in H^1_0(Omega )cap L^infty (Omega ) et u_{k}rightarrow u dans H^1_0(Omega )cap L^p(Omega ) quand krightarrow +infty grâce au Théorème 3.5. Considérons une suite varphi _{k,m}...
Rque 4.3.
Si uin L^infty (Omega ) alors la construction précédente fournit une suite de fonctions de {fancyscript{D}}(Omega ) qui converge vers u dans H^1_0(Omega ) et dans L^infty (Omega ) faible-*. En effet, toutes les approximations successives sont alors bornées dans L^infty (Omega ) et donc faiblement-* convergentes. On peut en extraire une su...
Rque 4.4.
(i) Le Lemme 4.6 permet de préciser le sens à donner à l’équation aux dérivées partielles du problème (4.7). Étant donné fin H^{-1}(Omega ), on va donc chercher uin H^1_0(Omega )tel que Cette équation a un sens, puisque l’on a abla uin L^2(Omega ;mathbb{R }^d) et -Delta u=-mathrm{{div}},( abla u)in H^{-1}(Omega ). De plus, upartial ...
Rème 4.1.
Soit Omega un ouvert borné de mathbb{R }^d. Pour tout fin H^{-1}(Omega ) il existe une solution uin H^1_0(Omega )du problème 4.7. On commence par construire une base de Galerkin appropriée. Dans la suite s^{prime }prend les valeurs indiquées dans la remarque (ii) qui suit le Lemme 4.6.
A 4.7.
Il existe une famille dénombrable (w_m)_{min mathbb{N }} d’éléments de {fancyscript{D}}(Omega ) dont les combinaisons linéaires sont denses dans H^1_0(Omega )cap L^{s^{prime }}(Omega ).
A 4.8.
Soit V_m=mathop {text{ vect }}{w_0,w_1,w_2,ldots ,w_m}. Le problème : trouver u_min V_mtel que admet au moins une solution. De plus cette solution satisfait
A 4.9.
La limite faible uin H^1_0(Omega )est solution du problème variationnel : En particulier, uest solution du problème 4.7.

Comment calculer la méthode de Galerkin ?

La méthode de Galerkin consiste à « approcher » l’espace fonctionnel V par un espace V h ? V, de dimension finie, mais toujours de Hilbert, et ce pour le même produit scalaire ! La formulation faible (3.1) est alors résolue dans V h uniquement, avec pour solution u h : (3.2) ¶ { Trouver u h ? V h tel que ? v h ? V h, a ( u h, v h) = ? ( v h).

Quelle est la différence entre la méthode des différences finies et de Galerkin ?

La méthode des différences finies discrétise l’opérateur différentiel ( ?) tandis que les éléments finis (issue de la méthode de Galerkin) approche l’espace fonctionnel. C’est une différence majeure !

Comment utiliser la méthode des éléments finis ?

La méthode des éléments finis est basée sur la méthode de Galerkin, ou d’approximation interne. L’idée est d’approcher l’espace fonctionnel H 1 ( ?) par un espace de dimension finie : l’espace éléments finis. Nous nous intéressons à un tel premier espace : P 1 ? Lagrange ou plus simplement P 1, composés des fonctions linéaires par triangles. 3.2.1.

Quel est le point-clé dans l’étude de la convergence d’une méthode de Galerkin?

Le point-clé dans l’étude de la convergence d’une méthode de Galerkin est le résultat simple mais important suivant. Lemme 2.1(LemmedeCéa). Soient ?et ??les solutions respectives des problèmes continu (1.1) et discret (2.8) ; alors, (2.23) ?(???????)=0? ?????? Démonstration.

Méthode

des

éléments finis

A. Bendali

Toulouse - 2013

Département GMM

4ème année Orientation MMN

Méthode

des éléments finis

A. Bendali

Département de génie mathématique

E-mail : abendali@insa-toulouse.fr

Table des matières

Préfacev

Chapitre 1. Notions élémentaires sur la théorie des problèmes aux limites elliptiques 1

1. Problème en dimension un 1

2. Problèmes en dimension supérieure 7

Chapitre 2. Problèmes variationnels abstraits 13

1. Théorie élémentaire des problèmes variationnels 13

2. La méthode de Galerkin 16

Chapitre 3. Introduction à la méthode des élémentsfinis 21

1. Principesdebase 21

2. Elémentsfinisusuelsdeplusbasdegré 26

3. Notion d'élémentfini 31

Chapitre 4. Mise en oeuvre de la méthode d'élémentsfinis 33

1. Structure de données d'un maillage 33

2. Maillage et conditions aux limites 35

3. L'assemblage 36

Chapitre 5. Eléments d'analyse fonctionnelle 49

1. Le théorème de Riesz 49

2. Convergence faible 51

3. Compacité faible 55

4. Opérateurs compacts 57

5. Applications 58

Chapitre 6. Systèmes et problèmes d'ordre supérieur 61

1. Systèmes de l'élasticité 61

2. Problèmes du quatrième ordre 65

Chapitre 7. Problèmes dépendant du temps 71

1. Problèmes modèles d'évolution 71

2. Semi-discrétisation en espace 72

3. Schémas en temps 75

4. Analyse modale 77

iii

Préface

L'objet de ce cours est d'introduire les notions de base de résolution des équations aux

dérivées partielles par la méthode des élémentsfinis. Depuis son introduction au milieu

du XX

ème

siècle, cette méthode est devenue l'outil de base dans la résolution des équa-

tions aux dérivées partielles qui interviennent dans les études scientifiques ou techniques.

Conçue initialement comme un procédé de calcul en mécanique des structures, c'est sa formalisation qui a permis de l'étendre ecacement à des domaines complètement dié- rents comme la mécanique desfluides ou l'électromagnétisme. Nous prenons en quelque sorte l'édifice sous sa forme achevée : nous introduisons cette méthode sous sa forme de procédé général de résolution. La formalisation ci-dessus est basée sur une formulation variationnelle des problèmes d'équations aux dérivées partielles, posées sur un domaine deR (3généralement dans les problèmes d'ingénierie), qui avec des conditions appropriées sur la solution au bord de ce domaine, sont nommés problèmes aux limites. La méthode des élémentsfinis apparait alors comme une méthode de Galerkin particulière. Ce formalisme nous permet- tra, non seulement d'avoir un cadre général pour la description de cette méthode, mais en plus de bien comprendre ses limites de validité : en particulier, les situations où elle engendre un procédé de résolution instable. Contrairement, cependant, à une présentation orientée essentiellement vers la descrip-

tion des propriétés mathématiques de cette méthode, nous détaillerons la mise en oeuvre

numérique et les principes de programmation des algorithmes induits qui sont aussi im- portants en ingénierie que ses performances en tant que procédé d'approximation. Nous commencerons par les problèmes dits elliptiques qui, en ingénierie, modélisent des phénomènes où le tempsn'est pas un paramètre : ce sont les problèmes statiques, c'est à dire, décrits par des variables constantes au cours du temps, ou des phénomènes stationnaires où la dépendance en temps est connue a priori. Nous verrons ensuite com- ment étendre cette méthode aux problèmes évoluant au cours du temps à partir d'une condition initiale. Notre objectif dans ce cours a été de ménager un équilibre entre les aspects mathéma- tiques, qui sont importants pour une réelle compréhension de la méthode et son utilisation avec ecacité dans des situations non cataloguéesapriori, et les aspects d'implémentation numérique dont l'importance est de premier plan. Les retours sur cet enseignement, qui sont fortement sollicités, permettront de mesurer le niveau de réalisation de ce programme. v

CHAPITRE 1

Notions élémentaires sur la théorie des problèmes aux limites elliptiques Nous introduisons dans ce chapitre la notion de problème aux limites elliptique. Même en se limitant aux problèmes scalaires, i.e. dont l'inconnue est une fonction à valeurs sca- laires, cette classe de problèmes intervient dans un grand nombre de situations physiques en sciences de l'ingénieur comme le montreront les quelques exemples que nous considère-

rons. La résolution numérique standard de ces problèmes est basée sur l'utilisation d'une

méthode d'élémentsfinis. Cette méthode est basée sur une formulation variationnelle de

ces problèmes et apparaît alors comme une méthode de Galerkin particulière. Nous nous concentrerons sur cet aspect dans ce chapitre.

1. Problème en dimension un

1.1. Position générale du problème aux limites.La forme générale des pro-

blèmes aux limites elliptiques est la suivante : il s'agit de déterminer une fonction in- connuesur l'intervalle]0[, qui est ledomaineoùestposéleproblèmeauxlimites elliptique, qui satisfait les conditions suivantes. - Une équation aux dérivées partielles(équation diérentielle ici puisqu'il n'y a (1.1) 0 ()()=()]0[ - Des conditions aux limitessur la frontière du domaine (ici les points=0et =). Nous prendrons ici pour décrire les diérentes situations qui peuvent se présenter en pratique : (1) - condition de Dirichleten{=0} (1.2)(0) = 0 - condition de Fourier-Robin(pour6=0),de Neumann(pour=0), en{=} (1.3)( 0 Les données peuvent être classées suivant les rubriques suivantes. - Coecients de l'EDP: ce sont les deux fonctionset 0 , (éventuellement dé- finies seulement presque partout sur]0[). Les propriétés physiques du système étudiéassurentquelecoecientvérifie la propriété suivante (qui caractérise le caractère elliptique du problème et qui sera fondamentale aussi bien d'un point de vue théorique que pour les propriétés des schémas d'approximation numérique) : il existe deux constantesettelles que (1.4)0(),p.p.tout]0[

Le coecient

0 est généralement nul. Il apparait lorsqu'on utilise une semi-discréti- sation en temps pour un problème évoluant avec le temps ou s'il y a une absorption 1

2 1. NOTIONS ÉLÉMENTAIRES SUR LA THÉORIE DES PROBLÈMES AUX LIMITES ELLIPTIQUES

d'énergie par des forces de frottement. Il vérifie : il existe une constante 0 telle que (1.5)0 0 0 ,p.p.tout]0[ - Second membre de l'EDP: il est donné par la fonctionqui peut être définie seulement presque partout sur]0[. Nous préciserons la classe fonctionnelle auquelle elle appartient lors de l'étude de l'existence-unicité d'une solution au problème aux limites. - Condition aux limites de Dirichlet: elle correspond physiquement à une condi- tion imposée, à une contrainte sur le système. Onconnaitla solution au point {=0}. Sa valeur est donnée et égale ici à 0. - Condition de Neumann ou de Fourier-Robin: elle correspond au cas où on laisse le système physique évoluer librement. Le paramètre0traduit une réaction de l'extérieur et, plus précisément une absorption de l'énergie par l'extérieur.

1.2. Quelques exemples de problèmes physiques.Nous donnons ci-après sous

forme d'un tableau quelques exemples de situations physiques modélisées par un problème aux limites elliptique du second ordre. Cette liste montre, que même dans un cadre simple,

on peut décrire, de cette façon, plusieurs situations significatives en ingénierie. Dans tous

ces exemples, la fonction 0 et la constantesont nulles. La variable primaire est l'incon-

nue par rapport à laquelle on résout le problème. La variable secondaire est une quantité

post-traitement une fois l'inconnue primaire déterminée.

Problème

Variable

primaireLoi de com- portementTerme sourceVariable secondaire

Déflexion

d'un cableDéflexion transverseTension dans le cable

Densité de

chargement transverseForce axiale (généralement, inconnue)

Transfert

thermique

Température

Conductivité

thermiqueApport calorifiqueFlux thermique

Ecoulement

dans une conduite

VitesseViscosité

Gradient

de pressionContrainte axiale

Ecoulement

dans un milieu poreux

Vitesse

Coecient

de perméablilité

Injection ou

extractionFlux (filtration)

Electrostatique

Potentiel

électriquePermittivité

diélectriqueDensité de chargesFlux du champ électrique

1.3. Formulation variationnelle.L'étude de l'existence-unicité d'une solution pour

le problème (1.1, 1.2, 1.3) et la mise en oeuvre d'un schéma pour sa résolution numérique

passent par sa formulation sous forme d'un problème variationnel. La technique de base pour l'eectuer repose sur une formule d'intégration par parties. Pour cela, on considère une fonction test, quelconque pour l'instant. On écrit (1.6)Z 0 )+Z 0 0 =Z 0 et ensuite (1.7)Z 0 )(0)(0) +Z 0

1. PROBLÈME EN DIMENSION UN 3

En imposant à la fonction test de s'annuler là où est donnée une condition de Dirichlet, on obtient le problème variationnel (1.8) (0) = 0 (0) = 0Z 0 0 )+()()=Z 0 0 Reamarquons que, si les conditions deDirichletsontimposéesdans la formulation, celles deNeumann sont implicites.

1.4. Cadre fonctionnel de la formulation variationnelle.Le cadre fonctionnel,

comme la formulation variationnelle, est important non seulement pour établir rigou- reusement un résultat d'existence-unicité de la solution mais aussi pour comprendre la dérivation des schémas numériques d'approximation de celle-ci. Pour que la formulation variationnelle ait un sens, il faudrait d'abord que toutes les intégrales existent. Commeet 0 sont bornées, i.e. dans (]0[),cecirevientàexiger que, ,etsoient dans 2 (]0[), les dérivations étant prises au sens des distributions. On voit donc que l'espace fonctionnel, où on doit chercher la solution et faire varier la fonction test, est l'espace de Sobolevsuivant (1.9) 1 (]0[) :=© 2 (]0[); 2 (]0[)ª L'importance de ce cadre fonctionnel vient de la propriété suivante.

Théorème1.1.L'espace

1 (1.10)() 1 (]0[) =Z 0 Démonstration.Il est immédiat de vérifier que l'expression de l'énoncé est un pro- duit scalaire.

Introduisons quelques notations

(1.11)|| 0]0[ Z 0 12 1]0[ Z 0 12 respectivement la norme dans 2 (]0[)et la semi-norme d'ordre 1. La norme associée au produit scalaire est ainsi (1.12)kk 1]0[ =n 2 1]0[ 2 0]0[ o 12

Il sutainsidevérifier que si{

0 est telle que lim k k 1]0[ =0 alors il existe 1 (]0[)telle que (1.13)lim k k 1]0[ =0

Mais comme

0]0[ k k 1]0[ 1]0[ k k 1]0[ et que l'espace 2 (]0[)estcomplet, il existeetdans 2 (]0[)tels que lim 0]0[ =0etlim 0]0[ =0

4 1. NOTIONS ÉLÉMENTAIRES SUR LA THÉORIE DES PROBLÈMES AUX LIMITES ELLIPTIQUES

La convergence dans

2 entrainant la convergence au sens des distributions, on a ainsi lim au sens des distributions.

Commelim

=dans 2 , et donc au sens des distributions, il vient Il reste à s'assurer que les conditions de Dirichlet ont un sens de même que le terme ()(). Le fait qu'on soit endimension unpermet de répondre relativement faci- lement à cette question. En eet, l'espace 1 (]0[)possède les propriétés importantes suivantes qui résultent de celles de l'intégrale de Lebesgue : - tout 1 (]0[)est continu sur[0] (1.14) 1 (]0[)C 0 ([0]) ; - de plus, la formule d'intégration par parties suivante est vérifiée (1.15) pour0et,dans 1 (]0[)Z En particulier, en prenant=1, on déduit de (1.15), la formule suivante (1.16)()=()+Z

Remarque1.1.Bien sûr, l'espace

1 (]0[)ne se limite pas aux fonctions dans C 1 ([0]). La formule des sauts montre que la fonction ()=½2pour02 pour2

0L/2 LL/2

L apourdérivée =½0pour02

1pour0

0L/2 L1

qui est dans (]0[), et donc dans 2 (]0[). Remarquer que n'est définie que p. p. sur]0[.

1. PROBLÈME EN DIMENSION UN 5

Les deux membres de la formulation variationnelle (1.8) ont ainsi un sens. Pour pré- parer l'étude de cette formulation, nous l'écrivons à l'aide des notations suivantes ():=Z 0 0 )+()()(1.17) :=Z 0 0 ()(1.18) 1 (]0[);(0) = 0ª(1.19) (1.20) 1 (]0[)tel que 0

1.5. Propriétés de la formulation variationnelle.Nous allons maintenant mettre

en évidence les propriétés de la formulation variationnelle (1.20) qui permettent de vérifier

qu'elle admet une solution et une seule et de développer les procédés d'approximation numérique de sa solution. Lespropriétés algébriquessuivantes sont de vérification immédiate.

Forme bilinéaire:L'application

1 (]0[)7()R est bilinéaire, i.e.,7(),pourfixé, et7(),pourfixé, sont toutes les deux linéaires.

Forme linéaire:L'application

1 (]0[)7R est linéaire. Cesformesontenoutredespropriétés de continuité. Ces propriétés sont impor- tantes en pratique. Elles résultent directement du fait que les applications précédentes sont bien définies. Continuité de la forme bilinéaire:Elle consiste à s'assurer qu'il existe une cons- tante,indépendantedeetdans 1 (]0[)telle que (1.21)|()|kk 1]0[ kk 1]0[ On va faire cette vérification ici pour voir sur un exemple comment elle résulte du sens qu'on a donné ci-dessus à l'écriture de la formulation variationnelle. En pratique, on ne s'attarde sur cette étude que si elle fait apparaître uneinstabilité, i.e. lorsquedépend d'un paramètre et tend vers+lorsquecepramètretend vers une valeur limite. Ici, on a clairement une décomposition de()sous la forme d'une somme de troistermesqu'ontraiteunàun.

On a d'abord par (1.4)

¯¯¯¯Z

0 1]0[ 1]0[ kk 1]0[ kk 1]0[

6 1. NOTIONS ÉLÉMENTAIRES SUR LA THÉORIE DES PROBLÈMES AUX LIMITES ELLIPTIQUES

On a de même¯¯¯¯Z

0 0 0 0]0[ 0]0[ 0 kk 1]0[ kk 1]0[ Pour le troisième terme, on utilise la formule (1.16) qui donne |()|=¯¯¯¯()+Z ()¯¯¯¯|()|+Z 1]0[ On intègre une nouvelle fois entre0etpour obtenir, par l'inégalité de Cauchy- Schwarz, continue puis discrète, une nouvelle fois, 0]0[ 2 3 3 2 1]0[

¡1+

4 9 2 12 kk 1]0[ soit l'estimation 4 9quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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A 4.5.

Rque 4.2.

preuve.

Rque 4.3.

Rque 4.4.

Rème 4.1.

A 4.7.

A 4.8.

A 4.9.

Comment calculer la méthode de Galerkin ?

Quelle est la différence entre la méthode des différences finies et de Galerkin ?

Comment utiliser la méthode des éléments finis ?

Quel est le point-clé dans l’étude de la convergence d’une méthode de Galerkin?

Méthode

éléments finis

A. Bendali

Toulouse - 2013

Département GMM

4ème année Orientation MMN

Méthode

A. Bendali

A. Bendali

Département de génie mathématique

E-mail : abendali@insa-toulouse.fr

Table des matières

Préfacev

1. Problème en dimension un 1

2. Problèmes en dimension supérieure 7

1. Théorie élémentaire des problèmes variationnels 13

2. La méthode de Galerkin 16

1. Principesdebase 21

2. Elémentsfinisusuelsdeplusbasdegré 26

3. Notion d'élémentfini 31

1. Structure de données d'un maillage 33

2. Maillage et conditions aux limites 35

3. L'assemblage 36

1. Le théorème de Riesz 49

2. Convergence faible 51

3. Compacité faible 55

4. Opérateurs compacts 57

5. Applications 58

1. Systèmes de l'élasticité 61

2. Problèmes du quatrième ordre 65

Chapitre 7. Problèmes dépendant du temps 71

1. Problèmes modèles d'évolution 71

2. Semi-discrétisation en espace 72

3. Schémas en temps 75

4. Analyse modale 77

Préface

ème

CHAPITRE 1

1. Problème en dimension un

1.1. Position générale du problème aux limites.La forme générale des pro-

Le coecient

2 1. NOTIONS ÉLÉMENTAIRES SUR LA THÉORIE DES PROBLÈMES AUX LIMITES ELLIPTIQUES

1.2. Quelques exemples de problèmes physiques.Nous donnons ci-après sous

Problème

Variable

Déflexion

Densité de

Transfert

Température

Conductivité

Ecoulement

VitesseViscosité

Gradient

Ecoulement

Vitesse

Coecient

Injection ou

Electrostatique

Potentiel

électriquePermittivité

1.3. Formulation variationnelle.L'étude de l'existence-unicité d'une solution pour

1. PROBLÈME EN DIMENSION UN 3

1.4. Cadre fonctionnel de la formulation variationnelle.Le cadre fonctionnel,

Théorème1.1.L'espace

Introduisons quelques notations

Il sutainsidevérifier que si{