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méthode d’éléments ?nis Cette méthode est basée sur une formulation variationnelle de ces problèmes et apparaît alors comme une méthode de Galerkin particulière Nous nous concentrerons sur cet aspect dans ce chapitre 1 Problème en dimension un 1 1 Position générale du problème aux limites La forme générale des pro-
31 Méthode de Galerkin - Maillage et Éléments Finis
Once the requisite properties of the trial/test spaces are identi?ed the Galerkin scheme is relatively straightforward to derive One formally generates the system matrix A with right hand side b and then solves for the vector of basis coe?cients u Extensions of the Galerkin method to more complex systems of equations is also straightforward
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Alexandre Ern Jean-Luc Guermond Eléments finis: théorie applications mise en œuvre Springer Table des matières 1 Introduction 1 1 1 Historique 1 1 2 Organisation du livre 3 1 3 Illustrations numériques 10 Bibliographie 17 1 Fondements 2 Interpolation par éléments finis 21 2 1 Interpolation en une dimension d'espace 21 2 2 Notion
A 4.5.
Soit Omega un ouvert borné de mathbb{R }^d et soit pin [1,+infty [. Alors {fancyscript{D}}(Omega ) est dense dans H^1_0(Omega )cap L^p(Omega ).
Rque 4.2.
Nous savons déjà que {fancyscript{D}}(Omega ) est dense dans H^1_0(Omega ) par définition de H^1_0(Omega ) d’une part et dans L^p(Omega ) d’autre part par convolution par des noyaux régularisants. Le Lemme 4.5 affirme en plus que l’on peut approcher tout élément de l’intersection de ces deux espaces par une suite de fonctions de {fancyscript{...
preuve.
On procède par approximations successives. Soit uin H^1_0(Omega )cap L^p(Omega ). On tronque u à la hauteur k en posant u_{k}=T_k(u). On a par conséquent u_{k}in H^1_0(Omega )cap L^infty (Omega ) et u_{k}rightarrow u dans H^1_0(Omega )cap L^p(Omega ) quand krightarrow +infty grâce au Théorème 3.5. Considérons une suite varphi _{k,m}...
Rque 4.3.
Si uin L^infty (Omega ) alors la construction précédente fournit une suite de fonctions de {fancyscript{D}}(Omega ) qui converge vers u dans H^1_0(Omega ) et dans L^infty (Omega ) faible-*. En effet, toutes les approximations successives sont alors bornées dans L^infty (Omega ) et donc faiblement-* convergentes. On peut en extraire une su...
Rque 4.4.
(i) Le Lemme 4.6 permet de préciser le sens à donner à l’équation aux dérivées partielles du problème (4.7). Étant donné fin H^{-1}(Omega ), on va donc chercher uin H^1_0(Omega )tel que Cette équation a un sens, puisque l’on a abla uin L^2(Omega ;mathbb{R }^d) et -Delta u=-mathrm{{div}},( abla u)in H^{-1}(Omega ). De plus, upartial ...
Rème 4.1.
Soit Omega un ouvert borné de mathbb{R }^d. Pour tout fin H^{-1}(Omega ) il existe une solution uin H^1_0(Omega )du problème 4.7. On commence par construire une base de Galerkin appropriée. Dans la suite s^{prime }prend les valeurs indiquées dans la remarque (ii) qui suit le Lemme 4.6.
A 4.7.
Il existe une famille dénombrable (w_m)_{min mathbb{N }} d’éléments de {fancyscript{D}}(Omega ) dont les combinaisons linéaires sont denses dans H^1_0(Omega )cap L^{s^{prime }}(Omega ).
A 4.8.
Soit V_m=mathop {text{ vect }}{w_0,w_1,w_2,ldots ,w_m}. Le problème : trouver u_min V_mtel que admet au moins une solution. De plus cette solution satisfait
A 4.9.
La limite faible uin H^1_0(Omega )est solution du problème variationnel : En particulier, uest solution du problème 4.7.
Comment calculer la méthode de Galerkin ?
La méthode de Galerkin consiste à « approcher » l’espace fonctionnel V par un espace V h ? V, de dimension finie, mais toujours de Hilbert, et ce pour le même produit scalaire ! La formulation faible (3.1) est alors résolue dans V h uniquement, avec pour solution u h : (3.2) ¶ { Trouver u h ? V h tel que ? v h ? V h, a ( u h, v h) = ? ( v h).
Quelle est la différence entre la méthode des différences finies et de Galerkin ?
La méthode des différences finies discrétise l’opérateur différentiel ( ?) tandis que les éléments finis (issue de la méthode de Galerkin) approche l’espace fonctionnel. C’est une différence majeure !
Comment utiliser la méthode des éléments finis ?
La méthode des éléments finis est basée sur la méthode de Galerkin, ou d’approximation interne. L’idée est d’approcher l’espace fonctionnel H 1 ( ?) par un espace de dimension finie : l’espace éléments finis. Nous nous intéressons à un tel premier espace : P 1 ? Lagrange ou plus simplement P 1, composés des fonctions linéaires par triangles. 3.2.1.
Quel est le point-clé dans l’étude de la convergence d’une méthode de Galerkin?
Le point-clé dans l’étude de la convergence d’une méthode de Galerkin est le résultat simple mais important suivant. Lemme 2.1(LemmedeCéa). Soient ?et ??les solutions respectives des problèmes continu (1.1) et discret (2.8) ; alors, (2.23) ?(???????)=0? ?????? Démonstration.
MTH8207 - Mathématiques des éléments finis Serge Prudhomme
Professeur
Département de mathématiques
Polytechnique Montréal
Cours 3
S. PrudhommeMTH82071 / 26
Sommaire
Sommaire du cours #3
Equivalence des problèmes fort et faible
Discrétisation par les méthodes de Galerkine et de RitzDiscrétisation du domaine
Espace éléments finis et fonctions de base
Fonctions de forme
Élément de référence
Définition des degrés de liberté (DDL)S. PrudhommeMTH82072 / 26Problème
Problèmes fort et faible
Problème fort :
(au0)0+bu0+cu=f;8x2 = (0;1) u=u0;àx=0 au0+u=g;àx=1Problème faible :
Trouveru2Utelle que :B(u;v) =F(v);8v2Voù
B(u;v) =Z
1 0 au0v0+bu0v+cuv dx+u(1)v(1)F(v) =Z
1 0 fv dx+gv(1)U=fu2H1(
) :u(0) =u0gV=fv2H1(
) :v(0) =0gS. PrudhommeMTH82073 / 26Equivalence
Equivalence des problèmes fort et faible
Siuest solution duprob lèmef ort,uest alors solution duprob lèmef aible. Siuest solution duprob lèmef aible, est-elle solution duprob lèmef ort?Prenons le casb=0,c=0,=0,g=0.
Trouveru2Utelle que :
Z 1 0 au0v0dx=Z 1 0 fv dx;8v2VPeut-on intégrer par parties?
Siu2H1(
), comment sait-on siu2H2( )H1(Il est nécessaire de connaître la régularité de la solutionudu problème faible.S. PrudhommeMTH82074 / 26
Equivalence
Régularité des solutions
Siu002L2(
), alorsu02H1( ), etu2H2( La régularité de la solution dépend du chargementf. Sia(x) =1 et sif=g2C1, alorsuest parabolique, i.e.u2C1; sifest constant par morceaux,f2L2, alorsu2H2maisu62H3; sif=2H1, alorsuest globalement continue et linéaire par morceaux, i.e.u2H1maisu62H2. La régularité de la solution dépend des propriétés du matériau. Supposons quea(x)soit constante par morceaux etf2L2: (au0)0=f2L2)au0=Z f dx2H1)u0=1a Z f dx2L2 et doncu2H1mais non àH2. Selon la régularité du chargement, il faut parfois décomposer l"intégrale sur des sous-intervalles sur lesquels la solutionusoit suffisamment régulière pour pouvoir intégrer par parties sur ces intervalles.S. PrudhommeMTH82075 / 26
Equivalence
Equivalence des problèmes fort et faible
Supposons quef2L2(
)eta2C( ). On peut alors intégrer par parties: Z (au0)0v dx+a(1)u0(1)v(1)a(0)u0(0)v(0) =Z fv dx;8v2V1) Puisquev(0) =0, alors :
Z (au0)0fv dx+a(1)u0(1)v(1) =0;8v2V2) PuisqueD(
)V Z (au0)0fv dx=0;8v2 D(Par le Lemme Fondamental du Calcul Variationnel:
(au0)0f=0;p:p:in :S. PrudhommeMTH82076 / 26Equivalence
Equivalence des problèmes fort et faible
3) Il reste donc :a(1)u0(1)v(1) =0,8v2V.
On peut choisirvtelle quev(1) =1 de sorte que l"on aa(1)u0(1) =0.4) Comme on au2U, on sait queu(0) =u0.
On a donc montré queusatisfait le problème:
(au0)0=f;8x2 = (0;1) u=u0;àx=0 au0=0;àx=1Remarque :Les conditions de N eumann (ou de Robin) sont aussi appelées
des conditions n aturelles car elles apparaissent naturellement dans l"équation de la formulation faible. Par contre, les conditions de D irichlet sont des conditions e ssentielles car il est essentiel de les spécifier dans l"espace des solutionsU.S. PrudhommeMTH82077 / 26Approximation de Galerkine
Approximation de Galerkine
Cas spécialU=V.
Trouveru2Vtelle queB(u;v) =F(v);8v2VLa dimension de l"espaceVest infinie. L"objective est de trouver une
approximation budeudans un sous-espace de dimension finiebVdeV.Soit dim
bV=N. Alors u(x)bu(x) =NX j=1u jj(x);8x2 où l"ensemblefjgNj=1forme une base debV:Les fonctionsgénère l"espacebV:
8 bu2bV, il existeuj2R,j=1;:::;N, tels quebu(x) =PN j=1ujj(x). Les fonctionssont linéairement indépendantes: siPujj(x) =0,8x2 , alorsuj=0,j=1;:::;N.S. PrudhommeMTH82078 / 26Approximation de Galerkine
Approximation de Galerkine
L"approche de Galerkine consiste à trouver la " projection bu2bVdeu.Trouverbu2bVtelle queB(bu;v) =F(v),8v2V.
Cela donneNinconnues pour une infinité d"équations.Trouverbu2bVtelle queB(bu;bv) =F(bv),8bv2bV
Le problème est alors équivalent à :
Find bu2bVt.q.B(bu;i) =F(i);i=1;:::;NCela donneNinconnuespour Néquations.En remplaçant
buparPujjdans l"équation ci-dessus, on a : B Xu jj;i =NX j=1B(j;i)|{z} K iju j|{z} U j=F(i)|{z} F i;i=1;:::;NS. PrudhommeMTH82079 / 26Approximation de Galerkine
Approximation de Galerkine
On définit la matriceKet les vecteursUetFtels que: K=2 6664B(1;1)B(2;1)B(N;1)
B(1;2)B(2;2)B(N;2)
B(1;N)B(2;N)B(N;N)3
7 775et U=2 6 664u
1 u 2... u N3 7
775;F=2
6664F(1)
F(2) F(N)3 7 775On a alors le système deNéquations linéaires àNinconnues:
KU=FS. PrudhommeMTH820710 / 26
Méthode de Ritz
Méthode de Ritz
La méthode de Ritz consiste à minimiser la fonctionnelleJ(v) =12
B(v;v)F(v)surbV(avecBsymétrique et définie positive), i.e. u= argmin v2bV 12B(^v;^v)F(^v)
et on retrouve le problème :Trouver
^u2bVt.q.B(^u;^v) =F(^v);^v2bVsoitTrouver
^u2bVt.q.B(^u;i) =F(i);i=1;:::;NS. PrudhommeMTH820711 / 26Méthode des éléments finis
Espace éléments finis
L"espace éléments finisVh(en 1D) est l"ensemble des fonctions polynomiales de degréksur chaque élément et continues à l"interface des éléments : V h=n v2C( );vK e2Pk(Ke);e=1;:::;NeooùNe=nombre d"éléments du maillage. On peut montrer queVhH1( On considère le cas particulierk=1 (fonctions linéaires par morceaux et continues). Soit une base ofVh,fjgj=0;:::;N, on a : V h=Vectj j=0;:::;N)uh(x) =NX j=0u jj(x);8x2S. PrudhommeMTH820712 / 26
Méthode des éléments finis
Problème éléments finis
Par Galerkine :
Trouveruh2Vht.q.B(uh;vh) =F(vh);8vh2Vhou, de manière équivalente :Trouveruh2Vht.q.B(uh;i) =F(i);i=0;:::;NL"approximation EF du problème est donnée par les degrés de liberté
U= [u0;u1;u2;:::;uN]Ttels que :
KU=FKest souvent appelée la matrice de rigidité etFle vecteur chargement. L"objectif est maintenant de développer une méthode systématique pour assembler la matrice de rigiditéKet le vecteur chargementF.S. PrudhommeMTH820713 / 26Méthode des éléments finis
Discrétisation du domaine
Domaine
= (0;1)Pointsxi,i=0;:::;N
ElémentsKe= [xi1;xi],
e=1;:::;Ne (iciNe=Nete=i) =[Nee=1KePar convention, on définit : he=jxixi1j=Taille de élémentKeeth= maxe=1;:::;NeheLe paramètrehreprésente lepar amètrede discrétisation de la MEF .La
question fondamentale sera d"établir siuhconverge versulorsqueh!0.S. PrudhommeMTH820714 / 26Méthode des éléments finis
Fonctions de Base
Les fonctions de basei(x)sont choisies
telles que : i(x) =(1;atx=xi
0;atx=xj;j6=i
En utilisant le Kronecker delta,
i(xj) =ij i(x) =8 >>>>>:xxi1x ixi1=xxi1h e;six2Ke= [xi1;xi] x i+1xx i+1xi=xi+1xh e+1;six2Ke+1= [xi;xi+1]0;sinonS. PrudhommeMTH820715 / 26
Méthode des éléments finis
Fonctions de base
Exercice :
Quelles sont les v aleursde ui,i=1;:::;4 pouruhci-dessous?On observe que
u h(xi) =NX j=0u jj(xi) =NX j=0u jij=uiAlors : u0=0;u2=3;u4=3:
u1=1;u3=2;Soit :
uh(x) =1(x) +32(x) +23(x) +34(x)Remarque :Le choix d"une base n"est pas unique! Ici, le suppor tde chaque
fonction de base consiste de deux éléments au plus : suppi=Ke[Ke+1= [xi1;xx+1];i=1;:::;N1S. PrudhommeMTH820716 / 26Méthode des éléments finis
Fonctions de forme
Les fonctions de forme, définies sur chaque élément, servent à construire les fonctions de base globales. i(x) =8 >:N2;e(x);six2Ke
N1;e+1(x);six2Ke+1
0;sinonN
1;e(x) =xixh
e N2;e(x) =xxi1h
eS. PrudhommeMTH820717 / 26Méthode des éléments finis
Fonctions de forme
Remarque :
Les fonctions de formeN1;eetN2;efournissent une base pour l"espace des polynômes de degré 1 surKe, i.e.P1(Ke).Elles satisfont:
N k;e(xl) =kl;k;l=1;2Icix1etx2sont les coordonnées des points 1 et 2 de l"élémentKe. Ainsi, tout polynômep2P1(Ke)peut s"écrire comme une combinaison linéaire deN1;eetN2;e: p(x) =c1N1;e(x) +c2N2;e(x);8x2KeDe plus,
p(x1) =c1N1;e(x1) +c2N2;e(x1) =c1 p(x2) =c1N1;e(x2) +c2N2;e(x2) =c2On a donc :
p(x) =p(x1)N1;e(x) +p(x2)N2;e(x);8x2KeS. PrudhommeMTH820718 / 26Méthode des éléments finis
Élément de référence
bN1() =12
bN2() =1+2N
1;e(x) =bN1() =bN1(T1e(x)) =bN1T1e(x)
N2;e(x) =bN2() =bN2(T1e(x)) =bN2T1e(x)Remarque :
bNk(l) =kl;k;l=1;2avec bK= [1;2] = [1;+1].S. PrudhommeMTH820719 / 26Méthode des éléments finis
TransformationTe
T etransforme l"élément de référencebKen un élémentKe= [xi1;xi] x=Te();82bKC"est une
tr ansformationaffine (polynôme de deg ré1 sur bK) telle que T e(1) =xi1etTe(2) =xi.x=Te() =Te(1)bN1() +Te(2)bN2() =xi1bN1() +xibN2();82bKLa transformationTe:bK!Kedoit être inversible.In verseT1e:
x=Te() =xi112 +xi1+2 =xi1+xi2 +xixi12 =x+he2 =T1e(x) =2h e xx =2h e xxi1+xi2S. PrudhommeMTH820720 / 26
Méthode des éléments finis
Élément de référence
S. PrudhommeMTH820721 / 26
Remarques
Remarques
Coefficients deuh:Comme i(xj) =ij,
u h(xj) =NX i=0u ii(xj) =NX i=0u iij=uj)uh(x) =NX i=0u h(xi)i(x)Le coefficientujreprésente la valeur deuhévaluée au pointxj.Valeur deuh(x)pourx2Ke:
u h(x) =NX i=0u ii(x) =ui1i1(x) +uii(x) =ui1N1;e(x) +uiN2;e(x) =ui1bN1T1e(x) +uibN2T1e(x) =ui1bN1() +uibN2()S. PrudhommeMTH820722 / 26Degrés de liberté
Définition des degrés de liberté (DDL)
Les fonctions de forme
bN1etbN2fournissent une base pour l"espaceP1(bK). Ainsi, tout polynômep2P1(bK)peut s"écrire comme une CL debN1etbN2: p() =c1bN1() +c2bN2();82bK Comme bNl(k) =kl, on a vu que : c1=p(1) =p(1)
c2=p(2) =p(+1)
On introduit les formes linéaires :
^1:P1(bK)!R;telle que^1(p) =p(1) ^2:P1(bK)!R;telle que^2(p) =p(2)De ce fait :
p() = ^1(p)bN1() + ^2(p)bN2();82bK^k(bNl) =bNl(k) =klS. PrudhommeMTH820723 / 26Degrés de liberté
Définition des degrés de liberté (DDL)
Tout polynômep2P1(bK)peut aussi s"écrire comme une CL debM1() =1 et bM2() =: p() =a0+a1=a0bM1() +a1bM2();82bKDans ce cas,a0=p(0)eta1=p0(0).
a0=p(0)
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