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Analyse Numérique
Exercices du chapitre 2 ... Approximation par des fonctions polynômiales par morceaux. Etant donnée f ...
MT09-Analyse numérique élémentaire
Exercices : Exercice III.8. Définition III.3.1. Soit Q une matrice carrée on 10 par g(t) au sens des moindres carrés. Mettre ce problème sous la forme ...
Analyse Numérique
approximation linéaire au sens des moindres carrés de ex sur [−11] (un peu comme dans le cas de la formule d'interpolation de Newton). 2.2.5 Polynômes ...
Sans titre
Corrigés des exercices. 26. Chapitre 2. Résolution exacte des systèmes Solution au sens des moindres carrés totaux. 99. 3.2.4. Problème mixte. 103. 3.3 ...
Corrigé du TD 2 :Approximation au sens des moindres carrés
est une base orhogonale de P2[X]. * Essayer de vérifier que les vecteurs de B sont deux à deux ortogonaux par rapport au. <.
ANALYSE NUMERIQUE Mazen SAAD
Approximation au sens des moindres carrés discrets. Corrigé exercice 1.
Analyse numérique : Approximation de fonctions
29 janv. 2013 Approximation de fonctions. 29/01/13 - 1/02/13. 17 / 64. Page 18. Méthode des moindres carrés. Régression linéaire. Exercice (correction) b = y ...
Chapitre 5 - Méthode des moindres carrés
Pour mesurer la qualité de l'approximation d'un nuage (xiyi)i=1..n par sa droite des moindres carrés (apr`es tout on peut toujours faire passer une droite par
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est une base orhogonale de P2[X] * Essayer de vérifier que les vecteurs de B sont deux à deux ortogonaux par rapport au donné Exercice 2
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NB : Ne sont corrigés ici que les exercices n'ayant pas été corrigés en TD (pour ces exercices 3 2 Approximation au sens des moindres carrés (4 points)
[PDF] 1 Approximation au sens des moindres carrés
Pf (x) ? Kx2(1 ? x)2 avec K une constante bien choisie Corrigé des exercices Exercice 1 1) x1 = 0 f1 = cos(x1)=1
[PDF] Méthode des moindres carrés
On consid`ere que l'approximation d'un nuage par sa droite des moindres carrés est de bonne qualité lorsque rxy est proche de 1 (donc rxy proche de +1
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Chapitre 3 : Résolution des problèmes de moindres carrés Exercice III 1 une approximation de la solution qui réduise la différence Ax ? b
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exercices et des petits programmes en Matlab pour illustrer les notions vues en cours Antoine Henrot 2 2 Approximation au sens des moindres carrés
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1 5 Exercices du chapitre 1 3 3 Approximation au sens des moindres carrés 4 4 2 5 Méthode des trapèzes corrigés 82
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Comparer les estimateurs du maximum de vraisemblance avec ceux des moindres carrés de µ et ? iii Comparer (au sens de la vitesse de convergence) l'estimateur
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Licence de Biologie 3e semestre S Vinatier Compléments de Mathématiques 6 Moindres carrés et statistiques Exercice 1 (Un peu de statistiques)
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Approximation au sens des moindres carrés discrets Devoir surveillé d'Analyse Numérique (2010) et son corrigé 97 Corrigé exercice 3
1 Approximation au sens des moindres carrés - FST
1 Approximation au sens des moindres carrés 1 1 Cas général Étant donné ? i ?]0+?[ i = 12··· m on dé nit le produit scalaire sur Rm comme suit : y ? Rmz ? Rm< yz >= Xm i=1 ? iy iz i = y TDz avec D = diag(? 1? 2··· ? m)et on note par k k la norme associée à ce produit scalaire : y ? Rmkyk = ? < yy
Estimation par la méthode des moindres carrés et estimation - Minitab
Correction TD 1 : Approximation de fonctions NB:Nesontcorrigésiciquelesexercicesn’ayantpasétécorrigésenTD(pourcesexercicescf vosnotes) 1 Méthode des moindres carrés Exercice1(quartetd’Anscombe) LestatisticienFrancisAnscombeadé?nien1973plusieursensembles dedonnéesayantunepropriétéintéressante Lesvoici x y x y x y x y
Corrigé de l'exercice 31 - 1
Ajustons d'abord la droite y=ax+b au sens des moindres carrés: aju? Fit[transposée Transpose[{x y}] {t 1} t]-60 7461+3 21565 t y = y (x) = -60 7461+3 21565 x Calculons la réciproque de cette première fonction: y+60 7461 = 3 21565 x y+60 7461 3 21565 = x 18 8908+0 310979 y = x x = x (y) = 18 8908+0 310979 y
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On s’int eresse dans ce paragraphe au calcul explicite du polyn^ome d’approximation au sens des moindres carr es Norme continue Soit f une fonction continue sur l’intervalle I; on recherche un polyn^ome pn de degr e inf erieur ou egal a n tel que Z I jf pnj2 dx soit minimale
Comment définir la méthode des moindres carrés ?
Pour définir la méthode des moindres carrés comme méthode d'estimation des paramètres au lieu de celle du maximum de vraisemblance lorsque vous utilisez une analyse de répartition paramétrique, un diagramme d'identification de répartition ou un diagramme de présentation de répartition, procédez comme suit :
Comment calculer l'équation des moindres carrés?
?? Déterminer K p , ? p et ? qui satisfont l équation des moindres carrés. ?? En pratique, la discontinuité de la dérivée en ? rend la détermination de ?difficile? –? estimationde ?, –? on ajuste K p
Qu'est-ce que l'estimation par les moindres carrés ?
L'estimation par les moindres carrés ignore les informations dans les observations tronquées. 1 En général, les avantages de la méthode EMaxV l'emportent sur ceux de l'estimation par les moindres carrés. L'estimation par les moindres carrés est plus facile à calculer manuellement et à programmer.
Quelle est la différence entre les estimeurs des moindres carrés et les estimateurs de Mayer ?
?? = ). Les estimateurs des moindres carrés (Legendre) partagent avec ceux de Mayer lespropriétés de linéarité et d’absence de biais. Mais, les premiers (Legendre) présententdes propriétés d’optimalité de la variance établies par le théorème de Gauss-Markov(cf. par exemple, [Tassi, 1989, p. 358-359]) que ne présentent pas les derniers (Mayer).
Grenoble INP - Pagora Analyse numérique
1ère année
Correction TD 1 : Approximation de fonctions
NB : Ne sont corrigés ici que les exercices n"ayant pas été corrigés en TD (pour ces exercices, cf. vos notes).
1 Méthode des moindres carrés
Exercice 1 (quartet d"Anscombe)Le statisticien Francis Anscombe a défini en 1973 plusieurs ensembles
de données ayant une propriété intéressante. Les voicixyxyxyxy10:08:0410:09:1410:07:468:06:588:06:958:08:148:06:778:05:7613:07:5813:08:7413:012:748:07:719:08:819:08:779:07:118:08:8411:08:3311:09:2611:07:818:08:4714:09:9614:08:1014:08:848:07:046:07:246:06:136:06:088:05:254:04:264:03:104:05:3919:012:5012:010:8412:09:1312:08:158:05:567:04:827:07:267:06:428:07:915:05:685:04:745:05:738:06:891.A l"aide d"une c alculatrice,c alculerles c oefficientsde r égressionliné airedes 4 ensembles.
2.Que vaut le minimum de
S(a;b) =nX
i=1(yiaxib)2 pour chaque ensemble? 3.Que r emarquezvous ?1
4.V oiciune r eprésentationgr aphiquedes 4 jeux de donné es(cf. p agepr écédente).Dans quels c asl"utili-
sation de la régression linéaire semble t-elle pertinente? Dans quels cas ne l"est-elle pas? Justifier.
Exercice 2 (régression linéaire pondérée)Soit le modèle de régression linéaire f(x;a;b) =ax+bLorsque on veut estimer les paramètres adéquats pour ce modèle en fonction des données (npoints(xi;yi),
i= 1;:::;n) et de leurs incertitudes, on cherche les paramètresaetbminimisant2(a;b) =nX
i=1 yiaxib i 2 =nX i=1w i(yiaxib)2 avecil"écart-type de l"erreur commise sur la mesure deyi. On ai=1pw i. Notons les moyennes pondéréesx pety pdéfinies de la manière suivante :x p=n X i=1w ixin X i=1w iy p=n X i=1w iyin X i=1w i 1.Montr erqu"au minimum de 2,bvaut
b=y pax p 2.Montr erqu"au minimum de 2,avaut
a=n X i=1w i(xix p)(yiy p)n X i=1w i(xix p)2 3.Supp osonsque les é cart-typesdes err eursc ommisessur yisoient égaux. Que valentaetb?1. On cherche le minimum de la fonction2. Pour cela, il faut chercher où le gradient de2vaut0. On doit
donc calculer les dérivées partielles de2par rapport àaetb. Celles-ci valent8>>>><
2@a =2nX i=1w ixi(yiaxib) 2@b =2nX i=1w i(yiaxib) Le minimum de2est donc atteint pour(a;b)solution de8>>>><
>>>:n X i=1w ixi(yiaxib) = 0 n X i=1w i(yiaxib) = 0 La seconde ligne du système à résoudre donne n X i=1w i(yiaxib) = 0()nX i=1w iyianX i=1w ixibnX i=1= 0 2D"où
b=1n X i=1w i nX i=1w iyianX i=1w ixi! =y pax p2. Si on réécrit le système à résoudre, on a
8>>>><
>>>:n X i=1w ixi(yiaxib) =nX i=1w ixi(yiy pa(xix p)) = 0 n X i=1w i(yiaxib) =nX i=1w i(yiy pa(xix p)) = 0Si on multiplie la deuxième ligne parx
pet qu"on la soustrait à la première ligne, on obtient n X i=1w ixi(yiy pa(xix p))x pnX i=1w i(yiy pa(xix p) = 0x p0 = 0 Or 0 = nX i=1w ixi(yiy pa(xix p))x pnX i=1w i(yiy pa(xix p) =nX i=1w i(xix p)(yiy pa(xix p)) nX i=1w i(xix p)(yiy p)anX i=1w i(xix p)2Et finalement, on obtient
a=n X i=1w i(xix p)(yiy p)n X i=1w i(xix p)23. Supposons maintenant que les écart-types des erreurs commises suryisoient égaux. Cela veut dire que
leswiont tous la même valeur, notons cette valeurw. Les moyennes pondérées valentx p=n X i=1w ixin X i=1w i=wnX i=1x iw nX i=11=1n n X i=1x i=xy p=n X i=1w iyin X i=1w i=wnX i=1y iw nX i=11=1n n X i=1y i=yOn remarque quex
pety psont égales aux moyennes usuellesxety. Pouraetb, on a a=n X i=1w i(xix p)(yiy p)n X i=1w i(xix p)2=wnX i=1(xixquotesdbs_dbs23.pdfusesText_29[PDF] approximation polynomiale taylor
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