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Approximation numérique

Patrick Fischer

1, Lisl Weynans, Charles Dossal

1 IMB, Université Bordeaux 1, 351 Cours de la Libération, 33405 Talence, France (Patrick.Fischer@math.u-bordeaux1.fr)

Contents

1 La représentation des fonctions 1

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Interpolation polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2.1 Polynômes de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2.2 Polynômes de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.3 Choix des points de discrétisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.4 Polynômes d"Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.5 Interpolation locale: lissage par fonctions splines . . . . . . . . . . 8

1.3 C.A.O.: les courbes de Bézier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1 Polynômes de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.2 Les courbes de Bézier, définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.4 Elévation de la longueur d"une courbe de Bézier . . . . . . . . . . 13

1.3.5 Algorithme de De Casteljau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Approximation d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.1 Qu"est-ce qu"une approximation ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.2 Caractérisation de la meilleure approximation . . . . . . . . . . . 15

1.4.3 Polynômes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5 Approximation au sens des moindres carrés discrets . . . . . . . . . . . . 17

2 Dérivation et intégration numériques 20

2.1 Dérivation numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Intégration numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.1 Formule de quadrature du type interpolation . . . . . . . . . . . . 22

2.2.2 Accélération de la convergence: méthode de Romberg . . . . . . . 26

2.2.3 Formule d"Euler - Mac Laurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.4 Formules de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3 Méthodes de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 Introduction aux méthodes numériques de résolution d"équations dif-

férentielles 35

3.1 Méthodes à 1 pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.1 Méthode d"Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.2 Schéma général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1.3 Erreur de discrétisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2 Méthodes numériques plus précises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1

3.2.1 Méthode du point milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.2 Méthode de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.3 Méthodes implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.4 Méthodes à pas variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3 Méthodes à pas multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 Traitement du signal: Analyse de Fourier et ondelettes 42

4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2 Analyse de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2.1 Transformée de Fourier discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2.2 Fast Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2.3 Phénomène de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.3 Filtre et échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3.1 Notion de filtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3.2 Transformée de Fourier, théorème de Shannon . . . . . . . . . . . 48

4.4 Analyse temps-fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.5 La transformée de Fourier à fenêtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.6 La transformée en ondelettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.6.1 La transformée en ondelettes continues . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.6.2 La transformée en ondelettes discrètes . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.6.3 La transformée en ondelettes orthogonales . . . . . . . . . . . . . 53

4.7 Paquets d"ondelettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.7.1 Cas 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.7.2 Cas 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.8 Le critère entropique et l"algorithme du choix de la meilleure base . . . . 56

4.8.1 L"entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.8.2 Algorithme du choix de la meilleure base . . . . . . . . . . . . . . 58

5 Exercices 60

5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Ce résumé de cours est une introduction aux méthodes d"approximation numérique. Il

s"adresse à des étudiants de troisième année de licence en ingénierie mathématique. Il est

basé sur les notes de cours de Charles-Henri Bruneau, l"ouvrage de R. ThéodorInitiation à l"analyse numérique, Masson et l"ouvrage de C. Gasquet et P. WitomskiAnalyse de

Fourier et Applications, Masson.

Chapter 1

La représentation des fonctions

1.1 Introduction

On se donne une fonctionfdéfinie sur un intervalle réelIet à valeurs réelles. Cette

fonction est caractérisée par une propriété particulière: une équation, un jeu de données

numériques ... mais on ne la connaît pas explicitement. On cherche à déterminer une fonctionfhappartenant à un ensemble de fonctions bien connues qui sera une approxi- mation de la fonctionfinitiale. Deux approches sont possibles pour le calcul de cette approximation: On impose quefetfhcoïncident (et éventuellement leurs dérivées) en des points choisis. Cette approche conduit aux méthodes d"interpolation polynomiale. Elle permet également d"approcher la fonction en dehors de l"intervalle initial. On cherche à minimiserkffhkdans un espace fonctionnel normé à préciser. Ce type de méthode conduit à un problème d"optimisation dont le résultat dépend de la norme choisie.

1.2 Interpolation polynomiale

On se donne une fonctionfcontinue dont on connait les valeursf(xi)enn+ 1points différentsx0;x1;:::;xn. On cherche à reconstituerfsur un intervalle contenant lesxi(on peut considérer lesxicomme étant ordonnés:xi< xi+1). Le problème de l"interpolation (c"est-à-dire sur[x0;xn]) ou de l"extrapolation (c"est-à-dire hors de[x0;xn]) polynomiale consiste à construire un polynômepde degré minimal tel que

8i2 f0;:::;ng; p(xi) =f(xi):(1.1)

1.2.1 Polynômes de Lagrange

Théorème 1.1Il existe un unique polynômepde degrénvérifiant (1.1). 1

Preuve:Existence:

On considère les polynômes de Lagrange:

L j(x) =Y k6=jxxkx jxk(1.2)

Ils sont de degrénet vérifient:

L j(x) =1six=xj

0six=xi;i6=j(1.3)

On pose ensuite

p(x) =nX j=0L j(x)f(xj)(1.4) qui répond bien à la question.

Unicité:

Sip1etp2sont deux polynômes qui vérifient les hypothèses alorsq=p1p2est un polynôme de degrénqui admetn+1racines distinctes (x0;x1;:::;xn); il est donc nul et doncp1=p2.Cas particulier:On suppose les pointsxiéquidistants. On noteh=xi+1xi. On a alorsxjxk= (jk)h, et Y k6=j(xjxk) =hnY k6=j(jk) = (1)njhnj!(nj)!:(1.5)

On obtient alors:

L j(x) =(1)njh nj!(nj)!Y k6=j(xxk)(1.6) Théorème 1.2Sifest de classeCn+1surIcontenant les pointsxiordonnés, alors pour toutx2I, il existec2]x0;xn[tel que f(x)p(x) =1(n+ 1)!L(x)f(n+1)(c)(1.7) oùL(x) =nY k=0(xxk).

Preuve:Six=xkalors on a0 = 0.

Sinon six6=xk, on définit'(t) =f(t)p(t)f(x)p(x)L(x)L(t)qui est une fonction de classeCn+1. La fonction'vérifie alors'(xk) = 0;0knet'(x) = 0. Cette fonction a donc au moinsn+ 2zéros, sa dérivée premièren+ 1zéros, et donc'(n+1)a au moins un zéro notéc(th. de Rolle).

D"où

(n+1)(c) =f(n+1)(c)f(x)p(x)L(x)(n+ 1)! = 0(1.8)2

Corollaire 1.1

jf(x)p(x)j jL(x)jMn+1(n+ 1)!(1.9) oùMn+1= maxx2Ijf(n+1)(x)j. Remarque: On a donc intérêt à choisir les pointsxide façon à minimiserjL(x)j. Mais l"approximation ne sera alors bonne que pour lexen question. Les polynômes de Lagrange ne sont pas pratiques puisque d"un point de vue numérique, il est difficile de déduireLj+1 à partir deLj. Pour cela on introduit le polynôme d"interpolation de Newton.

1.2.2 Polynômes de Newton

Points quelconques

Les polynômesekde la base de Newton sont définis comme suit : e k(x) =k1Y i=0(xxi) = (xx0)(xx1)(xxk1); k= 1;:::;n;(1.10) avec pour conventione0= 1. On obtient alors: e

1= (xx0)

e

2= (xx0)(xx1)

e

3= (xx0)(xx1)(xx2)......

e n= (xx0)(xx1)(xxn1)(1.11) L"ensemble des polynômes(ek)0knforment une base de l"espacePndes polynômes de degré au plusn, puisqu"il s"agit d"une famille de(n+1)polynômes de degré zéro

àn.

Le polynôme d"interpolation de Newton de degrénrelatif aux données f(x0;f(x0));(x1;f(x1));:::;(xn;f(xn))gs"écrit : P n(x) =nX k=0 kek(x) =0+1(xx0) +2(xx0)(xx1) +:::+n(xx0)(xx1)(xxn1)(1.12) avecPn(xi) =f(xi);8i= 0;:::;n. Il faut alors déterminer les coefficients (k)0kn. Définition 1.1Soitfdont on connait les valeurs enn+ 1points. On appelle différences divisées d"ordre0;1;:::;nles quantités:

0f(xk) =f(xk);80kn

1f(x0;x1) =0f(x1)0f(x0)x

1x0

2f(x0;x1;x2) =1f(x1;x2)1f(x0;x1)x

2x0......

nf(x0;:::;xn) =n1f(x1;:::;xn)n1f(x0;:::;xn1)x nx0:(1.13) 3 Le polynôme d"interpolation de Newton de degréns"écrit alors à l"aide des dif- férences divisées successives : P n(x) =0f(x0) +nX k=1 kf(x0;:::;xk)ek(x):(1.14) Remarques:Le polynôme d"interpolation de Newton conduit à la même estima- tion d"erreur que le polynôme de Lagrange.

Points équidistants

Quand les points sont équidistants (xi+1xi=h), nous pouvons faire le calcul en utilisant les différences finies. On pose:

1f(x) =f(x+h)f(x)

2f(x) = 1(1f(x)) = 1f(x+h)1f(x)......

nf(x) = 1(n1f(x));(1.15) et le polynôme d"interpolation de Newton de degréns"écrit alors: P n(x) =f(x0) +y1!

1f(x0) +:::+y(y1)(yn+ 1)n!nf(x0)(1.16)

oùy=xx0h C"est le polynôme progressif car les différences sont à droites. Nous pouvons aussi définir le polynôme régressif avec des différences à gauche en partant dexnau lieu dex0. Le polynôme progressif est adapté au cas où l"on cherche à déterminer la valeur en un pointxsitué au début de l"intervalle de calcul, et le polynôme régressif adapté au cas où l"on cherche à déterminer la valeur en fin d"intervalle. Attention !On n"obtient pas de meilleurs résultats en augmentant le degré du polynôme d"interpolation. Supposons que nous cherchions à approcher la fonc- tionf(x) =11 + 25x2sur l"intervalle[1;1]. Un polynôme d"interpolation de degré trop élevé sur des points équidistants conduit à de fortes oscillations aux bords de l"intervalle (cf. Figure 1.1). Ce phénomène est connu sous le nom de phénomène de

Runge.

En pratique, on effectue des interpolations avec des polynômes de degrés faibles sur des petits intervalles plutôt que des polynômes de degrés élevés sur de grands intervalles.

1.2.3 Choix des points de discrétisation

Soit une fonctionf: [a;b]!Ret soientx0;x1;:::;xn2[a;b]. Nous avons vu (1.9) que sif2Cn+1([a;b])alors jf(x)Pn(x)j maxx2[a;b]jf(n+1)(x)j(n+ 1)!maxx2[a;b]k(xx0)(xx1)(xxn)k(1.17) 4 Figure 1.1: Phénomène de Runge: En rougef(x), en bleu interpolation avec un polynôme de degré 5, et en vert avec un polynôme de degré 9 oùPn(x)est un polynôme d"interpolation de type Lagrange ou Newton. L"erreur est majorée par le produit de deux termes: max x2[a;b]jf(n+1)(x)j(n+ 1)! max x2[a;b]jv(x)j= maxx2[a;b]j(xx0)(xx1)(xxn)j(1.18) Le premier terme dépend de la fonction à interpoler mais le polynômevde degrén+ 1 en est indépendant. On peut donc chercher les pointsxiqui minimiseront ce terme dans la majoration de l"erreur. On noteEn([a;b])l"ensemble des polynômes de degréndont le coefficient principal (devantxn) est 1. Le meilleur choix desxiest alors donné par les racines du polynômeq2En+1([a;b])vérifiant:

8v2En+1([a;b]);maxx2[a;b]jq(x)j maxx2[a;b]jv(x)j(1.19)

On peut déterminerqdans le cas particulier oùa=1etb= 1et étendre ensuite le résultat au cas général par un changement de variable. Définition 1.2On appelle fonction polynomiale de Tchébycheff de degrénla fonction T n: [1;1]!Rdéfinie par: T n(x) = cos(narccos(x)):(1.20) 5 Théorème 1.3Les polynômes de Tchébycheff vérifient la relation de récurrence T n+1(x) = 2xTn(x)Tn1(x). Le coefficient du terme de plus haut degréxndeTnest2n1. Preuve:On utilise la formule de trigonométrie habituelle: cos((n+ 1)) = cos(n)cos()sin(n)sin()(1.21) qui nous permet d"écrire: cos((n+ 1)) + cos((n1)) = 2cos(n)cos():(1.22) On obtient alors la formule du théorème.Théorème 1.4Tnpossèdentnracines simples: x k= cos2k12n ; k= 1;2;:::;n:(1.23) T natteint ses extrema sur l"intervalle[1;1]auxn+ 1points: x

0k= coskn

; k= 0;1;:::n(1.24) pour lesquels il prend alternativement les valeurs1et1. Preuve:On vérifie facilement que lesfxkgk=1;:::;nsont bien racines deTn, et commeTn est de degrén, ce sont les seules racines. Ensuite, on calcule la dérivée deTn(x): T

0n(x) = sin(narccos(x)):np1x2:(1.25)

On vérifie queT0n(x0k) = 0pourk= 1;:::;netTn(x0k) = (1)k. On a aussiTn(x00) = 1et T n(x0n) = (1)n.Définition 1.3On appelle fonction polynôme de Tchébicheff normaliséeTn=12 n1Tn pourn1.

Théorème 1.5

8p2En;12

n1= maxx2[1;1]jTn(x)j maxx2[1;1]jp(x)j(1.26) Preuve:Nous cherchons donc à montrer que le polynômeTnminimisemax x2[1;1]jp(x)j

8p2En. Supposons qu"il existep2Entel que,

max x2[1;1]jp(x)jde degrén1, on a donc forcémentr= 0.Sur l"intervalle[1;1]et en choisissant les abscisses d"interpolationxk=

cos

2k+12(n+1)

; k= 0;1;:::;non obtient alors la majoration de l"erreur d"interpolation: jf(x)Pn(x)j 12 n1(n+ 1)!max x2[1;1]jf(n+1)(x)j(1.29)

1.2.4 Polynômes d"Hermite

De la même manière que dans l"interpolation de Lagrange, on impose que le polynôme prenne un certain nombre de valeurs, mais de plus, on fixe les valeurs des dérivées en ces points. Soient lesn+ 1triplets(xi;f(xi);f0(xi))pouri= 0;:::;noù lesxisont tous distincts.

On cherche un polynômeptel que:

p(xi) =f(xi) p

0(xi) =f0(xi)(1.30)

Théorème 1.6Il existe un polynômepet un seul de degré au plus2n+1tel que (1.30) est vérifié. Preuve:Unicité:Supposons qu"il existe des polynômespetqde degré au plus2n+ 1 vérifiant (1.30). Le polynômer=pq, qui est aussi de degré au plus2n+ 1, admet chaquexicomme racine double (r(xi) =r0(xi) = 0). Il possède donc2n+ 2racines au moins,rest donc le polynôme nul. Existence:On montre que le polynômepsuivant satisfait les conditions précédentes: p(x) =nX i=0h i(x)f(xi) +nX i=0k i(x)f0(xi):(1.31) où: h i(x) = (12(xxi)l0i(xi))l2i(x)(1.32) k i(x) = (xxi)l2i(x)(1.33) avec l i(x) =nY j=0;j6=ixxjx ixj(1.34)Evaluation de l"erreur d"interpolation: 7 Théorème 1.7Soitf2C2n+2[a;b]. Siax0< x1< x2< ::: < xnb, alors pour toutx2[a;b], il existe2[a;b]t.q.: f(x)p(x) =(xx0)2(xx1)2(xxn)2(2n+ 2)!f(2n+2)()(1.35) oùamin(xi;x)< Preuve:Démonstration analogue à celle de l"interpolation de Lagrange.Remarque:Nous pouvons définir des formules d"interpolation mixte Lagrange-Hermite

où les valeurs des dérivées ne sont utilisées que pour certains points. Nous pouvons également faire intervenir des dérivées d"ordre plus élevée.

1.2.5 Interpolation locale: lissage par fonctions splines

L"interpolation polynomiale possède deux défauts majeurs inévitables: Le coût des calculs devient élevé lorsque le degré du polynôme est grand. Les effets de bord sont importants si l"intervalle d"interpolation est grand. Une solution consiste à travailler localement: on fait alors de l"interpolation par morceaux, c"est-à-dire que sur un sous intervalle donné on fait de l"interpolation polynomiale de

degré faible, puis on impose des conditions de régularité (continuité ou plus) pour relier

les morceaux. Les splines vont réaliser une interpolation polynomiale par morceaux mais on imposera de

plus un degré de régularité aux points de discrétisation appelés aussi "noeuds". Nous ne

présenterons qu"un exemple élémentaire de fonctions splines: les splines d"interpolation cubiques. Soientx0;x1;:::;xnles points d"interpolation. Sur chaque segment[xi;xi+1], on cherche un polynômesitel que les conditions d"interpolationsi(xi) =f(xi)pouri= 0;:::;n soient vérifiées. De plus, on impose des conditions de raccord de façon à obtenir une fonction de classeC2. Pouri= 1;:::;n1: s

0i1(xi) =s0i(xi)(1.36)

s

00i1(xi) =s00i(xi)(1.37)

Ces deux conditions entraînent la continuité des dérivées premières et secondes aux noeuds

de discrétisation. Elles nous incitent à cherchersisous la forme d"un polynôme de degré trois. Par interpolation linéaire, nous pouvons calculers00ien posanthi=xi+1xi: s

00i(x) =Mix

i+1xh i+Mi+1xxih i;(1.38) où les coefficientsMisont à déterminer.

En intégrant deux fois, on obtient:

s i(x) =Mi(xi+1x)36hi+Mi+1(xxi)36hi+ai(xi+1x) +bi(xxi);(1.39) 8 oùaietbidénotent les constantes d"intégration. Ces constantes peuvent se déterminer en écrivant les relations de continuité aux noeuds s i(xi) =f(xi)etsi(xi+1) =f(xi+1). C"est-à-dire: s i(xi) =Mih2i6 +aihi=f(xi):(1.40)

D"où

a i=f(xi)h iMih i6 (1.41) et s i(xi+1) =Mi+1h2i6 +bihi=f(xi+1)(1.42) implique b i=f(xi+1)h iMi+1h i6 :(1.43) En remplaçant alorsaietbipar leurs expressions, on obtient: s i(x) =Mi(xi+1x)36hihi6 (xi+1x) +Mi+1(xxi)36hihi6 (xxi) (1.44) f(xi)h i(xi+1x) +f(xi+1)h i(xxi): Il reste alors à écrire les conditions de continuité pour les dérivées premières, s

0i(x) =Mi(xi+1x)22hi+hi6

+Mi+1(xxi)22hihi6 f(xi)h i+f(xi+1)h i:(1.45) La condition de continuités0i(xi) =s0i1(xi)enxis"écrit alors:

Mi2hi6

Mi+1h i6 f(xi)h i+f(xi+1)h i=Mi1h i16 +2Mih i16 f(xi1)h i1+f(xi)h i1:(1.46)

Cette dernière relation peut se réécrire sous la forme d"un système linéaire à résoudre:

h iMi+1+ 2(hi+hi1)Mi+hi1Mi1= 6f(xi+1)f(xi)h if(xi)f(xi1)h i1 :(1.47) Nous obtenons alors un système linéaire den1équations àn+ 1inconnues. A moins de connaître explicitementM0etMn, on prend souventM0=Mn= 0. D"autres choix sont évidemment possibles. La théorie de l"interpolation locale peut s"étendre de la même façon à des dimen- sions supérieures. Il existe d"autres méthodes d"interpolation, comme l"interpolation trigonométrique utilisée en traitement du signal. 9

1.3 C.A.O.: les courbes de Bézier

Dans l"industrie, on utilise des courbes pour la conception d"objets: ailes d"avions, fuse- lage, profile de voiture, fabrication de prothèses, etc. Les courbes et les surfaces polyno- miales sont les plus habituellement utilisées depuis les années 60, i.e. depuis que Bézier et De Casteljau leur ont donné une détermination mathématique exploitable sur le plan informatique à l"aide de points de contrôle via les polynômes de Bernstein. Dans cette partie, nous nous limitons à la description des courbes dites Bézier polynomiales. Une telle courbe permet le stockage et le tracé d"une courbe polynomiale à l"aide d"un ensemble fini de points appelé polygone de contrôle.

1.3.1 Polynômes de Bernstein

Définition 1.4SoitPnl"espace des polynômes à une variable réelle de degré inférieur

ou égal àn. On appelleiiemepolynôme de Bernstein de degrénsur l"intervalle[0;1]: B ni(t) =Cin(1t)niti;8t2[0;1];(1.48) oùCin=n!(ni)!i!. Proposition 1.1L"ensemble desBni(t); i= 0;:::;nest une base dePn. Les polynômes de Bernstein vérifient les propriétés:quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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