[PDF] Analyse numérique : Approximation de fonctions
29 jan 2013 · Approximation de fonctions Analyse numérique (Pagora 1A) On cherche à calculer les valeurs d'une fonction f (x) pour toutes
[PDF] Approximation numérique des fonctions
17 jan 2018 · ses valeurs en des points où d'une fonction inconnue qui est solution d'une équation diffé- rentielle L'analyse numérique est la branche
[PDF] Analyse Numérique
3 4 Approximation par des fonctions polynômiales par morceaux Ces deux notions toujours présentes en analyse numérique sont relatives à la propa-
[PDF] Approximations numériques
?? approximation par une fonction polynomiale ª Différentes techniques d'approximation `a étudier ! ! Interpolation de Lagrange f(x) = sin( ?x 2 )(x2 + 3)
[PDF] Chapitre II Interpolation et Approximation
Probl`eme de l'interpolation : on recherche des fonctions “simples” (polynômes Methodus differentialis du livre Analysis per quantitatum series
[PDF] Chapitre 1 : Introduction à LAnalyse Numérique
L'analyse numérique est la conception et l'étude d'algorithmes pour Approximation au sens des moindres carrés : une fonction s qui minimise l'énergie
[PDF] III INTERPOLATION ET APPROXIMATION DE FONCTIONS
Analyse Numérique – R Touzani Interpolation et approximation Par exemple la fonction p peut être polynomiale : p(x) = a0 + a1x + a2x2 + + anxn
[PDF] Analyse Numérique - Institut de Mathématiques de Toulouse
nomiale du calcul approché des intégrales et de l'approximation des En analyse numérique une fonction f n'est souvent connue que par ses valeurs fi
[PDF] Analyse Numérique - Institut de Mathématiques de Toulouse
2 déc 2014 · cul approché des intégrales et de l'approximation En analyse numérique une fonction f n'est souvent connue que par ses valeurs fi en un
Approximation numérique - u-bordeauxfr
mation de la fonction f initiale Deux approches sont possibles pour le calcul de cette approximation: Onimposequefetf h coïncident(etéventuellementleursdérivées)endespoints choisis Cette approche conduit aux méthodes d’interpolation polynomiale Elle permetégalementd’approcherlafonctionendehorsdel’intervalleinitial
Approximation numérique - u-bordeauxfr
L’objectif de ce chapitre est de voir quelques méthodes (simples) de calcul approché d’intégrales D’autres méthodes un peu plus élaborées sont présentées en compléments dans le Chapitre5 Avant de voir ces différentes méthodes il y a deux points importants qu’il s’agit de toujours avoir
ANALYSE NUMERIQUE I - Université Sorbonne Paris Nord
Les matrices triangulaires sont importantes pour la résolution numérique des systèmes car elles ont les propriétés suivantes : – La transposée d’une matrice triangulaire inférieure est triangulaire su-périeure et réciproquement; – Le produit de deux matrices triangulaires inférieures est triangulaire
JEAN-PAUL CALVI - univ-toulousefr
sance raisonnable de l’analyse des fonctions d’une variable réelle disons du théorème des valeurs in-termédiaires jusqu’à la formule de Taylor (qui sera rappelée) et une certaine familiarité avec le calcul matriciel J’ai inséré d’assez nombreux exercices souvent élémentaires y compris dans le cours du
Agrégation Externe de Mathématiques Analyse Numérique
Ce document a pour vocation de rassembler les éléments d’analyse numérique qui peuvent être utiles pour préparer les oraux de l’agrégation externe de Mathématiques Les étudiants préparant l’option B sont les premiers concernés mais pas seulement
Searches related to approximation des fonctions analyse numérique PDF
1 Approximation de solutions d’équations Uneéquationscalairealaformegénérale f(x) = 0 oùfestunefonctiondeIRdans IR Un système de néquations à ninconnues peut aussi se mettre sous une telle forme avecx= (x 1; ;x n) 2IRn représentantlesninconnuesetfunefonctionvectoriellede IRn dans IRn La résolution exacte de telles équations est
Comment calculer une approximation numérique ?
En prenant une combinaison linéaire deI(h)etI(h2), on pourra obtenir une approximationnumérique deI(0)meilleure que celle deI(h). Cette constatation est à la base de laméthode de Romberg. a+bf(a) + 2f+f(b) ha+b= f(a) + 4f+f(b)
Quelle est la qualité de l’approximation ?
La qualité de l’approximation dépend alors de la régularité de la fonction à intégrer, de la taille des sous-domaines (pas du maillage), du degré d’exactitude de la formule choisie. Une autre méthode (dans les cas simples) consiste à utiliser le théorème de Fubini pour se ramener au cas d’intégrales monodimensionnelles.
Comment calculer la fonction d'approximation ?
? i+1(xi) =si. 2.3.3 onctionsF splines Il se trouve que, au lieu de s'imposer lessisous la forme (2.37), on peut les choisir pour que la fonction d'approximation soit non seulement à dérivée continue, mais à dérivée seconde continue : il s'agit alors de fonctions splines d'interpolation.
Quelle est la meilleure approximation linéaire ?
Remarque 2.11 un aanvtage de l'écriture dePsur la baseL0,L1,L2,L3est que par exemple la partie tronquée 1,175...L0+ 1,131...L1est la meilleure approximation linéaire au sens des moindres carrés deexsur [?1,1] (un peu comme dans le cas de la formule d'interpolation de Newton). 2.2.5 Polynômes trigonométriques
1Définition
L"analyse numérique est la conception et l"étude d"algorithmes pour obtenir des solutions à des ensembles d"équations issus de modèles issus de la physique, de la biologie, de la finance ...2Motivations : Recherche et développement : études expérimentales coûteuses Les modèles considérés sont composés d"ensemble d"équations donton ne sait pas déterminer de solutions explicitesProposer une solution approchée, calculée à l"aide de l"ordinateur.
3Développer des algorithmes efficaces
Convergence et stabilité de la méthode numériqueCoût algorithmique
3/18 Plan du cours1Introduction à l"analyse numérique2Interpolation et approximation
3Intégration numérique
4Résolution de systèmes linéaires
5Equations non linéaires
6Equations différentielles ordinaires
7Equations aux dérivées partielles
4/18Quelques exemples
Mouvement du penduleθl
mgEquation
800(t) +gl
sin((t)) =0; (0) =0;0(0) =1Solution exacte ?Solution approchée pour <<1
8>>><>>>:
00(t) +gl
(t) =0; (t) =0cos qg l t +ql g 1sin qg l tUtiliser une approximation numérique de la solution !5/18Quelques exemples
Calculer les racines du polynômep(x) =ax2+bx+c
6/18Quelques exemples
Temps de calcul pour l"inversion d"une matrice
7/181Représentation des réels sur l"ordinateur
2Conditionnement, stabilité et complexité
8/18Représentation des réels en basebTous nombre réelxpeut être représenté sous la forme
x=m be;avecb2:avec la mantissem: m=m1b1+m2b2+:::;etmi2 f0;1;:::;b1get l"exposante: e=e0b0+e1b1+:::es1bs1;avec s2NReprésentation unique ?Ordinateur : mémoire finie !
La mantisse est tronquée au bout derchiffres,Valeur maximale pours9/18Le standard IEE (754-1985)
Float double précision : utilisation de 8 octets ( 64 bits ),b=2e : 11 bitsm : 52 bitsSigne: 1 bitPour la mantisse : utilisation de 52 bits
m=21+m222+m323+:::+m53253;Pour l"exposant : 11 bits :e2[1022;1025]avec e=c020+c121+:::+c102101022;avecci2 f0;1gLes valeurse=1022 ete=1025 sont réservées à la représentation de 0 et de InfOn appelleFl"ensemble fini de ces nombres10/18Exercices
Exercice
Calculer x
maxle nombre le plus grand deFet xposmin, le nombre positif le plus petit deFExercice Proposer deux algorithmes pour déterminer respectivement une approximation numérique de x maxet xposmin11/18Erreur d"arrondi
Seuls les éléments deFsont autorisésUn nombre réelxm2e,m=0:1m2m3:::pourxposmin12/18Erreur arrondi
Sixposmin532ejmj2e253'1016
13/181Représentation des réels sur l"ordinateur
2Conditionnement, stabilité et complexité
14/18Conditionnement d"un problème numérique
Definition
Le conditionnement représente la sensibilité du résultat par rapport à de petites variations des données ...On dit qu"un problème est
-bien conditionnési une petite variation des données entraîne une petite variation du résultat -mal conditionnési une petite variation des données entraîne une grande variation du résultatExemple : soitf:R!RDéveloppement de Taylor f(x+x) =f(x) +f0(x)x+o(x) f:=f(x+x)f(x)'f0(x)xConditionnement k=ffx x'xf0(x)f(x)15/18Conditionnement des opérations arithmétiques
élémentairesSoitf2 C2(Rn;R). Quel est le conditionnement def?D"après le développement de Taylor def,
f=f(x+dx)f(x) =n X i=1@f@xixi+0(jxj2):Le conditionnement est donc déterminé par les nombres k i=@f@xix if(x):Exercice Calculer le conditionnement de l"addition et de la multiplication16/18Stabilité d"un algorithme
Definition
La stabilité d"un algorithme se réfère à la propagation des erreurs au cours des étapes du calcul, à la capacité de l"algorithme de ne pas trop amplifierd"éventuels écarts, à la précision des résultats obtenus.Exemple : l"algorithme qui calcule les racines du polynôme
p(x) =ax2+bx+cbasé sur les formules x1=b+pb
24ac2a;x2=bpb
24ac2a
s"avère instable en pratique : exemple aveca=1020;b=1;c=1ExerciceProposer un autre algorithme plus stable
17/18Complexité algorithmique
Definition (Coût algorithmique)
Nombre d"opérations élémentaires effectuées par l"algorithme (+, *, sqrt, puissance ...)Exemple : Evalutation du polynômep(x) =Pn i=0aixi:Nombre de multiplications : Pn i=0i=n(n+1)2 Nombre d"additions :nCoût algorithmique!O(n2)Definition8 >>>>><>>>>>:O(nk)!coût polynomialO(an)!coût exponentiel
O(n!)!coût factoriel
18/18Complexité algorithmique
Exemple : Evalutation du polynômep(x) =Pn
i=0aixi:Schéma de Horner p(x) =a0+x(a1+x(a2+x(:::an)))Coût algorithmique ? 1/41Chapitre 2 : Interpolation et approximation
2/41A partir d"un ensemble de points(xi;yi)
i=0:n, on recherche dans un espace de fonctions,Interpolation :une fonctionsqui interpole les noeuds(xi;yi), s(xi) =yi;8i=0:n Approximation au sens des moindres carrés :une fonctionsqui minimise l"énergie, nX i=0jyis(xi)j2 3/41 Exemples d"interpolation :fig:Inter polationpolynomiale ,linéaire par morceaux et spline Exemples d"approximation au sens des moindres carrés : fig:Rég ressionlinéaire ,quadr atique
4/411Interpolation polynomiale
2Interpolation polynomiale par morceaux
3Approximation au sens des moindres carrés
5/41Interpolation polynomiale :
Définition
On note P
nl"ensemble des polynômes réels de degré n P n=np(x) ;p(x) =a0+a1x+a2x2+:::+anxno avec a i2ROn recherche un polynômepn2Pntel que pour touti=0:n, p n(xi) =yi:ThéorèmeIl existe un unique polynôme p
n2Pnqui interpole les noeuds(xi;yi) i=0:n.6/41Polynôme d"interpolation de Vandermonde :
On souhaite trouver un polynôme de degré 2 qui interpole les noeuds (1;2);(0;3);(1;6). On cherche le polynômep2sous la formep2(x) =a0+a1x+a2x2tel que p2(1) =2,p2(0) =3 etp2(1) =6. Alors
8>>>>><>>>>>:p
2(1) =2
p2(0) =3
p2(1) =6=)8
>>>>><>>>>>:a0a1+a2=2
a 0=3 a0+a1+a2=6=)8
>>>>><>>>>>:a 0=3 a 1=2 a 2=1La solution du problème est doncp2(x) =3+2x+x2
7/41Polynôme d"interpolation de Vandermonde :
Plus généralement,Pnest un espace vectoriel dont la base canonique s"écritn1;X;X2;:::;Xnoet p n(x) =n X k=0a kxk: Alors8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:p
n(x0) =y0 p n(x1) =y1::: p n(xn) =yn=)8 >>>>>>>>><>>>>>>>>>:a0+a1x0+a2x2
0+:::+anxn
0=y0 a0+a1x1+a2x2
1+:::+anxn
1=y1:::
a0+a1xn+a2x2n+:::+anxnn=yn
8/41Polynôme d"interpolation de Vandermonde :
8 >>>>>>>>><>>>>>>>>>:p(x0) =y0 p(x1) =y1::: p(xn) =yn=)0BBBBBBBBBBBBBBB@1x0x2
0xn01x1x2
1xn 1:::1xnx2nxnn1
CCCCCCCCCCCCCCCA0
BBBBBBBBBBBBBBB@a
0 a 1::: a n1CCCCCCCCCCCCCCCA=0
BBBBBBBBBBBBBBB@y
0 y 1::: y n1CCCCCCCCCCCCCCCA
Les coefficientsaidu polynôme d"interpolation s"obtiennent donc en résolvant le système linéaire suivant Ba=y; où (B)i;j=xi1 j,(a)i=aiet(y)i=yi.PropriétéLe déterminant de la matrice B vérifie
det(B) =Y0i 9/41Polynôme d"interpolation de Vandermonde :
Le polynôme d"interpolationpns"obtient donc par la résolution du système linéaireBa=y! Mais en pratiqueBest une matrice mal conditionnée !Coût de la résolution du système linéaire enO(n3)!
Idée :Exprimer le polynômepndans une autre base dePnet pour laquelle, la décomposition depnest explicite ! 10/41Polynôme d"interpolation de Lagrange
On souhaite trouver le polynôme d"interpolation associé aux noeuds (1;2);(0;3);(1;6). On introduit alors les trois polynômesL0,L1etL2définis par L 0(x) =12
x(x1);L1(x) =1x2;etL2(x) =12 x(1+x);qui vérifient 8>>>>><>>>>>:L
0(1) =1;L0(0) =0;L0(1) =0;
L 1(1) =0;L1(0) =1;L1(1) =0;
L 2(1) =0;L2(0) =0;L2(1) =1;Exercice
Montrer que la famille
fL0;L1;L2gest libre et expliciter la décomposition de p 2dans cette base
11/41Polynôme d"interpolation de Lagrange
Plus généralement, on introduit une base dePnnotéenLn ko k=0:n, où les polynômesLn ksont définis par la propriété suivante : L n k(xi) =8 >><>>:1 sik=i 0 sinonExercice
Montrer que le polynômeLn
ks"explicite sous la forme L n k(x) =Q n i=0;i,k(xxi)Qquotesdbs_dbs26.pdfusesText_32
9/41Polynôme d"interpolation de Vandermonde :
Le polynôme d"interpolationpns"obtient donc par la résolution du systèmelinéaireBa=y! Mais en pratiqueBest une matrice mal conditionnée !Coût de la résolution du système linéaire enO(n3)!
Idée :Exprimer le polynômepndans une autre base dePnet pour laquelle, la décomposition depnest explicite !10/41Polynôme d"interpolation de Lagrange
On souhaite trouver le polynôme d"interpolation associé aux noeuds (1;2);(0;3);(1;6). On introduit alors les trois polynômesL0,L1etL2définis par L0(x) =12
x(x1);L1(x) =1x2;etL2(x) =12 x(1+x);qui vérifient8>>>>><>>>>>:L
0(1) =1;L0(0) =0;L0(1) =0;
L1(1) =0;L1(0) =1;L1(1) =0;
L2(1) =0;L2(0) =0;L2(1) =1;Exercice
Montrer que la famille
fL0;L1;L2gest libre et expliciter la décomposition de p2dans cette base
11/41Polynôme d"interpolation de Lagrange
Plus généralement, on introduit une base dePnnotéenLn ko k=0:n, où les polynômesLn ksont définis par la propriété suivante : L n k(xi) =8 >><>>:1 sik=i0 sinonExercice
Montrer que le polynômeLn
ks"explicite sous la forme L n k(x) =Q n i=0;i,k(xxi)Qquotesdbs_dbs26.pdfusesText_32[PDF] approximation de pi par la méthode de monte carlo
[PDF] méthode de monte carlo algorithme
[PDF] méthode de la sécante
[PDF] méthode du point fixe
[PDF] methode de newton pdf
[PDF] méthode de héron dm
[PDF] developpement decimal
[PDF] développement décimal d un réel
[PDF] loi de poisson exemple
[PDF] approximation dans un calcul synonyme
[PDF] approximation linéaire excel
[PDF] approximation affine d'une fonction
[PDF] approximation affine d'une fonction au voisinage de a
[PDF] approximation linéaire fonction deux variables
