Les transformations géométriques du plan
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Géométrie
(u0v0) sont les coordonnées en pixels de l'intersection de l'axe optique avec le plan rétinien. UFR IMA. 12. Page 13. Géométrie. 3.3 Transformation globale.
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Les transformations géométriques du plan - Inria
Les transformations géométriques du plan constituent des fonctions de base du graphisme au même titre que le traçage et le remplissage Les transformations usuelles du graphisme : Translation Rotation Changement d’échelle À cela s’ajoute les modèles af?nes et projectifs permettant de modéliser un
Des pavages aux transformations - Nantes Université
configurations et de l’action des transformations sur les figures » dans celui de 2000 il était précisé que « les transformations seront utilisées pour la détermination de lieux géométriques et dans la recherche de problèmes de construction » Depuis les programmes de 2008 les transformations du plan étudiées
Transformations géométriques
élémentaires Le but de ce document est de vous présenter les transformations usuelles du plan et la manière de les utiliser pour résoudre des problèmes de géométrie de type olym-pique Il est possible de sauter les preuves en première lecture la plupart des résultats étant de toute façon assez intuitifs
Graphisme2D
Contenu
1Lescoordonnéeshomogènes2
2Lestransformations3
3Compositiondestransformationsdebase7
4Transformationd'images10
UFRIMA1
Graphisme2D
usuellesdugraphisme:Translation.
Rotation.
Changementd'échelle.
(texturemapping).1Lescoordonnéeshomogènes
pointssiilexisteunscalairetelque: x0=x;y0=y;w0=w:
tions,enparticulierlestranslations. projectif. +Représentationusuelle:[x;y;1]. +Pointsàl'infini:[x;y;0].UFRIMA2
Graphisme2D
2Lestransformations
2.1Lestransformationsélémentaires
X=[x;y;w]tetX0=[x0;y0;w0]t:
Translationde(tx;ty):X0=TXavec:
T=2 6 410tx01ty 0013 7 5
Rotationd'angle:X0=RXavec:
R=2 64cossin0
sincos0 0013 7 5Symétries:
2 6 4100010 0013 7 52
6 4100
010 0013 7 52
6 4100
010 0013 7 5 axedesxaxedesyorigine
Changementsd'échelle(sx;sy):
S=2 6 4s x00 0sy0 0013 7 5UFRIMA3
Graphisme2D
2.2LestransformationsEuclidiennes
Matrice:2
64cossintx
sincosty 0013 7 5Typesdetransformations:
Caractéristiques:
2.3Lessimilitudesduplan
Matrice:2
64cossintx
sincosty 00s3 7 5Typesdetransformations:
Caractéristiques:
UFRIMA4
Graphisme2D
Exercices:
2.4Lestransformationsaffines
Matrice:2
6 4m 1m2m3 m 4m5m6 00m73 7 5Typesdetransformations:
Caractéristiques:
+6degrésdeliberté.Exercices:
triques.UFRIMA5
Graphisme2D
2.5Lestransformationsprojectives
Matrice:2
6 4m 1m2m3 m 4m5m6 m7m8m93
7 5Typesdetransformations:
Caractéristiques:
+8degrésdeliberté. colinéaires: OABCD la l lb cd l l cla lclb=ldlaldlb oùlxestladistanceEuclidienne.UFRIMA6
Graphisme2D
Exercices:
l estlamatricedetransformationdesdroites?3Compositiondestransformationsdebase
coordonnées(xa;ya):1.TranslationtellequeAestàl'origine.
2.Rotation.
3.Translationinverse.
(xa,ya) X 0=MX;M=T(xa;ya)R()T(xa;ya):
D'unemanièregénérale:
M=M1:::Mn:
1.translationspures;
2.rotationspures;
UFRIMA7
Graphisme2D
3.changementsd'échellepures;
4.changementsd'échelleetrotationsi:
sx=sy; =n.3.1Changementderepère
systèmesdecoordonnées.Utilelorsque:
+lamodélisationdescaméras. (xa,ya) 1 2 1 13 4T(xa;ya)R()T(xb;yb)
1M, 4 X=4 1M1X; 41M=T(xb;yb)R()T(xa;ya):
+Règle:UFRIMA8
Graphisme2D
j Q=i jMiQi jM1:UFRIMA9
Graphisme2D
4Transformationd'images
Translationd'uneimage
transformée(valeursnonentières). pourchaquepixel(i,j)del'imagedestination1.calculer(w0x0;w0y0;w0)t=A1(i;j;1)t
UFRIMA10
Graphisme2D
A-1p1p2
Image 1Image 2
Choixentreinterpolationetmoyennage?
UFRIMA11
Graphisme2D
RV BV BR B V RInterpolation
Moyennage
UFRIMA12
Graphisme2D
UFRIMA13
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