Sommaire Figures 1. Intégrales doubles PDF

Chapitre 3 Intégrale double

Définition 3.2. (fonction en escalier sur un rectangle fermé) Soit R = [a b] × [c

Math2 – Chapitre 3 Intégrales multiples

3.1 – Intégrales de Riemann (rappels de TMB). 3.2 – Intégrales doubles. 3.3 – Intégrales triples. 3.4 – Aire volume

Intégrales de fonctions de plusieurs variables

le long d'une courbe fermée C peuvent s'exprimer comme des intégrales doubles sur la région du plan entourée par C (c'est la formule de Green-Riemann).

Résumé sur les intégrales doubles

Définition : On appelle intégrale d'une fonction de deux variables l'intégrale double de la fonction sur le domaine D et on note :.

Intégrales doubles et triples - M—

Définition: Intégrale Double. • D un domaine inscrit dans le rectangle [ab] × [c

Chapitre 1 Intégrales doubles et probabilités

1.1 Qu'est ce qu'une intégrale double ? Soit une fonction réelle f à deux variables x et y. Le graphe de f est une surface qui représente les valeurs f

Sommaire Figures 1. Intégrales doubles

Intégrales doubles et triples. 12 - 1. Sommaire. 1. Intégrales doubles. 1. 1.1. Descriptionhiérarchiséedudomaine. . . 1. 1.2. Intégraledouble .

3.2 Succession dintégrales simples - Théorème de Fubini

Si la somme double de Riemann tend vers une limite I ? R lorsque le pas du quadrillage tend vers 0 alors la fonction f est intégrable sur D et on a ? ?D f(x

Sommaire Figures 1. Intégrales doubles

Ce chapitre est un chapitre pratique destiné à permettre de calculer l'intégrale. • d'une fonction continue de 2 variables sur une partie fermée bornée du

Intégrales doubles et triples12 - 1Sommaire

1. Intégrales doubles1

1.1. Descrition hiérarchisée de. . . . . . . .1

1.2. Intégrale double . . . . . . . . . . . . . .2

1.3. Théorème de Fubini . . . . . . . . . . . .3

1.4. Un cas particulier . . . . . . . . . . . . .3

1.5. Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1.6. Changement de variables . . . . . . . . .4

1.7. Coordonnées polaires . . . . . . . . . . .52. Intégrales triples6

2.1. Description hiérarchisée de. . . . . . .6

2.2. Changement de variables . . . . . . . . .6

2.3. Coordonnées cylindriques . . . . . . . . .6

2.4. Coordonnées sphériques . . . . . . . . .8

3. Calculs divers9

3.1. Aire ou volume de. . . . . . . . . . . .9

3.2. Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

3.3. Centre d"inertie . . . . . . . . . . . . . . .10

3.4. Moments d"inertie . . . . . . . . . . . . .10

3.5. Colbert, lycée numérique . . . . . . . . .12Figures

1 Intégrale double . . . . . . . . . . . . . . .2

2 Théorème de Fubini . . . . . . . . . . . . .3

3 Coordonnées Polaires . . . . . . . . . . .5

4 Intégrale double en polaires . . . . . . . .55 Intégrale triple . . . . . . . . . . . . . . . .7

6 Coordonnées Cylindriques . . . . . . . . .8

7 Intégrale triple en cylindriques . . . . . .9

8 Coordonnées Sphériques . . . . . . . . .10

9 Intégrale triple en sphériques . . . . . . .11

10 Coordonnées Sphériques des physiciens12Ce chapitre est un chapitrepratiquedestiné à permettre de calculer l"intégrale

d"une f onctioncon tinuede 2 v ariablessur une partie f erméebornée d uplan, ou d"une f onctioncon tinuede 3 v ariablessur une partie f erméebornée de l" espace. On ne se posera aucun problème de nature théorique ettous les théorèmes seront admis.

1. Intégrales doubles

1.1. Description hiérarchisée d"une partie fermée bornée deR2Définition :On appelle description hiérarchisée du domaineune partie fermée bornée deR2:

l"existence de 2 réelsaetbet de 2 applications continues sur[a;b], notéesuetvtels quea < bet

8x2[a;b],u(x)6v(x), avec

(x;y)2,8 >><>>:x2[a;b] y2[u(x);v(x)]Ce qui peut s"illustrer par la figure 1, page suivante.

On fera attention à ne pas commettre l"erreur du débutant qui cherche les bornes extrèmes pour les 2

variables indépendamment les unes des autres, et transforme tous les domaines en rectangle... Exemple :On va prendre le domaine du plan défini par :y>0; x>y; x61. Il est élémentaire de faire une figure de ce domaine, qui est un triangle. En travaillant sur cette figure, on obtient facilement une description hiérarchisée :8 >><>>:x2[0;1]

y2[0;x]Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

12 - 2Intégrales doubles et triplesy

xΔ a b x u(x)v(x)

OFigure 1 -Intégrale double1.2. Intégrale double defcontinue sur, un fermé borné deR2Définition :fcontinue sur, un fermé borné deR2, si on dispose d"une description hiérarchisée

de, on appelle intégrale double defsur: I = f(x;y) dxdy=Z b a0

BBBB@Z

v(x)

u(x)f(x;y) dy1CCCCAdxEn un mot, on transforme cette intégrale double en 2 intégrales simples emboîtées

Exemple :On va intégrer la fonction(x;y)!f(x;y)=xysur D :8 >>>>><>>>>>:x>0 y>0 x+y61 On cherche d"abord une description hiérarchisée du domaine :8 >><>>:x2[0;1] y2[0;1x];ce qui donne : I = D xydxdy=Z 1 0Z 1x 0 xydydx I = Z 1 0x (1x)22 dx="x(1x)36 1 0 +Z 1 0( 1x)36 dx=" (1x)424 1 0 =124

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Intégrales doubles et triples12 - 31.3. Théorème de Fubini : inversion des bornes

Théorème :

Si on a par ailleurs : (x;y)2,8

>><>>:y2[c;d] x2[(y);(y)]avecc < det8y2[c;d],(y)6(y), alors : I = f(x;y) dxdy=Z b a0

BBBB@Z

v(x) u(x)f(x;y) dy1CCCCAdx=Z d c0

BBBB@Z

(y) (y)f(x;y) dx1CCCCAdyCeci est illustré sur la figure 2, ci-dessous. y xΔ cd y

(y)(y)OFigure 2 -Théorème de Fubini : inversion de l"ordre des intégrationsOn peut ainsi changer l"ordre d"intégration, le calcul est diérent, mais le résultat est le

même.

1.4. Un cas particulier

On va se placer dans un cas très particulier puisque : (x;y)2,8 >><>>:x2[a;b] y2[c;d] Le domaine est un rectangle. Et d"autre part :8(x;y)2; f(x;y)='(x) (y) Alors, par linéarité des intégrales simples sur un intervalle : I = f(x;y) dxdy=Z b a0

BBBB@Z

v(x) u(x)f(x;y) dy1CCCCAdx Z b a Zd c '(x) (y)dy! dx=Z b a (x)Z d c (y)dy! dx Z b a '(x) Zd c (y)dy! dx= Zd c (y)dy! Zb a '(x)dx Z b a '(x)dxZ d c

12 - 4Intégrales doubles et triplesAinsi, dans ce cas :

'(x) (y)dxdy=Z b a '(x)dxZ d c (y)dy

1.5. Propriétés

a/ Linéarité

Théorème :f ;gcontinues sur, un fermé borné deR2, on dispose d"une description hiérarchisée de

.etdeux réels. Alors :" f(x;y)+g(x;y)dxdy=" f(x;y) dxdy+" g(x;y) dxdy b/ Positivité

Théorème :fcontinue,positive, sur, un fermé borné deR2, on dispose d"une description hiérar-

chisée de. Alors :" f(x;y)dxdy>0 c/ Additivité selon les domaines

Théorème :fcontinue, sur1et2, deux fermés bornés deR2, on dispose d"une description hiérar-

chisée de1et2. De plus1\2estau plusune courbe. Alors :"

1[2f(x;y) dxdy="

1f(x;y) dxdy+"

2f(x;y) dxdy

Cela permet d"exploiter d"éventuelles symétries (de la fonction et du domaine). Théorème :Sifest continue etpositivesur, avec, de plus, D, alors :" D f(x;y) dxdy6" f(x;y) dxdy

1.6. Changement de variablesThéorème :':U!Vde classeC1,UetVdeux ouverts deR2.

D etdeux fermés bornés deR2, DU, et,V.

De plus :'(D)=.

On suppose que les points dequi ont plusieurs antécédents sont de surface nulle.

On note :

(x;y)='(u;v),D(x;y)D(u;v)le jacobien de'en(u;v), et,D(x;y)D(u;v) la valeur absolue du jacobien.

Alors :"

f(x;y) dxdy=" D g(u;v)D(x;y)D(u;v) dudvOn notera lavaleur absoluedu jacobien et la pseudo-simplification.

On rappelle que :

D(x;y)D(u;v)=

@x@u @x@v @y@u @y@v

Notons qu"on fait un changement de variable :

pour sim plifierle domaine, ce qui est nouveau ou pour sim plifierle cal culdes primitiv esemboîtées.

Notons enfin quele domaine changeet doncsa description hiérarchisée aussi.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

Intégrales doubles et triples12 - 51.7. Changement de variables en coordonnées polaires

Théorème :On pose8

>><>>:x=cos y=sin(x;y)2D,(;)2, etf(x;y) =f(cos;sin)=g(;) D f(x;y) dxdy="quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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[PDF] Sommaire Figures 1. Intégrales doubles

Intégrales doubles et triples12 - 1Sommaire

1. Intégrales doubles1

1.1. Descrition hiérarchisée de. . . . . . . .1

1.2. Intégrale double . . . . . . . . . . . . . .2

1.3. Théorème de Fubini . . . . . . . . . . . .3

1.4. Un cas particulier . . . . . . . . . . . . .3

1.5. Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1.6. Changement de variables . . . . . . . . .4

1.7. Coordonnées polaires . . . . . . . . . . .52. Intégrales triples6

2.1. Description hiérarchisée de. . . . . . .6

2.2. Changement de variables . . . . . . . . .6

2.3. Coordonnées cylindriques . . . . . . . . .6

2.4. Coordonnées sphériques . . . . . . . . .8

3. Calculs divers9

3.1. Aire ou volume de. . . . . . . . . . . .9

3.2. Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

3.3. Centre d"inertie . . . . . . . . . . . . . . .10

3.4. Moments d"inertie . . . . . . . . . . . . .10

3.5. Colbert, lycée numérique . . . . . . . . .12Figures

1 Intégrale double . . . . . . . . . . . . . . .2

2 Théorème de Fubini . . . . . . . . . . . . .3

3 Coordonnées Polaires . . . . . . . . . . .5

4 Intégrale double en polaires . . . . . . . .55 Intégrale triple . . . . . . . . . . . . . . . .7

6 Coordonnées Cylindriques . . . . . . . . .8

7 Intégrale triple en cylindriques . . . . . .9

8 Coordonnées Sphériques . . . . . . . . .10

9 Intégrale triple en sphériques . . . . . . .11

10 Coordonnées Sphériques des physiciens12Ce chapitre est un chapitrepratiquedestiné à permettre de calculer l"intégrale

1. Intégrales doubles

1.1. Description hiérarchisée d"une partie fermée bornée deR2Définition :On appelle description hiérarchisée du domaineune partie fermée bornée deR2:

8x2[a;b],u(x)6v(x), avec

12 - 2Intégrales doubles et triplesy

BBBB@Z

Théorème :

Si on a par ailleurs : (x;y)2,8

BBBB@Z

BBBB@Z

1.4. Un cas particulier

BBBB@Z

12 - 4Intégrales doubles et triplesAinsi, dans ce cas :

1.5. Propriétés

1[2f(x;y) dxdy="

1f(x;y) dxdy+"

2f(x;y) dxdy

1.6. Changement de variablesThéorème :':U!Vde classeC1,UetVdeux ouverts deR2.

D etdeux fermés bornés deR2, DU, et,V.

De plus :'(D)=.

On note :

Alors :"

On rappelle que :

D(x;y)D(u;v)=

Notons qu"on fait un changement de variable :

Théorème :On pose8