[PDF] 3.2 Succession dintégrales simples - Théorème de Fubini

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3.2Succession d"intégrales simples - Théorème de Fubini

SoitR= [a, b]×[c, d](a < b, c < d)un rectangle fermé du planR2etf:R ?R une fonction continue. Pourx?[a, b]fixé, la fonctionf(x,•): [c, d] ?Rdéfinie parf(x,•)(y) =f(x, y)est intégrable sur[c, d]. Le nombre? cd f(x,•)(t)dt dépend dex. On a donc une fonctionA:[a,b] ?Rdéfinie par

A(x)=?

cd f(x,t)dt. En intégrant la fonctionAsur l"intervalle[a,b], on a la formule ab

A(x)dx=?

ab cd f(x, y)dy? dx.

Définition 3.7.Dans l"expression?

ab cd f(x, y)dy? dxde la formule(?) ci-dessus, on dit que l"on ad"abord intégré par rapport ày, et ensuite par rapport àx.

De manière analogue, dans l"expression?

cd ab f(x, y)dx? dy, on dit que l"on intègred"abord par rapport àx, puis par rapport ày.

Exemple 3.8.

Considérons le rectangleR=[1,2]×[0,3]?R2(1?x?2,0?y?3) et la fonction fdéfinie surRparf(x, y)=xy+y2+1. Ici,a=1,b=2,c=0etd=3. •on a? cd f(x, y)dy=? 03 (xy+y2+ 1)dy=?12 xy2+13y3+y? y=0y=3 =92x+12,en intégrant d"abord par rapport ày; •intégrant maintenant le résultat précédent par rapport àx, on obtient:? ab 03 (xy+y2+1)dy? dx=? 12 ?92 x+12? dx=?94x2+12x? 12 =33-12-94=75 4 A présent, commençons par intégrer cette même fonction par rapport àx, puis continuons le calcul en intégrant par rapport ày: -on a? ab f(x, y)dx=? 12 (xy+y2+1)dx=?12 x2y+(y2+1)x? x=1x=2 =y2+32y+1, en intégrant d"abord par rapport àx; -en intégrant le résultat ci-dessus par rapport ày, on obtient:? 03 12 (xy+y2+1)dx? dy=? 03 y 2+32 y+1? dy=?13y3+34y2+y? 03 =12+27 4=75 4 Dans l"exemple 3.8 nous remarquons que les deux intégrations successives don- nent le même résultat. Ceci n"est pas le fait du hasard mais est dû au théorème suivant que nous admettrons.38Intégrale double Théorème 3.9. (Théorème de Fubini pour les rectangles fermés) SoitR= [a, b]×[c, d](a < b, c < d)un rectangle fermé du planR2etf:R ?R une fonction continue, alorsfest intégrable surRet on a:? ? R f(x, y)dxdy=? ab cd f(x, y)dy? dx=? cd ab f(x, y)dx? dy.

Exemple 3.10.

SoitR=[1,2]×[0,2]?R2etf:R

?Rdéfinie parf(x, y)=yexy.

CalculonsI=? ?

R f(x, y)dxdy.

D"après le théorème de Fubini, on aI=?

02 12 (yexy)dx? dy. Or? 12 (yexy)dx=? e xy? x=1x=2 =e2y-ey.

On en déduitI=?

02 (e2y-ey)dy=?12 e2y-ey? 02 =12e4-e2+12. Note:En intégrant d"abord par rapport àx, le précédent calcul nous a pris juste deux lignes. Si nous commençons par intégrer d"abord par rapport ày, nous nous ren- dons vite compte que le calcul est moins évident. En effet? 02 (yexy)dy nécessite une intégration par parties. 02 (yexy)dy=?y x exy-1 x 2exy? y=0y=2 =e2x?2 x-1 x 2 +1 x 2 . L"intégration de cette dernière expression nécessite manifestement encore une intégration par parties:? 12 e 2x?2 x -1 x 2 +1 x 2? dx=? 12 1 x

×2e2xdx-?

12 1 x

2e2xdx+?

-1 x 12

Une intégration par parties donne:

12 1 x

×2e2xdx=?1

x×e2x? 12 12 (-1 x

2×e2x)dx.

On en déduit que

12 e 2x?2 x -1 x 2 +1 x 2? dx=?1 x

×e2x?

12 -1 x 12 =12 e4-e2+12. Il faut retenir que dans l"application du Théorème de Fubini,

un choix judicieux de l"ordre d"intégration s"impose.3.2Succession d"intégrales simples - Théorème de Fubini39

3.3Intégrales doubles sur des domaines non rectangles

On considère un domaine bornéDdu plan réelR2,f:D?Ret on voudrait calculer (si elle est définie) l"intégrale? ? D f(x, y)dxdy. Si le domaineDconsidéré n"est pas un rectangle mais est borné, nous pouvons l"inclure dans un rectangleR, considérer un quadrillage du rectangleRet définir une somme double de Riemann sur les rectangles du quadrillage qui sont entière- ment contenus dans le domaineR. Plus le quadrillage sera fin, mieuxDsera approximé par les rectangles du quadrillage contenus dansD. Si la somme double de Riemann tend vers une limiteI?Rlorsque le pas du quadrillage tend vers0, alors la fonctionfest intégrable surDet on a? ? D f(x, y)dxdy=I.

3.3.1Intégrales sur un domaine compris entre les graphes deux fonc-

tions et deux droites verticales Théorème 3.11.Soient[a, b](a < b) un intervalle fermé borné deR,uetv deux fonctions continues sur[a,b]telles que?x?[a,b],u(x)?v(x). SoitDle domaine deR2défini parD={(x, y)?R2/a?x?b, u(x)?y?v(x)}. Sif:D ?Rest une fonction continue, alorsfest intégrable surDet on a? ? D f(x, y)dxdy=? ab u(x)v(x) f(x, y)dy? dx.

Exemple 3.12.

SoitDle domaine deR2compris entre les droites d"équationsx= 1,x= 4et les deux paraboles d"équations respectivesy= (x-2)2-4,y=-(x-3)2+ 4. Onquotesdbs_dbs27.pdfusesText_33

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