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CARACTERISTIQUES DES SECTIONS PLANES

On demande de calculer : - Son centre de gravité. - Les moments d'inertie par rapport à xG et yG. Exercice 4. Mêmes questions pour la section

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CHAPITRE 4. CARACTÉRISTIQUES GÉOMÉTRIQUES DES

Définition : Le moment statique d'une section est la somme des produits de surfaces élémentaires de cette section par la distance d à un élément de référence r

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On demande de calculer : - Son centre de gravité. - Les moments d'inertie par rapport à xG et yG. Exercice 4. Mêmes questions pour la section

Elaboré par : Dr Imene BENAISSA République Algérienne

exercices corrigés destiné aux étudiants de 2ème année (S4) licence de Génie civil

Chap 8 Caractérisques géométriques des sections V2001

Pour calculer les caractéristiques géométriques des sections nous devons savoir calculer la CONCLUSION DE CET EXERCICE : METHODE POUR LE CALCUL DE G.

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RDM – Ossatures Manuel dexercices

E2 : Ossature plane . 3 Sections droites : caractéristiques et contraintes ... La géométrie existe dans la biblioth`eque d'ossatures paramétrées.

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RECUEILS DEXERCICES CORRIGES

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RECUEILS D’EXERCICES CORRIGES - F2School

géométrique de la section 2) Cette section comporte 4 gaines de 70 mm de diamètre situées respectivement à 105 mm et 245 mm de la fibre inférieure Le centre de gravité des gaines est à 0 925 m de la fibre supérieure Déterminer les caractéristiques de la section nette: l’aire de la section B n [m

CARACTERISTIQUES DES SECTIONS PLANES - Cesfa BTP

CENTRE DE GRAVITE D ’UNE SECTION PLANE La distance dG du centre de gravité d’une section plane S à une droite ? est définie par la relation suivante : S m dG = ? Cette relation permet aussi de calculer le moment statique d’une section connaissant la position de son centre de gravité

Comment fonctionne la géométrie plane?

On commença par de véritables projections de la sphère sur un plan ou sur une surface développable, d'après les lois de la perspective. L’idée était aussi de simplifier les calculs(cap, distance) : complexes sur le modèle sphérique ou ellipsoïdal de la Terre, ils sont ramenés à des calculs de géométrie plane sur la carte.

Comment calculer les caractéristiques géométriques?

D’après la formule de BLONDEL on a : 0.59?g +2h ?0.66et 2h +g =0.64 ? (1) Les résultats des caractéristiques géométriques calculées sont : Hauteur de contre marche : h = 17cm La largeur de la marche : g = 30cm Nombre de contre marches : n= 9 Nombre de marches : (n-1) = 8 Vérification de la formule de BLONDEL :

Quels sont les différents types de cours de géométrie plane?

Doc Géométrie plane, cours de géométrie plane et introduction aux groupes de la géométrie. OEF Petits tests de programmation, collection d'exercices testant la compréhension de programmes simples. Chimie thérapeutique, collection d'exercices en chimie thérapeutique.

Quels sont les documents de la géométrie plane?

Doc Frises et Pavages, document sur les frises et les pavages conduisant à la notion de groupe. Doc Géométrie plane, cours de géométrie plane et introduction aux groupes de la géométrie.

RDM { Ossatures

Manuel d'exercices

Yves Debard

Institut Universitaire de Technologie du Mans

26 juin 2006 { 29 mars 2011

Table des matiµeres

1 Exemples

Exemple 1 : Portique plan

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Exemple 3 : Anneau plan

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Exemple 4 : Plancher

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Exemple 5 : Ossature spatiale

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Exemple 6 : Modes propres d'un anneau plan

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Exemple 7 : Ossature plane

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Analyse statique

16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

E2 : Ossature plane

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

E3 : Ossature plane

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

E4 : Ossature plane

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

E5 : Ossature plane

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

E6 : Poutre droite

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

E7 : Poutre courbe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

E8 : Ossature plane

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 E9 : Poutre µa section droite variable soumise µa son poids propre . . . . . . . . . . . . . . . . 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 . . . . . . . . . . . . . 29 . . . . . . . . . . . . . . 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 32
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

S2 : Torsion d'une poutre rectangulaire

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 . . . . . . . . . . . . . . . 45 S11 : Contraintes dans une section droite : °exion-torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

S12 : Cisaillement du µa l'e®ort tranchant

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 S13 : Contrainte normale dans une poutre µa section droite variable . . . . . . . . . . . . . . 49 . . . . . . . . . . . . . . . 50

S15 : Section droite µa parois minces

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 S16 : Contraintes tangentielles dans un caisson multicellulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3 . . . . . . . . . . . . 55

S18 : Flexion - torsion

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 S19 : Contraintes normales dans une poutre µa section droite variable . . . . . . . . . . . . . 59 60

F1 : Ossature plane

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

F2 : Poutre droite

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

F3 : Poutre droite µa section variable

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

F4 : Poutre console { °exion-torsion

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 F7 : Flambement d'un m^at vertical sous son poids propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

F8 : Flambement d'une poutre droite

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

F9 : Flambement d'un cadre

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5 Modes propres

75
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

D2 : Poutre droite µa section variable

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

D4 : Portique plan

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

D5 : Ossature spatiale

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

D6 : Ossature plancher

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 D7 : Vibrations transversales d'une poutre droite libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 D8 : Premier mode propre d'une poutre console avec masses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 83

Chapitre 1

Exemples

Exemple 1 : Portique plan

SoientAl'aire des sections droites etIZleur moment quadratique par rapport µa l'axeZ. L'ossature Le n¾ud 2 porte une force de composantes(P;0;0).

On donne :

L= 2m

A= 16cm2,IZ= 135cm4

E= 200000MPa

P= 10000N

2RDM { Ossatures

Fichier

Ossature plane

Poutres

Sections droites

Section droite quelconque

A= 16cm2,IZ= 135cm4

Liaisons

Cas de charges

Le n¾ud 2 porte une charge de composantes (10000, 0, 0) N.

Module de Young = 200000 MPa

Calculer

Paramµetres

Modµele de Bernoulli

Calculer

Analyse statique

2= 2:2144mm; v2=¡0:0017mm; µ2z=¡0:0388º

3= 0:0245mm; v3=¡0:0033mm; µ3z= 0:1510º

4z=¡0:0754º

Actions de liaison:

1x=¡6077:4N; R1y= 533:4N; M1z= 3221:6N.m

4x=¡3922:6N; R4y=¡533:4N

Manuel d'exercices3

Problµeme:

Les poutres1¡2et1¡4sont en acier :

module de Young = 200000 MPa coe±cient de dilatation = 11 10

¡6K¡1

La poutre1¡3est en laiton :

module de Young = 100000 MPa coe±cient de dilatation = 18 10

¡6K¡1

Le n¾ud 1 porte une charge

~Pde composantes(0;¡10000;0)N.

4RDM { Ossatures

Poutres

Relaxations

Sections droites

Modi¯er la couleur courante

module de Young = 100000 MPa , coe±cient de dilatation = 18E¡6K¡1 module de Young = 200000 MPa , coe±cient de dilatation = 11E¡6K¡1

Liaisons

Cas de charges

Le n¾ud 1 porte une force de composantes(0;¡10000;0)N

Calculer

Analyse statique

1= 0; v1=¡0:96mm

Allongement des poutres:

1¡2= ¢1¡4= 0:768mm;¢1¡3= 0:960mm

E®orts normaux:

1¡2=N1¡4= 4370N; N1¡3= 3008N

Manuel d'exercices5

Exemple 3 : Anneau plan

On donne :

E= 200000MPa ,º= 0:3

c= 10mm ,L=R= 50mm p=¡10N/mm quart de l'anneau.

Fichier

Bibliothµeque

Ossature plane

6RDM { Ossatures

E= 200000MPa ,º= 0:3

Sections droites

Cas de charges

Calculer

Paramµetres

Modµele de Timoshenko

Calculer

Analyse statique

1=(6¼2+ 17¼¡6)pR4

24(2 +¼)EIz+¼ pR2

4EA+(2 +¼)pR2

4GAky =¡0:324026¡0:000982¡0:005013 =¡0:330021mm u

3=(¼¡14)pR4

6(2 +¼)EIz+pR2

2EA¡pR2

2GAky = 0:131992¡0:000625 + 0:001950 = 0:133317mm

Actions de liaisons:

1x= 0; M1z=(14 + 3¼)pR2

6(2 +¼)=¡18983N.mm

3y=¡pR= 500N; M3z=(2 + 3¼)pR2

3(2 +¼)=¡18567N.mm

Mf z2=¡4pR2

3(2 +¼)= 6483N.mm

Contraintes normales:

a b¾ =¨(14 + 3¼)pR2 (2 +¼)c3=§113:90MPa c d¾ =pR c

2¨2(2 + 3¼)pR2

(2 +¼)c3=½106:10

¡116:10MPa

Manuel d'exercices7

1=¡0:329765mm; u3= 0:133290mm

Actions de liaison:

1x= 0N; M1z=¡18977N.mm; F3y= 500N; M3z=¡18523N.mm

Contraintes normales:

a= 113:86MPa; ¾b=¡113:86MPa; ¾c= 106:14MPa; ¾d=¡116:14MPa

Remarque:

Avec le module RDM {

obtient : v

1=¡0:328065mmu3= 0:133370mm

a= 113:96MPa; ¾b=¡113:96MPa; ¾c= 99:66MPa; ¾d=¡124:20MPa 3 ] donne : c= 99:10MPa; ¾d=¡124:00MPa

8RDM { Ossatures

Exemple 4 : Plancher

1990, pages 342-345.

Problµeme:

Le n¾ud 2 porte une force de composantes(0;0;50)kN et un couple de comosantes(0;100;0)kN.m. La poutre1¡2porte en son milieu une force ponctuelle de composantes(0;0;¡150)kN. (0;0;¡75)kN/m.

On donne :

L= 2m module de Young = 200000 MPa , coe±cient de Poisson = 0.25 aire = 10

2cm2, constante de torsion de Saint VenantJ= 2105cm4,IZ= 105cm4

P= 5000daN

Manuel d'exercices9

Poutres

Sections droites

Section quelconque

Aire = 100 cm

Constante de torsion de Saint Venant :J= 2E5 cm4

Moment quadratique :IZ= 1E5 cm4

Liaisons

Cas de charges

Le n¾ud 2 porte une forceFz= 50kN

Le n¾ud 2 porte un coupleMy= 100kN.m

Module de Young = 200000 MPa , coe±cient de Poisson = 0.25

Calculer

Analyse statique

2=¡1:2182mm; µ2x=¡0:35599 10¡3rad; µ2y=¡0:14976 10¡3rad

4=¡2:0993mm; µ4x= 0:28856 10¡3rad; µ4y= 0:18376 10¡3rad

Actions de liaison:

1z= 93:528kN; M1x= 9:493kN.m; M1y=¡163:092kN.m

3z= 34:452kN; M3x= 14:240kN.m; M3y= 76:393kN.m

5z= 214:940kN; M5x=¡11:543kN.m; M5y=¡239:068kN.m

6z= 57:080kN; M6x=¡128:588kN.m; M6y=¡7:351kN.m

10RDM { Ossatures

Exemple 5 : Ossature spatiale

Problµeme:

des rectangles pleins. n¾ud x(m) y(m) z(m) 1 0 0 0 2 0 0 4 3 0 8 4 4 0 11 4 5 3 8 4 6 3 8 0

Le n¾ud 4 porte une force

~Fde composantes(0;0;¡1000)daN .

Manuel d'exercices11

Poutres

Module de Young = 100000 MPa , coe±cient de Poisson = 0.2987

Sections droites

Changer les poutres3¡5et5¡6de groupe

Rectangle plein :600£300mm

Rectangle plein :500£300mm

Rectangle plein :800£300mm

Repµere local

Modi¯er le repµere local de la poutre1¡2(angle = 90º)

Liaisons

Cas de charges

Le n¾ud 4 porte une charge de composantes(0;0;¡1000)daN

Calculer

Paramµetres du calcul

Modµele de Timoshenko

Calculer

Analyse statique

M to Mf Y o Mfquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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Comment fonctionne la géométrie plane?

Comment calculer les caractéristiques géométriques?

Quels sont les différents types de cours de géométrie plane?

Quels sont les documents de la géométrie plane?

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Manuel d'exercices

Yves Debard

Institut Universitaire de Technologie du Mans

26 juin 2006 { 29 mars 2011

Table des matiµeres

1 Exemples

Exemple 1 : Portique plan

Exemple 3 : Anneau plan

Exemple 4 : Plancher

Exemple 5 : Ossature spatiale

Exemple 6 : Modes propres d'un anneau plan

Exemple 7 : Ossature plane

2 Analyse statique

E2 : Ossature plane

E3 : Ossature plane

E4 : Ossature plane

E5 : Ossature plane

E6 : Poutre droite

E7 : Poutre courbe

E8 : Ossature plane

S2 : Torsion d'une poutre rectangulaire

S12 : Cisaillement du µa l'e®ort tranchant

S15 : Section droite µa parois minces

S18 : Flexion - torsion

F1 : Ossature plane

F2 : Poutre droite

F3 : Poutre droite µa section variable

F4 : Poutre console { °exion-torsion

F8 : Flambement d'une poutre droite

F9 : Flambement d'un cadre

5 Modes propres

D2 : Poutre droite µa section variable

D4 : Portique plan

D5 : Ossature spatiale

D6 : Ossature plancher

Chapitre 1

Exemples

Exemple 1 : Portique plan

On donne :

A= 16cm2,IZ= 135cm4

E= 200000MPa

P= 10000N

2RDM { Ossatures

Fichier

Ossature plane

Poutres

Sections droites

Section droite quelconque

A= 16cm2,IZ= 135cm4

Liaisons

Cas de charges

Module de Young = 200000 MPa

Calculer

Paramµetres

Modµele de Bernoulli

Calculer

Analyse statique

2= 2:2144mm; v2=¡0:0017mm; µ2z=¡0:0388º

3= 0:0245mm; v3=¡0:0033mm; µ3z= 0:1510º

4z=¡0:0754º

Actions de liaison:

1x=¡6077:4N; R1y= 533:4N; M1z= 3221:6N.m

4x=¡3922:6N; R4y=¡533:4N

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Problµeme:

Les poutres1¡2et1¡4sont en acier :

¡6K¡1

La poutre1¡3est en laiton :

¡6K¡1

Le n¾ud 1 porte une charge

4RDM { Ossatures

Poutres

Relaxations

Sections droites