RÉSOLUTION DÉQUATIONS À LAIDE DEXCEL
constaterez dans l'illustration suivante
Annexe C : Matrices déterminants et systèmes déquations linéaires
la matrice A des coefficients dans laquelle on a remplacé la ième colonne par la matrice des constantes. La résolution du système par la méthode de Cramer
RÉSOLUTION DE SYSTÈMES À DEUX INCONNUES
La solution d'un système est l'ensemble des valeurs que peuvent prendre les variables et de sorte que les deux équations sont satisfaites simultanément. Exemple.
Chapitre III : Résolutions déquations sur R
résolutions d'équations et systèmes d'équations. Résoudre une équation veut dire en déterminer toutes les solutions dans un ensemble de nombres donnés. Nous.
SECOND DEGRE (Partie 2)
I. Résolution d'une équation du second degré Une solution de cette équation s'appelle une racine du trinôme ax2 + bx + c . Exemple :.
Résolution des équations différentielles linéaires du second ordre `a
1 Position du probl`eme. 1.1 L'équation avec second membre. 1.1 Définition. Soit g une fonction continue définie sur un intervalle I.
ÉQUATIONS INÉQUATIONS
Une équation est composée de deux membres séparés par un signe « = ». Exemple : 11 ? 7 = . 1er membre Résolution d'équations. 1) Introduction.
Méthodes numériques de résolution déquations différentielles
Méthodes numériques de résolution d'équations Equation du mouvement : ... On s'intéresse aux équations différentielles du premier ordre de la forme.
Résolution déquations quadratiques à une variable
Définition d'une équation quadratique. ? Résolution d'une équation quadratique à une variable. ? Parabole et résolution d'une équation quadratique.
EQUATIONS DIFFERENTIELLES I Définition et notation
Méthode générale de résolution. • L'équation s'écrit : y'g(y) = f(x) avec f et g deux fonctions d'une variable. • Si on connait une primitive G de g
Daniel PERRIN
Introduction
L"objectif de ce texte est de donner un traitement "´el´ementaire" du sujet, i.e. qui soit `a peu pr`es du niveau d"un ´el`eve1de terminale S. Cela conduit `a
privil´egier un traitement qui n"utilise que des fonctions `a valeurs r´eelles et `a bannir la notion d"espace vectoriel.1 Position du probl`eme
1.1 L"´equation avec second membre
1.1 D´efinition.Soitgune fonction continue d´efinie sur un intervalleI
(non vide et non r´eduit `a un point) deRet `a valeurs dansR. On consid`ere l"´equation diff´erentielle(?):ay??+by?+cy=g(aveca,b,c?Reta?= 0).R´esoudre
2cette ´equation c"est chercher les fonctionsf:I→R, deux fois
d´erivables, telles que l"on ait, pour toutx?I,af??(x)+bf?(x)+cf(x) =g(x).1.2 L"´equation homog`ene, ou sans second membre
1.2 D´efinition.Avec les notations pr´ec´edentes, l"´equation homog`ene as-
soci´ee `a(?)est l"´equation(??):ay??+by?+cy= 0.1.3Remarque.Sifest solution de (??),festC∞. En effet, commeaest
non nul,f??est combinaison lin´eaire defetf?, donc d´erivable, doncfest trois fois d´erivable et on aaf???+bf??+cf?= 0 en d´erivant l"´equation. Une r´ecurrence imm´ediate ach`eve le travail.1 Aujourd"hui, il n"y a plus du tout d"´equations du second ordre au programme de TS, mais qui sait si un jour elles n"y reviendront pas ...2On dit aussi int´egrer.
11.4 Proposition.Soitfune solution de(?). Toute solution de cette ´equation
est de la formef+ho`uhest une solution de(??). D´emonstration.Sikest une autre solution de (?), on v´erifie aussitˆot que k-f:=hest solution de (??).1.5Remarque.On paraphrase souvent ce r´esultat en disant que la solution
g´en´erale de l"´equation (?) est somme d"une solution particuli`ere de (?) et de la solution g´en´erale de l"´equation homog`ene.1.3 Rappel sur l"´equation du premier ordre
Rappelons le r´esultat :
1.6 Th´eor`eme.Les solutions de l"´equation diff´erentielley?=αy,α?R,
sont les fonctionsf(x) =λeαxavecλ?R. D´emonstration.Avec les nouveaux programmes de terminale c"est presque ´evident, voir le papier l`a-dessus sur ma page web. Rappelons comment on trouve cela avec les anciens. On ´ecrit, siyn"est pas nul,y?y =α. On reconnaˆıt une d´eriv´ee logarithmique, de sorte qu"en prenant une primitive on a ln|y|= αx+cet on voit donc en tous cas, apparaˆıtre des solutions de la formeλeαx. Bien entendu, ce calcul a le d´efaut de n´ecessiter le fait queyn"est pas nul. Mais maintenant qu"il nous a donn´e une solution on peut l"oublier et utiliser la m´ethode classique de variation de la constante : on cherche les solutions sous la formey(x) =z(x)eαxou encore, on posez(x) =y(x)e-αx. En d´erivant on voit quez?est nulle et on a gagn´e.2 Les solutions de l"´equation(??)
2.1 L"´equation caract´eristique
Fort de ce qui se passe au premier ordre on cherche des solutions de l"´equation de la formeerx. Un calcul imm´ediat montre qu"une telle fonction est solution si et seulement sirest racine del"´equation caract´eristique ar2+br+c= 0, not´ee (EC). Bien entendu, il y a trois casa prioriselon que
cette ´equation admet deux racines r´eellesr,sdistinctes, une racine doubler ou deux racines complexes conjugu´ees. 22.2 Le calcul fondamental
Sirest solution de l"´equation caract´eristique, les fonctionsλerxsont solu- tion de (??) et l"id´ee, pour en trouver d"autres, est encore de "faire varier la constante" c"est-`a-dire de chercher des solutions de la forme3y(x) =z(x)erx.
En v´erit´e, le point fondamental est un calcul :2.1 Proposition.Soitz:I→Rune fonction deux fois d´erivable etrun
nombre r´eel. On posey(x) =z(x)erx. On a la formule : ay ??(x) +by?(x) +cy(x) =erx?(ar2+br+c)z(x) + (2ar+b)z?(x) +az??(x)?.D´emonstration.C"est un calcul sans malice.
2.3 Deux cons´equences du calcul fondamental
2.3.1 Le cas d"une racine double
Supposons querest racine double de (EC). On a donc `a la foisar2+ br+c= 0 et 2ar+b= 0 (cette deuxi`eme expression est la d´eriv´ee de la premi`ere). Dire quey(x) =erxz(x) est solution de (??) ´equivaut alors, en vertu de 2.1, `az??(x) = 0 (caraest non nul). On en d´eduitz?(x) =λ?R, puisz(x) =λx+μavecμ?R.On a donc prouv´e :
2.2 Th´eor`eme.Si l"´equation caract´eristique(EC)admet une racine r´eelle
doubler, les solutions de(??)sont les fonctionsy(x) =λxerx+μerxavecλ,μ?R.
2.3.2 Le cas de deux racines r´eelles
Supposons que l"´equation (EC) a deux racines r´eelles distinctesrets.Rappelons qu"on a alorsr+s=-ba
.En vertu de 2.1,y(x) =erxz(x) est solution de (??) si et seulement si on aaz??(x) + (2ar+b)z?(x) = 0. On est en pr´esence d"une ´equation du premier ordre enz?, dont on connaˆıt les solutions :z?(x) =αe(-2r-ba )xavecα?R. On en d´eduit, en prenant une primitive :z(x) =μe(-2r-ba )x+λ(en posantμ=-aα2ar+b). On a enfin y(x) =z(x)erx=μe(-r-ba )x+λerx=λerx+μesx.On a prouv´e ainsi :3
C"est-`a-dire, voir ci-dessus, de poserz(x) =y(x)e-rx. 32.3 Th´eor`eme.Si l"´equation caract´eristique(EC)admet deux racines r´eelles
rets, les solutions de(??)sont les fonctionsy(x) =λerx+μesxavecλ,μ?R.
2.4 Le cas du discriminant n´egatif
On suppose maintenant que l"´equation caract´eristique (EC) n"a pas de racine r´eelle, c"est-`a-dire que son discriminant Δ =b2-4acest n´egatif. On reprend le calcul fondamental en prenant cette foisr=-b2a,ce qui a pour effet de tuer le terme enz?(x). Il reste donc une ´equation de la forme az ??(x)+(ar2+br+c)z(x) = 0. On aar2+br+c=-b2-4ac4a=-Δ4aet, en posantω2=-Δ4a2,on est ramen´e `a l"´equationz??+ω2z= 0, la plus ´etudi´ee autrefois en terminale.2.4.1 L"´equationz??+ω2z= 0
On commence par un lemme :
2.4 Lemme.Soitωun r´eel etfune solution (r´eelle) de l"´equation diff´erentielle
z ??+ω2z= 0. On suppose qu"on af(0) =f?(0) = 0. Alors,fest identique- ment nulle 4. D´emonstration.On af??+ω2f= 0. L"astuce (il n"y en a qu"une) c"est de multiplier cette ´egalit´e parf?pour faire apparaˆıtre des d´eriv´ees :f?f??+2f?f= 0. On constate que cette expression est la moiti´e de la d´eriv´ee de
(f?)2+ω2f2. Cette fonction, dont la d´eriv´ee est nulle, est donc constante5. Vu les valeurs def(0) et def?(0) elle est identiquement nulle. Mais, comme fetf?sont r´eelles, on a (f?(x))2≥0 etf(x)2≥0 et (f?(x))2+ω2f(x)2= 0 n"est posssible que si les deux termes sont nuls. On a bien montr´e le lemme.2.5 Corollaire.Les solutions r´eelles de l"´equationz??+ω2z= 0sont les
fonctionshA,B(x) =Acosωx+Bsinωx.4 Quand on a, ne serait-ce qu"un embryon de sens physique, ou qu"on a entendu parlerdu th´eor`eme de Cauchy, on sait qu"un ph´enom`ene r´egi par une ´equation du second ordre
d´epend de deux param`etres : la position initialef(0) et la vitesse initialef?(0) et le r´esultat
n"est autre que le principe d"inertie : si l"on est `a l"origine avec une vitesse nulle on y reste.5Si l"on pense par exemple au cas o`ufest l"´etirement d"un ressort etf?sa vitesse, et
si on multiplie par la masse, on retrouve le fait que la somme de l"´energie cin´etique et de l"´energie potentielle est constante. 4 D´emonstration.On v´erifie que ces fonctions sont solutions. R´eciproquement, si on a une solutiong, il existeA,Buniques tels quehA,B(0) =g(0) et h ?A,B(0) =g?(0) (il suffit de r´esoudre le syst`eme lin´eaire enAetBdonn´e par ces relations). Mais alors, la diff´erencef=g-hA,Best solution de l"´equation diff´erentielle et v´erifief(0) =f?(0) = 0. Elle est donc nulle en vertu du lemme et on ag=hA,B.2.4.2 Retour au cas g´en´eral
Le changement de fonctiony(x) =erxz(x) avecr=-b2aa ramen´e l"´equation (??) `az??+ω2z= 0 avecω2=-Δ4a2.Avec 2.5 on a donc prouv´e le th´eor`eme :2.6 Th´eor`eme.On supposeΔ =b2-4ac <0. On poseω2=-Δ4a2etr=
b2a.Les solutions de l"´equation sont les fonctionsf(x) =erx?Acosωx+Bsinωx?.
2.7Remarque.Si l"on utilise les complexes, les solutions trouv´ees sont com-
binaisons des fonctionse(r+iω)xete(r-iω)xet elles correspondent encore aux solutions de l"´equation caract´eristique -b±⎷Δ2a=r±iω.
2.5 Wronskien et th´eor`eme de Cauchy
On reprend les notations pr´ec´edentes et on notef1,f2les fonctions solu- tions de l"´equation (??) qui engendrent toutes les autres (nous les appellerons "solutions fondamentales"). Il s"agit de : •f1(x) =erxetf2(x) =xerxdans le cas o`u (EC) admet la racine double r, •f1(x) =erxetf2(x) =esxdans le cas o`u (EC) admet les racines distinctesrets, •f1(x) =erxcosωxetf2(x) =erxsinωxdans le cas o`u (EC) admet les racines complexes conjugu´eesr±iω. On note que ces fonctions sont d´efinies surRtout entier.2.8 Lemme.Dans les trois cas ´evoqu´es ci-dessus, le wronskienw(x) :=
f1(x)f?2(x)-f2(x)f?1(x)ne s"annule pas.
D´emonstration.Un calcul ´el´ementaire montre qu"on a, selon les cas,w(x) = e2rxouw(x) = (s-r)e(r+s)xouw(x) =ωerx.
52.9 Corollaire. (Th´eor`eme de Cauchy)Soitx0?Ret soienty0,y?0?R.
Il existe une unique fonctiony(x)solution de(??)qui v´erifiey(0) =y0et y ?(0) =y?0. D´emonstration.Avec les notations ci-dessus, on chercheysous la formey=1f1+λ2f2avecλi?R. Il faut donc r´esoudre le syst`eme enλ1,λ2:
1f1(x0) +λ2f2(x0) =y0
1f?1(x0) +λ2f?2(x0) =y?0,
et il y a une solution unique car le d´eterminant de ce syst`eme estw(x0) qui est non nul.3 Trouver une solution particuli`ere de(?)?
Maintenant que nous avons d´etermin´e toutes les solutions de l"´equation homog`ene, il reste `a trouverunesolution de (?). Il y a essentiellement deux voies.3.1 Le cas des solutions apparentes
Dans nombre de cas, on peut imaginer d"avance la forme d"une solution de l"´equation `a partir de la forme du second membre :3.1 Proposition.
1) On suppose que la fonctiongest de la formeg(x) =P(x)erxo`uPest un
polynˆome de degr´enetrun r´eel ou un complexe. Alors, il y a une solution de l"´equation(?)de la formeQ(x)erxo`uQest un polynˆome de degr´ensir n"est pas racine de l"´equation caract´eristique, de degr´en+1siren est racine simple, de degr´en+ 2siren est racine double.2) On supposegde la formeg(x) =erx?αcossx+βsinsx?avecr,s,α,β
r´eels ets?= 0. Alors, il y a une solution de l"´equation(?)de la forme e rx?Acossx+Bsinsx?(resp.xerx?Acossx+Bsinsx?) sir+isn"est pas racine de l"´equation caract´eristique (resp. en est racine). D´emonstration.Dans la pratique, notamment au niveau du lyc´ee, et lorsquequotesdbs_dbs46.pdfusesText_46[PDF] La résolution d'une équation
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