Rappel : Le produit est le résultat dune multiplication. La somme est
Exercice : traduire par un calcul les phrases suivantes : 1- Effectuer le produit de 45 par 6. 2- Effectuer la somme de 12 et de 7.
Les symboles somme et produit - Lycée dAdultes
27 Feb 2017 Les symboles somme et produit ... 2 Le symbole produit D ... entiers naturels n et p tels que p ? n on définit la somme suivante par :.
Sommes produits
https://www.normalesup.org/~glafon/carnot10/recurrence.pdf
Chapitre IV : Calculs algébriques I La somme ? et le produit ?
ai la somme de tous les éléments de la famille (ai)i?I La somme totale (ou le produit) ne doit JAMAIS dépendre de l'indice de sommation.
Sommes et produits
Cette notation est valable pour tout objet mathématique pour lequel une opération associative. « somme » a été définie (pour certaines formules la
INF1500 : Logique des systèmes numériques
canoniques : une somme de produits ou un produit de sommes. ? Pour obtenir la somme de terme est composé d'un produit (ET logique) de chaque variable.
Exercices de mathématiques en cinquième - Traduire une phrase
Exercice : Traduis chaque phrase par un calcul : · F est le produit de 4 par la somme de 12 et de 5. ·
Chapitre 12 : Polynômes
07 Feb 2014 lequel on peut faire des calculs par le biais d'opérations simples comme la somme
la somme dun nombre rationnel et dun nombre irrationnel est
Faux : la somme de deux nombres irrationnels positifs est irrationnelle. Démonstration. Pour montrer que l'affirmation est fausse il suffit de trouver deux
Mathématiques PTSI1, Chapitre IV 2018-2019
Chapitre IV : Calculs algébriques
Dans tout ce chapitre, on noteKle corps des réels ou celui des complexes. Ainsix?Ksignifiex?Roux?C.
Une famille d"éléments.
SoitIun ensemble. Une famille(ai)i?Iest une collection d"objetsaique l"on indice, indexe ou " numérote » par les
éléments deI.
•Dans une famille un même nombre peut être répété (on peut avoirai=ajpouri?=j). Par exemple si
I=J-3;3K={-3,-2,-1,0,1,2,3}et si pour touti?I,ai=i2, alors la famille(ai)i?Icontient, entre autres,deux fois l"élément1. Il ne faut donc pas confondre la famille(ai)i?Iavec l"ensemble{ai|i?I}={0,1,2,3}.
•Dans une famille l"ordre des éléments n"a pas d"importance. Ainsi(i)i?{1,2,3}= (4-i)i?{1,2,3}. Une famille finie
n"est donc pas le même objet qu"unn-uplet pour lequel l"ordre est important(1,2)?= (2,1). •Exemples : -2i06i65est la famille1,2,4,8,16et32.
-(2k+ 1)k?Nest la suite des entiers naturels impairs. -(⎷x)x?R+est une autre écriture pour désigner la fonctionx?→⎷x. -f2 f?F(R,R)est la famille des carrés des fonctions deRdansR.Dans tout ce chapitreIdésignera un ensembleFINIEd"éléments. Même si rien n"interdit de considérer un ensemble
fini de réels, de complexes ou autres, on pourra toujours considérer queIdésigne un ensemble fini d"entiers (naturels
ou relatifs). On aura souvent en particulier (mais pas toujours)I={0,...,n}ouI={1,...,n}.I La somme
Pet le produitQ
I.1 Notation
PetQSoitIun ensemble fini et(ai)i?Iune famille de nombres réels ou complexes. On note •X i?Ia ila sommede tous les éléments de la famille(ai)i?I, Y i?Ia ile produitde tous les éléments de la famille(ai)i?I. SiI=Jq;pK={q,q+ 1,...,p-1,p}, avec(p,q)?Z2, on note également X i?Ia i=X q6i6pa i=pX q=1a i=aq+aq+1+aq+2+···+ap Y i?Ia i=Y q6i6pa i=pY q=1a i=aq×aq+1×aq+2× ··· ×ap.Définition I.1Exemples 1 :
•SiI=J1;5Ketai=ipour touti?I, alors 5 X i=1a i=5X i=1i=5(5 + 1)2 = 15et5Y i=1a i=5Y i=1i= 120 = 5!. •SiI={0,2,4,6}etai= 2ipour touti?I, alors X i?Ia i= 20+22+24+26= 1+4+16+64 = 85etY i?Ia i= 20·22·24·26= 212= 46= 163= 4096. 1Mathématiques PTSI1, Chapitre IV 2018-2019
Remarque 2 :D"une façon général il est possible de noter la somme (la même remarque est valable pour le produit)P
IaiparP
description de l"ensembleIsans accoladeai. Par exemple siI={i?N|idivise12}alors X i?Ii=X i?Ni|12i= 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28.Remarque 3 : L"indice de sommation est muet!
L"indiceiutilisé pour décrire la famille(ai)i?Iainsi que la sommeP i?Iaiou le produitQ i?Iaiest un indice muet qui peut être modifié en une autre lettre sans porter à conséquence : X i?Ia i=X k?Ia k=X f?Ia f=XNaturellement et comme à l"accoutumée, on veillera à ne pas utiliser une lettre précédemment réservée.
Remarque 4 : IMPORTANT.La somme totale (ou le produit) ne doit JAMAIS dépendre de l"indice de sommation
(ou de multiplication). Des monstruosités du genreP10k k=1akouP100 k=1ak=57k+2100 ne doivent jamais être commises.Remarque 5 :La longueur d"une sommePp
k=q···est dep-q+ 1.I.2 Premières manipulationsSoientn?N?,Iun ensemble fini ayantnéléments,(ai)i?Iet(bi)I?Ideux familles de réels ou de complexes et
λ?K. On a
1.(P i?Iai) + (P i?Ibi) =P i?I(ai+bi). 2.(Q i?Iai)(Q i?Ibi) =Q i?I(aibi). 3. P i?I(λai) =λP i?Iai. 4.Q i?I(λai) =λnQ i?Iai.Proposition I.2 Exemple 6 :Soientn?N?,I=J1;nKet(ak)k?Ila famille des entiers pairs de2à2n. 1.P ourtout k?Idécrireaken fonction dek.
2.En déduire une écriture d eQ
k?Iaken fonction den! =Qn k=1k.Rappel : deux ensemblesIetJsont disjoints si leur intersectionI∩Jest vide, si pour touti?I,i?=Jet pour tout
j?J,j?=I.SoientIetJdeux ensemblesdisjointset(ai)i?I?June famille d"éléments de réels ou de complexes, alors
X i?Ia i! X j?Ja j X i?I?Ja iet Y i?Ia i! Y j?Ja j Y i?I?Ja i. En particulier on a larelation de Chasles: pour tout(p,q,m)?Z3,q6m < pon a mX k=qa k pX k=m+1a k! =pX i=qa ket" mY k=qa k pY k=m+1a k! =pY k=qa k.Proposition I.3 Exemple 7 :Soitn?N?. On noteBnle produit des entiers impairs entre1et2n+ 1etAnle produit des entiers pairs entre1et2n. Démontrer que(2n+ 1)! =Q2n+1 k=1k=AnBnpuis à l"aide de l"exemple 6, déterminerBnen fonction de(2n+ 1)!etn!. 2Mathématiques PTSI1, Chapitre IV 2018-2019
I.3 Techniques de calculs
Soit(p,q)?N2,q6pet(ak)k?Nune famille de réels ou de complexes. Pour toutr?N, on a p+rX k=q+ra k=pX k=qa k+retp+rY k=q+ra k=pY k=qa k+p.Proposition I.4 (changement d"indice)Exemple 8 :Soitn?N?etSn=Pn
k=12k(k+1). Puisque pour toutk?N?,2k(k+1)=1k -1k+1, alors S n=nX k=11k -nX k=11k+ 1.Par le changement de variable
˜k=k+ 1on a
n X k=11k+ 1=n+1X k=21˜ k=n+1X k=21kDonc, pourn>2,
S n=nX k=11k -n+1X k=21k = 1 +nX k=21k -nX k=21k -1n+ 1= 1-1n+ 1=nn+ 1.Remarque 9 :Il est possible d"effectuer d"autres changements de variables plus exotiques transformant un ensemble
Ien un ensembleJpourvu que ces deux ensembles aient exactement le même nombre d"éléments. Exemple 10 :On reprend l"exemple 6 et on noteAnle produit des entiers pairs entre2et2n:An=Q16k62n
kpairk.Dans cet exemple l"ensembleI={k?J1;2nK|kpair}est en bijection avec l"ensembleJ1;nK. Donc en posant le
changement de variable˜k=k2 , on obtient : A n=Y16k62n
kpairk=nY k=12˜k=nY
k=1(2k) = 2nn!Soient(p,q)?Z2,q6pet(ai)i?Jq;p+1Kune famille de réels ou de complexes. On a p X i=q(ai+1-ai) =ap+1-aq.Si de plus lesaisont non nuls alorspY
i=qa i+1a i=ap+1a q.Proposition I.5 (somme et produit télescopique) Démonstration.Soient(p,q)?Z2,q6pet(ai)i?Jq;p+1Kune famille de réels ou de complexes. Alors, p X i=q(ai+1-ai) =pX i=qa i+1-pX i=qa i.En procédant au changement de variable
˜i=i+ 1, on observe de plus que
p X i=qa i+1=p+1X i=q+1a i=pX i=qa i+ap+1-aq. 3Mathématiques PTSI1, Chapitre IV 2018-2019
Par conséquent,
pX i=q(ai+1-ai) =pX i=qa i+ap+1-aq-pX i=qa i=ap+1-aq.Sommation par paquets
Exemple 11 :Soientn?N?etSn=P2n
k=1(-1)kk. On regroupe les termes deux par deux : S n=-1 + 2|{z} -3 + 4|{z} ...-(2n-1) + (2n)|{z} =nX k=1(k+ 1-k) =nX k=11 =n. I.4 Sommes et produits remarquablesSoit(p,q)?Z2,q6p. Pour toutλ?K, p X k=qλ= (p-q+ 1)λetpY k=qλ=λp-q+1.Proposition I.6 (somme et produit d"une constante)Pour toutn?N, on a
1. Pn k=1k=n(n+1)2 . 2.Pn k=1k2=n(n+1)(2n+1)6 . 3.Pn k=1k3=n(n+1)22.Proposition I.7
Démonstration.
1.Soien tn?N?etSn=Pn
k=1k. En effectuant le changement de variable˜k=n-k+ 1, on écrit S n=nX k=1k=nX k=1 n-˜k+ 1=nX k=1(n+ 1)-nX k=1k= (n+ 1)n-Sn.Ainsi2Sn=n(n+ 1)et donc
S n=n(n+ 1)2Autre démonstration :pour toutk?N?, on a(k+ 1)2-k2= 2k+ 1dont on déduit l"égalité suivante :
n X k=1 (k+ 1)2-k2=nX k=1(2k+ 1) = 2Sn+n. Or le premier terme est une somme télescopique. Donc (n+ 1)2-12= 2Sn+n.De cette égalité on conclut que
S n=n2+ 2n+ 1-1-n2 =n2+n2 =n(n+ 1)2 2.Soien tn?N?etSn=Pn
k=1k2. Pour toutk?N, on a(k+ 1)3=k3+ 3k2 + 3k+ 1et donc(k+ 1)3-k3=3k2+ 3k+ 1. Donc en sommant entre1etn,
n X k=1 (k+ 1)3-k3=nX k=13k2+ 3k+ 1= 3nX
k=1k2+ 3nX
k=1k+n. 4Mathématiques PTSI1, Chapitre IV 2018-2019
Or d"après le point précédent, on sait que Pn k=1k=n(n+1)2 . Donc, n X k=1 (k+ 1)3-k3= 3Sn+ 3n(n+ 1)2 +n.D"autre part
Pn k=1(k+ 1)3-k3est une somme télescopique. DoncPn k=1(k+ 1)3-k3= (n+ 1)3-1 = n3+ 3n2+ 3n. Ainsi,
n3+ 3n2+ 3n= 3Sn+ 3n(n+ 1)2
+n ?n3+ 3n2+ 2n-3n(n+ 1)2 = 3Sn ?2n3+ 6n2+ 4n-3n2-3n= 6Sn ?2n3+ 3n2+n= 6Sn ?Sn=n2n2+ 3n+ 16 ?Sn=n(n+ 1)(2n+ 1)6 3. On effectue la même métho deque précédemmen t.Soit n?N?et posonsSn=Pn k=1k3. Puisque pour tout k?N,(k+ 1)4=k4+ 4k3+ 6k2+ 4k+ 1, on en déduit que (n+ 1)4-1 =nX k=1 (k+ 1)4-k4=nX k=14k3+ 6k2+ 4k+ 1.
En utilisant les points précédents, on obtient, (n+ 1)4-1 = 4Sn+ 6n(n+ 1)(2n+ 1)6 + 4n(n+ 1)2 +n ?n4+ 4n3+ 6n2+ 4n= 4Sn+n((n+ 1)(2n+ 1) + 2(n+ 1) + 1) ?n4+ 4n3+ 6n2+ 4n= 4Sn+n2n2+ 3n+ 1 + 2n+ 2 + 1 ?nn3+ 4n2+ 6n+ 4-2n2-5n-4= 4Sn ?nn3+ 2n2+n= 4Sn ?Sn=n2n2+ 2n+ 14 =n2(n+ 1)24 2Soient(un)n?Nune suite de réels ou de complexes etr?K. Les assertions suivantes sont équivalentes.
1. La suite (un)n?Nest une suite arithmétique de raisonr. 2.P ourtout n?N,un+1=un+r
3.P ourtout n?N,un=u0+rn
4. P ourtout (p,q)?N2,q6p,up=uq+r(p-q).Rappel (suite arithmétique) Soientr?Ket(un)n?Nune suite arithmétique de raisonr. Alors pour tout(p,q)?N2,q6p, p X k=qu k=up+uq2 (p-q+ 1).Proposition I.8 (somme arithmétique)Démonstration.Soientr?C,(un)n?Nune suite arithmétique de raisonretpetqdeux entiers naturels tels que
q6p. Alors, pour toutk?Jq;pK,uk=uq+r(k-q). Donc en sommant cette égalité entreqetp, p X k=qu k=pX k=q[uq+r(k-q)] = (p-q+ 1)uq+rpX k=qk-rq(p-q+ 1). 5Mathématiques PTSI1, Chapitre IV 2018-2019
D"après la Proposition I.7, on a, siq>2,
p X k=qk=pX k=1k-q-1X k=1k=p(p+ 1)2 -(q-1)q2 p2+p-q2+q2 (p-q+ 1)p+pq-qr+q2 =(p-q+ 1)p+ (p-q+ 1)q2 =(p-q+ 1)(p+q)2 Notez que cette égalité est encore vraie siq= 1ou siq= 0. Ainsi p X k=qu k= (p-q+ 1)uq+r(p-q+ 1)(p+q)2 -rq(p-q+ 1) (p-q+ 1)2 (2uq+r(p+q)-2rq) (p-q+ 1)2 (uq+uq+r(p-q)).quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24[PDF] La somme et le quotient
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