mathématiques au cycle 4 - motivation engagement
https://maths.ac-creteil.fr/IMG/pdf/brochure_cyc60fb.pdf
Lenseignement de la symétrie axiale en sixième dans des
26 janv. 2010 Cette richesse je la dois { toutes les rencontres que j'ai faites depuis le début de ce travail
4.6_ale_dossier final
Compléter reproduire une figure par symétrie axiale (miroir
Étude des effets de la symétrie axiale sur la conceptualisation des
20 mars 2009 Corballis & Roldan (1975) ont mis en évidence le lien entre la symétrie et la rotation dans l'action. Leur expérimentation s'inspire des ...
1) Pour tracer le symétrique A dun point A par rapport à la droite d
Un triangle isocèle est un triangle qui a un axe de symétrie. A. B. C. D d. Exercice. 1) Trace en vraie grandeur les triangles isocèles ci-dessous.
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2 sept. 2016 des particularités du syndrome parkinsonien : rigidité axiale dominante – symétrie des symptômes. • la présence de signes neurologiques ...
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27 sept. 2012 particulièrement l'utilisation du pliage dans la symétrie axiale. ... Autant d'aspects que j'ai travaillé lors des séances mises en place.
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Corps dissocié corps disperse: lapproche sensorielle de la
28 sept. 2015 c- La mise en avant du syndrome déficitaire pour Bastien . ... J'ai choisi ici de faire le lien entre ces deux chemins le lien entre le ...
UNIVERSITÉ PARIS DIDEROT (PARIS 7)
UFR de Mathématiques
ÉCOLE DOCTORALE Savoirs scientifiques : épistémologie, histoire des sciences, didactique des disciplines THESEPour obtenir le titre de
DOCTEUR DE L'UNIVERSITE PARIS 7
SPÉCIALITÉ : DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES
Caroline Bulf
ETUDE DES EFFETS DE LA SYMETRIE AXIALE SUR LA
CONCEPTUALISATION DES ISOMETRIES PLANES ET SUR LA
NATURE DU TRAVAIL GEOMETRIQUE AU COLLEGE
STUDY OF THE EFFECTS OF SYMMETRY ON THE ISOMETRY'S CONCEPTUALIZATION AND ON THE NATURE OF GEOMETRICALWORK AT SECONDARY SCHOOL
Thèse dirigée par M. Alain KUZNIAK
Soutenue publiquement le 17 Novembre 2008 devant le jury composé de :Mme Michèle ARTIGUE, professeur à l'Université Paris Diderot examinateur
M. Paolo BOERO, professeur à l'Università degli studi di Genova, rapporteur
M. Jacques COLOMB, professeur émérite de l'INRP co-directeur
M. Alain KUZNIAK, professeur à l'IUFM d'Orléans Tours directeur
Mme Colette LABORDE, professeur émérite à l'Université J. Fourier, Grenoble rapporteur
REMERCIEMENTS
Tous les remerciements exprimés dans cette page ne sont sans doute pas à la hauteur de l'implication des personnes auxquels ils sont destinés dans la réalisation de ce travail. Je tiens tout d'abord à exprimer ma profonde gratitude envers Alain Kuzniak qui a accepté de diriger ce travail de thèse il y a trois ans. Sa grande culture scientifique en général et géométrique en particulier, ses nombreux conseils et ses remarques toujours justes m'ont permis de nourrir sans cesse ma pensée. Je tiens particulièrement à le remercier pour sa patience, son immense soutien et pour m'avoir fait découvrir le métier de chercheur. J'adresse une sincère reconnaissance à Jacques Colomb qui m'a toujours accompagné depuis mes premiers pas dans le vaste monde de la didactique des mathématiques. Son incroyabledisponibilité et ses encouragements nombreux ont sans nul doute facilité ces années de thèse.
Son implication dans ce travail et tous les moments que nous avons partagés ont à mes yeux une très grande valeur.Je remercie sincèrement Colette Laborde d'avoir accepté d'être rapporteur de ma thèse et dont
le rapport est une source précieuse pour faire encore progresser ma réflexion. L'école d'été
YERME 2006 est pour moi très importante car j'y ai rencontré Paolo Boero dont j'admire laréalisation didactique. Je tiens à exprimer mon sincère enthousiasme lorsqu'il a accepté d'être
rapporteur de ma thèse. J'adresse également mes sincères remerciements à Michèle Artigue
qui a accepté d'être membre du Jury. Au-delà de ce rôle, elle a toujours été d'une exceptionnelle disponibilité pour répondre à mes nombreuses questions concernant mes enseignements ou mes projets didactiques.La réalisation de ce travail de thèse dépend incontestablement de la généreuse participation de
Mme Chloé B. et de ses classes de 6
e , 5 e et 3 e . Je tiens en particulier à faire part du très plaisirque j'ai ressenti de l'accompagner dans sa classe. Je tiens également à remercier sincèrement
les 17 professeurs qui ont accepté de répondre à mon questionnaire, ainsi que les 7 tailleurs de
pierre et ébénistes qui ont très spontanément accepté de me recevoir et de me guider dans
leurs pratiques professionnelles dans le cadre de mes recherches.Je tiens vivement à remercier Gérard Vergnaud d'avoir accepté de me recevoir pour répondre
à mes interrogations (toujours) nombreuses sur la théorie des champs conceptuels. Je souhaite également remercier Aline Robert pour ses conseils méthodologiques et son dynamismeengagé au sein de l'équipe Didirem. J'adresse un très grand merci à Laurent Vivier pour sa
relecture fine de ma thèse et son soutien amical. Je remercie également tous les autres membres de l'équipe Didirem, pour tous les échanges didactiques ou simplement amicaux. La naturelle bonté de Martine Lamy, Nicole Gillet et Nadine Locufier, ainsi que l'incroyable efficacité de Michèle Wasse m'ont permis de venir à bout des méandres administratifs qui jalonnent les années de thèse. Ces remerciements ne seraient pas complets sans une pensée amicale pour l'équipe des jeuneschercheurs dont les rendez-vous didactiques ont toujours été un très grand plaisir. J'adresse
une pensée toute particulière à Pablo Carranza, Christine Chambris, Elizabeth Montoya, Pascal Stoelting et Avenilde Romo Vazquez pour tous ces grands et petits moments passés ensemble durant ces années de thèse. Je ne manque pas de faire un clin d'oeil complice aux occupants du bureau 5B01 (anciens et actuels) ainsi qu'aux logiciens et probabilistes des bureaux voisins. Enfin, je termine cette page par une pensée pleine de tendresse pour mes parents, mon frère etFrançois, pour leur infaillible soutien.
- i -TABLE DES MATIERES
Introduction 1 Chapitre 1 : Les premiers ancrages 41. LA QUESTION DES EFFETS DE LA REALITE SUR LES APPRENTISSAGES
SCOLAIRES
62. LA THESE DE LA SYMETRIE COMME MOTEUR DE DEVELOPPEMENT DE LA
PENSEE EN GEOMETRIE
103. LA THESE DE LA SYMETRIE COMME OBSTACLE PERSPECTIF 15
4. APPORT DES TRAVAUX DE RECHERCHE EN DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES
SUR LA SYMETRIE AXIALE ET LES TRANSFORMATIONS DU PLAN 225. REPERAGES HISTORIQUES DE L"EVOLUTION DU CONCEPT DE SYMETRIE 29
6. ECLAIRAGE CURRICULAIRE DE L"ENSEIGNEMENT DES TRANSFORMATIONS DU
PLAN AU COLLEGE
33CONCLUSION 37
Chapitre 2 :
Construction du cadre théorique
401. LA THEORIE DES CHAMPS CONCEPTUELS 43
2. LES PARADIGMES GEOMETRIQUES ET LES ESPACES DE TRAVAIL GEOMETRIQUE 52
3. ARTICULATION DES CADRES THEORIQUES 56
4. INSPIRATION VYGOTSKIENNE 60
CONCLUSION 63 Chapitre 3 :
Le rôle de la symétrie dans la construction de l"Espace de Travail Géométrique des tailleurs de pierre et des ébénistes 651. POURQUOI RECHERCHER UNE PROBLEMATIQUE PRATIQUE CHEZ LES
ARTISANS ?
672. METHODOLOGIE 69
3. ETUDE DU CAS SIMPLE DE SYMETRIE AXIALE 75
- ii -4. LA SYMETRIE : CONCEPT NATURALISE, ORGANISATEUR DE LA CONDUITE 88
5. CONCLUSION : UNE GEOMETRIE EN ACTE ORGANISEE MAIS FIGEE 96 Chapitre 4 : Un premier questionnaire exploratoire
991. POURQUOI UN PREMIER QUESTIONNAIRE ? 101
2. CONCEPTION DU QUESTIONNAIRE ET METHODOLOGIE D"ANALYSES 102
3. ETUDE QUALITATIVE DES PRODUCTIONS ECRITES DU QUESTIONNAIRE 109
4. UN NOUVEL OUTIL D"ANALYSE : LA DECONSTRUCTION DES FIGURES SELON
DUVAL 117
CONCLUSION 124
Chapitre 5 : Méthodologie de recherche à travers une étude longitudinale 1261. UNE ETUDE LONGITUDINALE AU COLLEGE 128
2. LE DEUXIEME QUESTIONNAIRE EN 5E ET EN 3E 131
3. RELATIONS DES RESULTATS OBTENUS AVEC L"ENSEIGNEMENT 138
Chapitre 6 : Analyse du deuxième questionnaire
141PARTIE A : LA SITUATION DES TRIANGLES, COMPARAISON PERCEPTION GLOBALE
ET PERCEPTION PONCTUELLE
1441. ETUDES A PRIORI 145
2. TRAITEMENT ET ANALYSE DES DONNEES 151
3. METHODOLOGIE D"ANALYSE DES ETG PERSONNELS DES ELEVES : UN EXEMPLE
D"ETUDE DE CAS 162
4. SYNTHESE DES ANALYSES DES PRODUCTIONS D'ELEVES DE 3E DANS LA
SITUATION DES TRIANGLES 170
5. SYNTHESE DES ANALYSES DES PRODUCTIONS D'ELEVES DE 5E DANS LA
SITUATION DES TRIANGLES 177
6. CONCLUSION : LA STABILITE DES ETG PERSONNELS DES ELEVES DE 5E ET DE 3E
SELON LA TÂCHE
181- iii - PARTIE B : LA SITUATION DES ROSACES, TRAITEMENT D"UNE FIGURE INVARIANTE
SOUS PLUSIEURS TRANSFORMATIONS
1831. ETUDES A PRIORI DE LA SITUATION ROSACE 184
2. TRAITEMENT ET ANALYSE DES DONNEES DE LA SITUATION ROSACE 187
3. METHODOLOGIE D"ANALYSE DES ETG PERSONNELS DES ELEVES DANS LA
SITUATION ROSACE : UN EXEMPLE D"ETUDE DE CAS 1924. SYNTHESE DES ANALYSES DES ETG PERSONNELS DES ELEVES DE 3E DANS LA
SITUATION ROSACE 199
5. SYNTHESE DES ANALYSES DES ETG PERSONNELS DES ELEVES DE 5E DANS LA
SITUATION ROSACE 203
6. CONCLUSION: LE ROLE DE LA SYMETRIE DANS L"EVOLUTION DE L"ETG
PERSONNEL DE L"ELEVE 206
PERSPECTIVES : QUELS LIENS ONT CES RÉSULTATS AVEC L"ENSEIGNEMENT REÇUEN CLASSE PAR LE MÊME PROFESSEUR, MME B. ?
208Chapitre 7 : Les effets de l"enseignement
2091. UN ESPACE DE TRAVAIL STABILISE DU POINT DE VUE DES PROFESSEURS 211
2. METHODOLOGIE D"ANALYSE DES SEANCES OBSERVEES 215
3. L"INTRODUCTION DE LA SYMETRIE AXIALE EN 6E DANS LA CLASSE DE MME B. 220
4. LA SYMETRIE CENTRALE DANS LA CLASSE DE 5E DE MME B. 226
5. LA ROTATION DANS LA CLASSE DE 3E DE MME B. 244
6. CONCLUSION DES EFFETS DE L"ENSEIGNEMENT 254
Conclusions générales et perspectives
257Bibliographie
267 Annexes
274- 1 -
INTRODUCTION GENERALE
Ce travail de recherche est une étude didactique des effets de la symétrie axiale sur laconceptualisation des isométries planes et sur la nature du travail géométrique au collège.
Nous nous référons à Vergnaud quant à l'utilisation du terme de " conceptualisation ».
D'après Vergnaud, le processus de conceptualisation est au coeur de l'activité de l'élève lors
d'un apprentissage scolaire vu comme l'adaptation de schèmes dans une situation donnée.Nous supposons que la symétrie axiale, faisant partie des connaissances anciennes d'un élève
de collège, va participer à la construction de nouvelles connaissances visées par l'enseignement de la symétrie centrale en 5 e , et de la rotation en 3 e (nous n'étudierons pas lecas de la translation). La problématique de notre travail de thèse s'articule donc autour de la
question générale du rôle joué par la symétrie axiale dans l'apprentissage des autrestransformations du plan, telles que la symétrie centrale et la rotation au collège. Agit-elle en
tant qu'obstacle ou en tant que levier ? Nous référons à la théorie des champs conceptuels de
Vergnaud pour analyser la conduite de l'élève mais aussi au cadre des paradigmes géométriques et des Espaces de Travail Géométrique de Houdement et Kuzniak quant à la nature du travail géométrique en jeu dans l'activité de l'élève. Cette thèse comprend sept chapitres qui décrivent le cheminement opéré durant plusieursannées pour apporter des éléments de réponse à cette question de départ sur les effets
didactiques joués par la symétrie axiale. Dans le chapitre 1, intitulé Les premiers ancrages, nous commencerons par développer notreréflexion autour de cette question de départ très générale à travers les travaux existant déjà
dans des champs divers tels que la psychologie, la philosophie, l'histoire des mathématiques, et bien sûr la didactique des mathématiques. Dans le chapitre 2, intitulé Construction du cadre théorique, nous décrirons le cadre théorique que nous avons choisi pour notre étude. Notre cadre théorique se concentre sur lesavoir mathématique en jeu (à savoir les isométries du plan) : d'un point de vue cognitif à
travers le cadre théorique des champs conceptuels de Vergnaud, et d'un point de vue géométrique avec le cadre des paradigmes géométriques et des Espaces de Travail Géométrique de Houdement et Kuzniak. Nous proposerons alors nos questions de recherchequi s'articulent autour de l'étude de l'organisation des invariants opératoires en jeu lors de la
construction de l'Espace de Travail Géométrique personnel de l'élève dans une situation qui
donne un sens au concept de symétrie.Dans le chapitre 3, intitulé Le rôle de la symétrie dans la construction de l'espace de travail
géométrique des tailleurs de pierre et des ébénistes, nous présenterons un travail deIntroduction générale
- 2 -recherche indépendant du reste de la thèse mais qui rejoint notre réflexion sur le rôle joué par
la symétrie axiale dans une activité géométrique. Nous analyserons le rôle joué par la
symétrie dans la nature du travail géométrique opéré dans une problématique pratique dans le
contexte de l'artisanat, à travers des entretiens-actions auprès d'artisans au sein même de leurs
ateliers. Dans le chapitre 4, intitulé Un premier questionnaire exploratoire, nous reviendrons surl'institution scolaire en décrivant les analyses et résultats fournis par un premier questionnaire
exploratoire mené en classe de 3 e auprès de dix élèves. Ce questionnaire nous a permis de définir un certain nombre de variables que nous prendrons en compte pour la suite des expérimentations, et d'introduire les outils d'analyse inspirés par les travaux de Duval, et notamment les différents types de déconstruction des figures qu'il définit.Dans le chapitre 5, intitulé Méthodologie de recherche à travers une étude longitudinale,
nous décrirons la méthodologie générale que nous avons choisie de mettre en place : - un deuxième questionnaire destiné à des élèves de 5 e et de 3 e afin d'analyser et de comparer la construction et la mise en oeuvre (notamment à travers le type de déconstruction desfigures) de l'ETG personnel de l'élève selon la nature de la transformation et selon la tâche
(appartenant à une même classe de situation), - l'observation des premières séances d'enseignement de la symétrie axiale en 6 e , de la symétrie centrale en 5 e et de la rotation en 3 e menées par un même professeur, Mme B., quiétait le professeur des élèves qui ont réalisé le deuxième questionnaire. Ces observations ont
alors pour but d'expliquer en partie les résultats obtenus dans le deuxième questionnaire. Dans le chapitre 6, intitulé Analyse du deuxième questionnaire, nous détaillerons la méthodologie d'analyse des productions recueillies lors du deuxième questionnaire. Nousavons obtenu une catégorisation des élèves par profil selon des critères de réussite et surtout
de la stabilité de leur réussite selon un changement de perception suggéré par la tâche, auquel
l'élève n'adhère pas nécessairement. Nous soulignerons le rôle très différent que peut jouer la
symétrie axiale dans la construction de l'Espace de Travail Géométrique personnel de l'élève
selon qu'il s'agit d'un élève de 5 e ou de 3 e Le chapitre 7, intitulé Les effets de l'enseignement, a pour but d'essayer d'expliquer certains comportements des élèves mis en évidence par les résultats du deuxième questionnaire. D'après les observations des premières séances d'enseignement des transformations du plan en 6 e , 5 e et en 3 e , nous montrerons comment le statut de la symétrie axiale change au sein de la classe mais aussi comment certaines pratiques institutionnalisées en classe peuvent être détournées par l'élève. Nous conclurons ce travail de recherche en pointant les différents aspects que revêt lasymétrie axiale tout au long du collège. En effet, la symétrie axiale semble plutôt à l'origine
Introduction générale
- 3 -d'amalgames en début de collège pour finalement permettre à l'élève d'organiser un réseau de
propriétés en fin de collège. Ce travail débouche alors sur de nouvelles perspectives de travail
et notamment concernant le rôle joué par les basculements de paradigmes entre une géométrie
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