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UNIVERSITÉ PARIS DIDEROT (PARIS 7)

UFR de Mathématiques

ÉCOLE DOCTORALE Savoirs scientifiques : épistémologie, histoire des sciences, didactique des disciplines THESE

Pour obtenir le titre de

DOCTEUR DE L'UNIVERSITE PARIS 7

SPÉCIALITÉ : DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES

Caroline Bulf

ETUDE DES EFFETS DE LA SYMETRIE AXIALE SUR LA

CONCEPTUALISATION DES ISOMETRIES PLANES ET SUR LA

NATURE DU TRAVAIL GEOMETRIQUE AU COLLEGE

STUDY OF THE EFFECTS OF SYMMETRY ON THE ISOMETRY'S CONCEPTUALIZATION AND ON THE NATURE OF GEOMETRICAL

WORK AT SECONDARY SCHOOL

Thèse dirigée par M. Alain KUZNIAK

Soutenue publiquement le 17 Novembre 2008 devant le jury composé de :

Mme Michèle ARTIGUE, professeur à l'Université Paris Diderot examinateur

M. Paolo BOERO, professeur à l'Università degli studi di Genova, rapporteur

M. Jacques COLOMB, professeur émérite de l'INRP co-directeur

M. Alain KUZNIAK, professeur à l'IUFM d'Orléans Tours directeur

Mme Colette LABORDE, professeur émérite à l'Université J. Fourier, Grenoble rapporteur

REMERCIEMENTS

Tous les remerciements exprimés dans cette page ne sont sans doute pas à la hauteur de l'implication des personnes auxquels ils sont destinés dans la réalisation de ce travail. Je tiens tout d'abord à exprimer ma profonde gratitude envers Alain Kuzniak qui a accepté de diriger ce travail de thèse il y a trois ans. Sa grande culture scientifique en général et géométrique en particulier, ses nombreux conseils et ses remarques toujours justes m'ont permis de nourrir sans cesse ma pensée. Je tiens particulièrement à le remercier pour sa patience, son immense soutien et pour m'avoir fait découvrir le métier de chercheur. J'adresse une sincère reconnaissance à Jacques Colomb qui m'a toujours accompagné depuis mes premiers pas dans le vaste monde de la didactique des mathématiques. Son incroyable

disponibilité et ses encouragements nombreux ont sans nul doute facilité ces années de thèse.

Son implication dans ce travail et tous les moments que nous avons partagés ont à mes yeux une très grande valeur.

Je remercie sincèrement Colette Laborde d'avoir accepté d'être rapporteur de ma thèse et dont

le rapport est une source précieuse pour faire encore progresser ma réflexion. L'école d'été

YERME 2006 est pour moi très importante car j'y ai rencontré Paolo Boero dont j'admire la

réalisation didactique. Je tiens à exprimer mon sincère enthousiasme lorsqu'il a accepté d'être

rapporteur de ma thèse. J'adresse également mes sincères remerciements à Michèle Artigue

qui a accepté d'être membre du Jury. Au-delà de ce rôle, elle a toujours été d'une exceptionnelle disponibilité pour répondre à mes nombreuses questions concernant mes enseignements ou mes projets didactiques.

La réalisation de ce travail de thèse dépend incontestablement de la généreuse participation de

Mme Chloé B. et de ses classes de 6

e , 5 e et 3 e . Je tiens en particulier à faire part du très plaisir

que j'ai ressenti de l'accompagner dans sa classe. Je tiens également à remercier sincèrement

les 17 professeurs qui ont accepté de répondre à mon questionnaire, ainsi que les 7 tailleurs de

pierre et ébénistes qui ont très spontanément accepté de me recevoir et de me guider dans

leurs pratiques professionnelles dans le cadre de mes recherches.

Je tiens vivement à remercier Gérard Vergnaud d'avoir accepté de me recevoir pour répondre

à mes interrogations (toujours) nombreuses sur la théorie des champs conceptuels. Je souhaite également remercier Aline Robert pour ses conseils méthodologiques et son dynamisme

engagé au sein de l'équipe Didirem. J'adresse un très grand merci à Laurent Vivier pour sa

relecture fine de ma thèse et son soutien amical. Je remercie également tous les autres membres de l'équipe Didirem, pour tous les échanges didactiques ou simplement amicaux. La naturelle bonté de Martine Lamy, Nicole Gillet et Nadine Locufier, ainsi que l'incroyable efficacité de Michèle Wasse m'ont permis de venir à bout des méandres administratifs qui jalonnent les années de thèse. Ces remerciements ne seraient pas complets sans une pensée amicale pour l'équipe des jeunes

chercheurs dont les rendez-vous didactiques ont toujours été un très grand plaisir. J'adresse

une pensée toute particulière à Pablo Carranza, Christine Chambris, Elizabeth Montoya, Pascal Stoelting et Avenilde Romo Vazquez pour tous ces grands et petits moments passés ensemble durant ces années de thèse. Je ne manque pas de faire un clin d'oeil complice aux occupants du bureau 5B01 (anciens et actuels) ainsi qu'aux logiciens et probabilistes des bureaux voisins. Enfin, je termine cette page par une pensée pleine de tendresse pour mes parents, mon frère et

François, pour leur infaillible soutien.

- i -

TABLE DES MATIERES

Introduction 1 Chapitre 1 : Les premiers ancrages 4

1. LA QUESTION DES EFFETS DE LA REALITE SUR LES APPRENTISSAGES

SCOLAIRES

6

2. LA THESE DE LA SYMETRIE COMME MOTEUR DE DEVELOPPEMENT DE LA

PENSEE EN GEOMETRIE

10

3. LA THESE DE LA SYMETRIE COMME OBSTACLE PERSPECTIF 15

4. APPORT DES TRAVAUX DE RECHERCHE EN DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES

SUR LA SYMETRIE AXIALE ET LES TRANSFORMATIONS DU PLAN 22

5. REPERAGES HISTORIQUES DE L"EVOLUTION DU CONCEPT DE SYMETRIE 29

6. ECLAIRAGE CURRICULAIRE DE L"ENSEIGNEMENT DES TRANSFORMATIONS DU

PLAN AU COLLEGE

33

CONCLUSION 37

Chapitre 2 :

Construction du cadre théorique

40

1. LA THEORIE DES CHAMPS CONCEPTUELS 43

2. LES PARADIGMES GEOMETRIQUES ET LES ESPACES DE TRAVAIL GEOMETRIQUE 52

3. ARTICULATION DES CADRES THEORIQUES 56

4. INSPIRATION VYGOTSKIENNE 60

CONCLUSION 63 Chapitre 3 :

Le rôle de la symétrie dans la construction de l"Espace de Travail Géométrique des tailleurs de pierre et des ébénistes 65

1. POURQUOI RECHERCHER UNE PROBLEMATIQUE PRATIQUE CHEZ LES

ARTISANS ?

67

2. METHODOLOGIE 69

3. ETUDE DU CAS SIMPLE DE SYMETRIE AXIALE 75

- ii -

4. LA SYMETRIE : CONCEPT NATURALISE, ORGANISATEUR DE LA CONDUITE 88

5. CONCLUSION : UNE GEOMETRIE EN ACTE ORGANISEE MAIS FIGEE 96 Chapitre 4 : Un premier questionnaire exploratoire

99

1. POURQUOI UN PREMIER QUESTIONNAIRE ? 101

2. CONCEPTION DU QUESTIONNAIRE ET METHODOLOGIE D"ANALYSES 102

3. ETUDE QUALITATIVE DES PRODUCTIONS ECRITES DU QUESTIONNAIRE 109

4. UN NOUVEL OUTIL D"ANALYSE : LA DECONSTRUCTION DES FIGURES SELON

DUVAL 117

CONCLUSION 124

Chapitre 5 : Méthodologie de recherche à travers une étude longitudinale 126

1. UNE ETUDE LONGITUDINALE AU COLLEGE 128

2. LE DEUXIEME QUESTIONNAIRE EN 5E ET EN 3E 131

3. RELATIONS DES RESULTATS OBTENUS AVEC L"ENSEIGNEMENT 138

Chapitre 6 : Analyse du deuxième questionnaire

141
PARTIE A : LA SITUATION DES TRIANGLES, COMPARAISON PERCEPTION GLOBALE

ET PERCEPTION PONCTUELLE

144

1. ETUDES A PRIORI 145

2. TRAITEMENT ET ANALYSE DES DONNEES 151

3. METHODOLOGIE D"ANALYSE DES ETG PERSONNELS DES ELEVES : UN EXEMPLE

D"ETUDE DE CAS 162

4. SYNTHESE DES ANALYSES DES PRODUCTIONS D'ELEVES DE 3E DANS LA

SITUATION DES TRIANGLES 170

5. SYNTHESE DES ANALYSES DES PRODUCTIONS D'ELEVES DE 5E DANS LA

SITUATION DES TRIANGLES 177

6. CONCLUSION : LA STABILITE DES ETG PERSONNELS DES ELEVES DE 5E ET DE 3E

SELON LA TÂCHE

181
- iii - PARTIE B : LA SITUATION DES ROSACES, TRAITEMENT D"UNE FIGURE INVARIANTE

SOUS PLUSIEURS TRANSFORMATIONS

183

1. ETUDES A PRIORI DE LA SITUATION ROSACE 184

2. TRAITEMENT ET ANALYSE DES DONNEES DE LA SITUATION ROSACE 187

3. METHODOLOGIE D"ANALYSE DES ETG PERSONNELS DES ELEVES DANS LA

SITUATION ROSACE : UN EXEMPLE D"ETUDE DE CAS 192

4. SYNTHESE DES ANALYSES DES ETG PERSONNELS DES ELEVES DE 3E DANS LA

SITUATION ROSACE 199

5. SYNTHESE DES ANALYSES DES ETG PERSONNELS DES ELEVES DE 5E DANS LA

SITUATION ROSACE 203

6. CONCLUSION: LE ROLE DE LA SYMETRIE DANS L"EVOLUTION DE L"ETG

PERSONNEL DE L"ELEVE 206

PERSPECTIVES : QUELS LIENS ONT CES RÉSULTATS AVEC L"ENSEIGNEMENT REÇU

EN CLASSE PAR LE MÊME PROFESSEUR, MME B. ?

208

Chapitre 7 : Les effets de l"enseignement

209

1. UN ESPACE DE TRAVAIL STABILISE DU POINT DE VUE DES PROFESSEURS 211

2. METHODOLOGIE D"ANALYSE DES SEANCES OBSERVEES 215

3. L"INTRODUCTION DE LA SYMETRIE AXIALE EN 6E DANS LA CLASSE DE MME B. 220

4. LA SYMETRIE CENTRALE DANS LA CLASSE DE 5E DE MME B. 226

5. LA ROTATION DANS LA CLASSE DE 3E DE MME B. 244

6. CONCLUSION DES EFFETS DE L"ENSEIGNEMENT 254

Conclusions générales et perspectives

257

Bibliographie

267 Annexes

274
- 1 -

INTRODUCTION GENERALE

Ce travail de recherche est une étude didactique des effets de la symétrie axiale sur la

conceptualisation des isométries planes et sur la nature du travail géométrique au collège.

Nous nous référons à Vergnaud quant à l'utilisation du terme de " conceptualisation ».

D'après Vergnaud, le processus de conceptualisation est au coeur de l'activité de l'élève lors

d'un apprentissage scolaire vu comme l'adaptation de schèmes dans une situation donnée.

Nous supposons que la symétrie axiale, faisant partie des connaissances anciennes d'un élève

de collège, va participer à la construction de nouvelles connaissances visées par l'enseignement de la symétrie centrale en 5 e , et de la rotation en 3 e (nous n'étudierons pas le

cas de la translation). La problématique de notre travail de thèse s'articule donc autour de la

question générale du rôle joué par la symétrie axiale dans l'apprentissage des autres

transformations du plan, telles que la symétrie centrale et la rotation au collège. Agit-elle en

tant qu'obstacle ou en tant que levier ? Nous référons à la théorie des champs conceptuels de

Vergnaud pour analyser la conduite de l'élève mais aussi au cadre des paradigmes géométriques et des Espaces de Travail Géométrique de Houdement et Kuzniak quant à la nature du travail géométrique en jeu dans l'activité de l'élève. Cette thèse comprend sept chapitres qui décrivent le cheminement opéré durant plusieurs

années pour apporter des éléments de réponse à cette question de départ sur les effets

didactiques joués par la symétrie axiale. Dans le chapitre 1, intitulé Les premiers ancrages, nous commencerons par développer notre

réflexion autour de cette question de départ très générale à travers les travaux existant déjà

dans des champs divers tels que la psychologie, la philosophie, l'histoire des mathématiques, et bien sûr la didactique des mathématiques. Dans le chapitre 2, intitulé Construction du cadre théorique, nous décrirons le cadre théorique que nous avons choisi pour notre étude. Notre cadre théorique se concentre sur le

savoir mathématique en jeu (à savoir les isométries du plan) : d'un point de vue cognitif à

travers le cadre théorique des champs conceptuels de Vergnaud, et d'un point de vue géométrique avec le cadre des paradigmes géométriques et des Espaces de Travail Géométrique de Houdement et Kuzniak. Nous proposerons alors nos questions de recherche

qui s'articulent autour de l'étude de l'organisation des invariants opératoires en jeu lors de la

construction de l'Espace de Travail Géométrique personnel de l'élève dans une situation qui

donne un sens au concept de symétrie.

Dans le chapitre 3, intitulé Le rôle de la symétrie dans la construction de l'espace de travail

géométrique des tailleurs de pierre et des ébénistes, nous présenterons un travail de

Introduction générale

- 2 -

recherche indépendant du reste de la thèse mais qui rejoint notre réflexion sur le rôle joué par

la symétrie axiale dans une activité géométrique. Nous analyserons le rôle joué par la

symétrie dans la nature du travail géométrique opéré dans une problématique pratique dans le

contexte de l'artisanat, à travers des entretiens-actions auprès d'artisans au sein même de leurs

ateliers. Dans le chapitre 4, intitulé Un premier questionnaire exploratoire, nous reviendrons sur

l'institution scolaire en décrivant les analyses et résultats fournis par un premier questionnaire

exploratoire mené en classe de 3 e auprès de dix élèves. Ce questionnaire nous a permis de définir un certain nombre de variables que nous prendrons en compte pour la suite des expérimentations, et d'introduire les outils d'analyse inspirés par les travaux de Duval, et notamment les différents types de déconstruction des figures qu'il définit.

Dans le chapitre 5, intitulé Méthodologie de recherche à travers une étude longitudinale,

nous décrirons la méthodologie générale que nous avons choisie de mettre en place : - un deuxième questionnaire destiné à des élèves de 5 e et de 3 e afin d'analyser et de comparer la construction et la mise en oeuvre (notamment à travers le type de déconstruction des

figures) de l'ETG personnel de l'élève selon la nature de la transformation et selon la tâche

(appartenant à une même classe de situation), - l'observation des premières séances d'enseignement de la symétrie axiale en 6 e , de la symétrie centrale en 5 e et de la rotation en 3 e menées par un même professeur, Mme B., qui

était le professeur des élèves qui ont réalisé le deuxième questionnaire. Ces observations ont

alors pour but d'expliquer en partie les résultats obtenus dans le deuxième questionnaire. Dans le chapitre 6, intitulé Analyse du deuxième questionnaire, nous détaillerons la méthodologie d'analyse des productions recueillies lors du deuxième questionnaire. Nous

avons obtenu une catégorisation des élèves par profil selon des critères de réussite et surtout

de la stabilité de leur réussite selon un changement de perception suggéré par la tâche, auquel

l'élève n'adhère pas nécessairement. Nous soulignerons le rôle très différent que peut jouer la

symétrie axiale dans la construction de l'Espace de Travail Géométrique personnel de l'élève

selon qu'il s'agit d'un élève de 5 e ou de 3 e Le chapitre 7, intitulé Les effets de l'enseignement, a pour but d'essayer d'expliquer certains comportements des élèves mis en évidence par les résultats du deuxième questionnaire. D'après les observations des premières séances d'enseignement des transformations du plan en 6 e , 5 e et en 3 e , nous montrerons comment le statut de la symétrie axiale change au sein de la classe mais aussi comment certaines pratiques institutionnalisées en classe peuvent être détournées par l'élève. Nous conclurons ce travail de recherche en pointant les différents aspects que revêt la

symétrie axiale tout au long du collège. En effet, la symétrie axiale semble plutôt à l'origine

Introduction générale

- 3 -

d'amalgames en début de collège pour finalement permettre à l'élève d'organiser un réseau de

propriétés en fin de collège. Ce travail débouche alors sur de nouvelles perspectives de travail

et notamment concernant le rôle joué par les basculements de paradigmes entre une géométrie

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