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SYMÉTRIES

Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/-ZWAUCXmXB4

Partie 1 : Les symétries

1) Symétrie axiale (Rappels)

Vidéo https://www.youtube.com/playlist?list=PLVUDmbpupCarQBoHtQcjPvitHjCWDVGQ_ Définition : Deux figures sont symétriques par rapport à une droite si elle se superposent par pliage le long de la droite.

Propriété :

Le point M' est l'image du point M par la symétrie d'axe (d)

Signifie que :

- [MM'] est perpendiculaire à (d), - M et M' sont à égale distance de (d). Remarque : Dans ce cas, (d) est la médiatrice de [MM'].

2) Symétrie centrale

Activité de groupe : Demi-tours

Définition : Une symétrie centrale fait tourner une figure autour d'un point en effectuant un demi-tour.

Tracer le symétrique de Titeuf :

Propriété : Le point M' est le symétrique du point M par la symétrie de centre O signifie que le

point O est le milieu du segment [MM']. On dit, dans ce cas, que M' est le symétrique de M par rapport à O. O 2 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Remarque : Le symétrique du point O par rapport à O est O ! Méthode : Construire l'image d'une figure par une symétrie centrale Vidéo https://www.youtube.com/playlist?list=PLVUDmbpupCaq2_WKgsP0xJM0gOI1ZY6xK Construire le triangle A'B'C', symétrique du triangle ABC par la symétrie de centre O.

Correction

On construit les symétriques A', B' et C' des points A, B et C. Pour construire A' :

On commence par tracer la demi-droite [AO).

On place A' sur la demi-droite [AO) en reportant

la longueur AO de l'autre côté de O.

Ainsi O est le milieu du segment [AA'].

On fait de même pour construire B' et C' :

On relie les points A', B' et C' et on obtient le triangle A'B'C' symétrique du triangle ABC par la

symétrie de centre O. 3 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Partie 3 : Propriétés de la symétrie centrale TP info : Les propriétés de la symétrie centrale

Exemple :

Les points A', B', P' et M' sont les images respectives des points A, B, P et M par la symétrie de

centre O. Les cercles C et C' sont également symétriques l'un de l'autre.

On observe par exemple que :

(AM) // (A'M') A, P, M sont alignés et A', P', M' sont également alignés. AB = A'B' Les cercles C et C' ont le même rayon

M O B A A' B' M' C C' P P'

4 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Méthode : Utiliser les propriétés de la symétrie centrale

Vidéo https://youtu.be/B3xlAAp10ww

Vidéo https://youtu.be/zEWQwYUMXZc

On considère un triangle OAB.

Le point A' est le symétrique de A par rapport à O. Le point B' est le symétrique de B par rapport à O. Prouver que les droites (AB) et (A'B') sont parallèles.

Correction

On commence par réaliser une figure.

Le point A' est le symétrique de A par rapport à O. Le point B' est le symétrique de B par rapport à O. Donc, la droite (A'B') est symétrique de la droite (AB) par rapport à O. Or, deux droites symétriques sont parallèles. Donc les droites (AB) et (A'B') sont parallèles. Partie 4 : Axe de symétrie et centre de symétrie

Vidéo https://youtu.be/x2MqdM1t5Y4

1) Axe de symétrie

Définition : Une droite est un axe de symétrie d'une figure lorsque, par pliage le long de la droite,

les deux parties de la figure se superposent. Droite Deux droites symétriques sont parallèles. Alignement Les symétriques de points alignés sont des points alignés. Segment Deux segments symétriques sont parallèles et de même longueur.

Cercle

Deux cercles symétriques ont le même rayon.

Les centres de ces deux cercles sont symétriques l'un de l'autre. Angle Deux angles symétriques ont la même mesure. Aires Deux figures symétriques ont la même aire. 5 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr

La droite (d) est axe de symétrie. Par pliage, les deux parties du coeur se superposent.

2) Centre de symétrie

Définition : Un point est un centre de symétrie d'une figure, lorsqu'en effectuant un demi-tour

autour du point, la figure se superposent avec elle-même. Le point O est centre de symétrie. Par demi-tour, la figure se superpose avec elle-même. Méthode : Reconnaître un axe et un centre de symétrie

Vidéo https://youtu.be/x2MqdM1t5Y4

On considère le quadrilatère ABCD tel que : AB = AD et CB = CD. Cette figure possède-t-elle un axe de symétrie et un centre de symétrie ? 6 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr

Correction

Si on effectue un pliage le long de la droite (AC), les deux parties de la figure se superposent. Le quadrilatère ABCD possède un axe de symétrie : la droite (AC). Cependant, si en effectuant un demi-tour, il n'est pas possible que la figure se superpose avec elle-même. Le quadrilatère ABCD ne possède pas de centre de symétrie

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