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èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES02-TRIGONOMÉTRIETRIGONOMÉTRIEPremière-Chapitre 2Table des matières

ILe cercle trigonométrique et le radian2

1)Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2)Longueur d"un arc de cercle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3)Le radian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

4)Enroulement de la droite des réels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

IICosinus et sinus d"un réel3

1)Cosinus, sinus et cercle trigonométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2)Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3)cercle trigonométrique et valeurs à connaître. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Polycopié de cours de N. PEYRATP age1 sur5 Lycée Sain t-Charles

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èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES02-TRIGONOMÉTRIEDans tout le chapitre, le plan est muni d"un repère orthonormé(O;⃗ı,⃗ȷ).

I

Le cercle trigonométrique et le radian

1) Définition On appellecercle trigonométriquele cercleCde centre O et de rayon 1 sur lequel on a choisi un sens de parcours, ap- pelé lesens direct(sens inverse des aiguilles d"une montre).DÉFINITION 2)

Longueur d"un a rcde cercle

La longueur d"un cercle de rayonRest donnée par la formule2πR. Or le cercle trigonométrique a pour rayonR=1, donc sa longueur est de2π. Son demi-cercle a donc pour longueurπet son quart de cercle a pour longueurπ2

Ainsi, tout pointMdu cercle trigonométrique peut-être défini par la longueur de l"arc?IM.La longueur d"un arc de cercle et la mesure en degré de l"angle au centre qui l"intercepte sont propor-

tionnelles.Mesure de l"angle au centre36018090450

Longueur de l"arc intercepté2πππ

2π

40PROPRIÉTÉ

Simple proportionnalité.DÉMONSTRATION

3)

Le radian

SoitCun cercle trigonométrique de centreOdans un repère(O;I;J). Leradian(symbole : rad) est la mesure d"un angle au centre qui intercepte sur le cercleCun arc de longueur1.DÉFINITION Sur le cercle trigonométrique de la définition, l"angle ?IOJmesure90degrés, mais aussiπ2 radians.EXEMPLE

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1 èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES02-TRIGONOMÉTRIE4)Enroulement de la droite des réels

Soitdla tangente àCau pointI(1;0).

Alors tout pointNdedest repéré par un unique réelx. (dpeut être assimilée à un axe gradué) En enroulant la droitedsur le cercleC, on associe à tout réelxun unique

pointM(x)du cercleCet on dit quexest une mesure de l"angle?IOM.Sur un cercle trigonométrique, placer les pointsI(0),J?π2

?,K(π),L?3π2 ?,M(2π),N?-π2

P?-3π4

?.EXEMPLE

Pour tout réelxet pour tout entier relatifk, les pointsM(x)etM′(x+k×2π)du cercle trigonométrique

sont confondus.PROPRIÉTÉ

La longueur du cercle trigonométrique étant égale à2π, le résultat est immédiat.DÉMONSTRATION

Dans l"exemple précédent,IetMsont confondus, etNetLsont confondus.EXEMPLE II

Cosinus et sinus d"un réel

1)

Cosinus, sinus et cercle trigonométrique SoitCle cercle trigonométrique de centre O dans un repère orthonormé

direct(O;⃗ı,⃗ȷ).

Soitxun réel etMle point deCassocié àx.

On appellecosinusdexetsinusdex, notéscosxetsinx, l"abscisse et l"ordonnée deMdans le repère(O;⃗ı,⃗ȷ). On le note :M(cosx;sinx), ou encore :??→OM=cosx×⃗ı+sinx×⃗ȷ.DÉFINITION 2)

Prop riétés

Pour tout réelx,-1⩽cosx⩽1et-1⩽sinx⩽1PROPRIÉTÉ

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èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES02-TRIGONOMÉTRIEcos(x)est l"abscisse d"un pointMdu cercle trigonométrique, cercle dont le centre estOet le rayon

vaut1. Quelle que soit la position du pointMsur ce cercle, cette abscisse varie donc de-1à1, donc on a bien pour tout réelx,-1⩽cos(x)⩽1. Même raisonnement poursin(x), qui est l"ordonnée d"un point de ce cercle.DÉMONSTRATION

Pour tout réelx,cos2x+sin2x=1PROPRIÉTÉ

Six??0;π2

?, alors d"après le théorème de Pythagore dans le triangleOMH, oùHest le point de[OI] tel que(MH)?(OI), on aOM2=OH2+HM2, donc12=cos2(x)+sin2(x), soitcos2(x)+sin2(x)=1. On admet le résultat pour les autres valeurs dex.DÉMONSTRATION ? ?x?R,sin(-x)=-sinx. ? ?x?R,cos(-x)=cosx. ? ?x?R,cos(x+k×2π)=cos(x)etsin(x+k×2π)=sin(x).PROPRIÉTÉ Par considération géométrique sur le cercle trigonométrique.DÉMONSTRATION

Pour tout réelx:

sin?π2 -x?=cosx;cos?π2 -x?=sinx;sin?π2 +x?=cosx;cos?π2 +x?=-sinx Par considération géométrique sur le cercle trigonométrique.DÉMONSTRATION 3) cercle trigonométrique et valeurs à conn aître x0π 6π 4π 3π

2π3π22πsinx01

2⎷2

2⎷3

210-10

cosx1⎷3

2⎷2

21

20-101

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1 èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES02-TRIGONOMÉTRIEDémonstration pour π4 SoitABCDun carré de côté de longueura, avecaun réel strictement positif. 1.

Déterminer la mesure en ra diandes angles

?BACet?BCA. 2.

Déterminer en foncti onde ala longueurAC.

3.

En d éduirela v aleurexacte de sin?π4

?et decos?π4

Démonstration pour

π3 etπ6

SoitABCun triangle équilatéral de côté de longueura, avecaun réel strictement positif, et soitHle

pied de la hauteur du triangle issue deA. 1.

Déterminer la mesure en ra diandes angles

?ABHet?BAH. 2.

Déterminer en foncti onde ala longueurAH.

3.

En d éduirela v aleurexacte de sin?π3

?,cos?π3 ?,sin?π6 ?etcos?π6 ?.DÉMONSTRATIONS

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