[PDF] Trigonométrie et calcul numérique - Prof. P. Dewallef et Prof. Q

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Universit

e de Liege Examen d'admission aux etudes de bachelier ingenieur civil et architecte

Trigonometrie et calcul numerique

Prof. P. Dewallef et Prof. Q. Louveaux

Septembre 2018Question 1Resoudre l'equation trigonometrique suivante : sinx2sin3x+ sin5x=cos2x+ cos4x et representer les solutions appartenant a l'intervalle[;+[sur le cercle tri- gonometrique.

Solution

En appliquant les formules de Simpson a sin(x)+sin(5x) dans le membre de gauche et a tout le membre de droite, l'equation devient

2sin(3x)cos(2x)2sin(3x) =2sin(3x)sinx:A(1)

En ramenant le membre de droite a gauche et en mettant 2sin(3x) en evidence, (1) se reecrit

2sin(3x)(cos(2x)1 + sinx) = 0:B(2)

En utilisant la formule de Carnot cos(2x) = 12sin2x, l'equation devient

2sin(3x)(12sin2x1 + sinx) = 0

2sin(3x)sin(x)(12sinx) = 0:C(3)

Chaque facteur de (3) nous donne un ensemble de solutions. Nous avons donc sin(3 x) = 0 donnant 3x=ksoitx=k3 ;k2Z;D|sin x= 0 donnantx=k;k2Z;E|1 sin(2x) = 0 soit sinx=12 donnantx=

6+ 2k;k2Zoux=

56
+ 2k;k2Z:F x= 0x=23x=x=3x=3x=23 x=6x=56 Figure1 { Representation des solutions sur le cercle trigonometrique Question 2Montrer que siA;B;Csont trois angles strictement positifs tels queA+B+C=2 alors tanAtanB+ tanBtanC+ tanAtanC= 1:

Solution

On commence par remplacer les fonctions tanx=sinxcosx. On observe que, comme les angles sont strictement positifs, aucun de ceux-ci n'est egal a 2 radians et, des lors, toutes les fonctions tangentes sont denies. On peut donc reecrire l'equation comme sinAsinBcosAcosB+sinBsinCcosBcosC+sinAsinCcosAcosC= 1:(4) En mettant tout au m^eme denominateur, (4) peut s'ecrire de maniereequivalente comme sinAsinBcosC+ cosAsinBsinC+ sinAcosBsinCcosAcosBcosC= 1:(5) Comme tous les cosx6= 0 (xrepresentantA;BouC) par hypothese, on peut reecrire (5) de maniere equivalente comme sinAsinBcosC+ cosAsinBsinC+ sinAcosBsinCcosAcosBcosC= 0: (6)

CommeA+B+C=2

, on en deduit que cosC= sin(A+B) et sinC= cos(A+B). En remplacant dans (6), on obtient donc les formes equivalentes sinAsinBsin(A+B) + cosAsinBcos(A+B)+ sinAcosBcos(A+B)cosAcosBsin(A+B) = 0 et cos(A+B)(cosAsinB+ sinAcosB) + sin(A+B)(sinAsinBcosAcosB) = 0: (7) 2 On observe que cosAsinB+ sinAcosB= sin(A+B) et que sinAsinB cosAcosB=cos(A+B):Des lors, (7) s'ecrit de maniere equivalente comme cos(A+B)sin(A+B)sin(A+B)cos(A+B) = 0:(8) L'equation (8) etant toujours veriee et comme toutes les operations eectuees ont maintenu les equivalences entre les expressions, on en deduit que l'egalite a prouver est bien toujours veriee. Question 3Un observateur situe enOdans un desert parfaitement plan est aligne avec deux elements remarquablesAetXsepares entre eux par une dis- tancel= 25km. Cet observateur cherche a determiner la distance qui le separe du pointXen se deplacant enPd'une distancea= 2kmdans une direction perpendiculaire a l'axeAXO. De ce nouveau point de vue, il mesure l'angle \XPA= 160000. Les angles seront calcules a la seconde pres et les distances avec 5 chires signicatifs.AXO

Pl= 25kmx=?a= 2kmaD eterminerl'angle

[PAO. b

Calculer l adistanc exentre les pointsOetX.

c

Calculer l adistanc ePA.

Solution

a P ourdes raisons de facilit e,d enissonsles angles ,, et!comme sur la gure ci-dessous :AXO

Pl= 25kmx=?a= 2kmcb

= 90180 Dans le triangleAXPquelconque, la r^egle des sinus nous donne : lsin=bsin!=csin(180 )!sin!=bsinl A3

Ensuite, dans le triangle rectangleXOP:

sin =ab !b=asin BEn substituant cette valeur debdans l'expression precedente, il vient : sin!=asinlsin CEn notant que la somme des angles interieurs du triangleAXPvaut 180, il vient!+ 180 += 180! =!+, nous obtenons l'equation suivante ou seule la valeur de l'angle!est inconnue : sin!=asinlsin(!+),sin!sin(!+) =asinl DCette equation est resolue en utilisant la relation 2sinasinb= cos(a b)cos(a+b) ce qui donne : 12 (cos(!+!)cos(!++!)) =asinl ,cos(2!+) = cos2asinl

ECe qui donne :

2!+=4:6248+k360

Ne retenant que la solution positive inferieure a 360 , nous obtenons!=

1:7624= 14504400F.

b

Sac hantque dans le triangle rectangle XOP:

tan = tan(!+) =ax !x=atan(!+)= 40:000kmG cEn repartan tde la relation des sin usdans le triangle AXP, nous avons : c=lsin(180 )sin=lsin(!+)sin= 65:031kmH ATTENTION NOM (en MAJUSCULES ),pr enom(en min uscules)sur c haquefeuille. Rendre une feuill epar question m ^emes'il n'y a pas de r eponse.

Sp ecierles conditions d'existence.

GSM et PC in terdits.

Il est p ermisd'utiliser une calculette.

Pr eparerune p ieced'iden titesur la table.

Fin de l'examen a12 heures.

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Juillet 2018Question 1Resoudre dansRl'equation homogene sin

3x+ 2cos3x= 3sin2xcosx

et representer les solutions sur le cercle trigonometrique. Les solutions trouvees ne sont pas toutes exprimables sous la forme d'angles remarquables. Il n'emp^eche qu'il est possible de les representer de facon precise sur le cercle trigonometrique sachant quep3'1:732:

Solution A

Nous sommes en presence d'une equation trigonometrique homogene d'ordre

3. La technique la plus ecace pour resoudre ce genre d'equation est de diviser

les deux membres de l'equation par cos

3x. On verie evidemment que cosx= 0

n'est pas solution de l'equation On a donc : tan

3x3tan2x+ 2 = 0:

On transforme l'equation trigonometrique en une equation algebrique. On posey= tanxet on ecrit : y

33y2+ 2 = 0:

On trouve nalement :

(y1)(y22y2) = 0: dont les solutions sont y

1;2;3=8

:1 1 +p3 1p3 Les solutions de l'equation trigonometrique sont donc : S=n4 +ko [n arctan(1 +p3) +ko [n arctan(1p3) +ko ;k2Z: 1 + p3 1p31 x 1x 2x 3x 4x 5x

6Figure1 { Les 6 solutionsx1;:::;x6de l'equation sur le cercle trigonometrique

Solution B

On peut aussi diviser l'equation de depart par sin

3xet verier que sinx= 0

n'est pas solution. On obtient 2cot

3x3cot2x+ 1 = 0:

En posanty= cotx, on a

2y33y+ 1 = 0

qui a comme solutions y

1;2;3=8

:1 p312 p312 qui sont les inverses des solutions en tangente (1=(1 +p3) = 1=2(p31)).

Solution C

Si on pose

cosx=1t21 +t2et sinx=2t1 +t2 on trouve (2t)3+ 2(1t2)3= 3(2t)2(1t2) ou encore 2

2t6+ 18t4+ 8t318t2+ 2 = 0:

qui donne les 6 solutions sur le cercle.Question 2SiA,BetCsont les mesures des angles d'un triangle quelconque

non degenere, montrer que : sin

2A+ sin2B+ cos2C= 1 + 2sinAsinBcosC

Solution

Utilisons tout d'abord la formule de Carnot cos2a= 12sin2asur les deux premiers termes du membre de gauche : sin

2A+ sin2B+ cos2C= 1 + 2sinAsinBcosC

12 cos2A2quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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