Livre du professeur
Chapitre 2 # Utiliser le calcul littéral pour résoudre ou démontrer .................33 ... le document 1 pour calculer la vitesse de la tornade au.
TAGE MAGE FICHE DE COURS N° 1 MÉMO MATHÉMATIQUE
Le calcul littéral obéit aux mêmes règles que le calcul numérique en particulier aux règles de priorités. On peut supprimer le signe « × » devant une lettre ou
Joël Malaval Annie Plantiveau Frédéric Puigredo
14 mars 2014 Réduire une expression littérale ................ 30 ... Utiliser le calcul littéral. ... Proportionnalité et vitesse moyenne.......... 52.
Grandeurs et mesures
proportionnalité fonctions
Marc Boullis
préparer l'étude future du calcul littéral. Calculer avec des nombres relatifs des fractions ou des nombres décimaux (somme
calcul littéral 2 équations 6 la translation la rotation 10 opérations
On peut calculer la valeur d'une expression littérale en remplaçant les lettres vitesse moyenne) la situation est proportionnelle.
DOCUMENT RESSOURCE POUR LUTILISATION DES TICE EN
Calculer une durée à partir de la vitesse et la distance parcourue en effectuant En classe de quatrième : Déterminer une quatrième proportionnelle avec ...
Cycle 4 - REPÈRES
calcul littéral vient compléter pour tout ou géométrie relevant de la proportionnalité est élargi ... exemple vitesse débit
Projet dajustement et de clarification des programmes de
31 mai 2018 La connaissance des nombres entiers et du calcul est un objectif majeur du ... la proportionnalité le calcul littéral
(Calcul - Pourcentages vitesse
https://preparerlecrpe.files.wordpress.com/2015/07/calcul-pourcentages-vitesse-c3a9chelle.pdf
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TAGE MAGE
FICHE DE COURS N° 1
MÉMO MATHÉMATIQUE
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Ce mémo mathématique balaye le champ des connaissances requises pour les sous-tests de calcul, conditions
minimales, logique et raisonnement de l'épreuve du TAGE MAGE.Le niveau requis correspond pour l'essentiel au programme de la classe de troisième, et pour certaines
questions à celui des classes de seconde et de première. Une maîtrise parfaite des théorèmes, formules et
méthodes que vous trouverez dans ce mémo vous permettra d'économiser un temps précieux le jour du test.
TABLE DES MATIÈRES
ARITHMÉTIQUE _________________________________________________________________ 4 Rappel sur les nombres _________________________________________________________________ 4 Multiple, diviseur, divisible ______________________________________________________________ 4 Critères de divisibilité __________________________________________________________________ 5 Les nombres premiers _________________________________________________________________ 6PGCD et
PPCM _______________________________________________________________________ 6 La division euclidienne _________________________________________________________________ 7 La division décimale ___________________________________________________________________ 8Multipli
cation, carré et cube_____________________________________________________________ 8 Parité _______________________________________________________________________________ 9 Les nombres consécutifs ________________________________________________________________ 9 ALGEBRE ______________________________________________________________________ 10 Règles de calcul ______________________________________________________________________ 10 Les fractions ________________________________________________________________________ 10 Les puissances _______________________________________________________________________ 11 Les racines carrées ___________________________________________________________________ 12 Calcul littéral ________________________________________________________________________ 13 Equations __________________________________________________________________________ 14 PROPORTIONNALITE ____________________________________________________________ 17 Proportionnalité simple et produit en croix ________________________________________________ 17 Proportionnalité multiple ______________________________________________________________ 18 POURCENTAGE _________________________________________________________________ 19Page 3
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Calcul d'une augmentation ou d'une baisse ________________________________________________ 19 Intérêts composés____________________________________________________________________ 20 Calcul d'une évolution ________________________________________________________________ 20 MOYENNE _____________________________________________________________________ 21 UNITES DE MESURE _____________________________________________________________ 21Unités de
longueur ___________________________________________________________________ 21 Unités d'aire ________________________________________________________________________ 22 Unités de volume ____________________________________________________________________ 22 Unités de masse _____________________________________________________________________ 22 Unité de temps ______________________________________________________________________ 22 VITESSE _______________________________________________________________________ 24 Formule de base _____________________________________________________________________ 24 Vitesse moyenne _____________________________________________________________________ 25GEOMETRIE
___________________________________________________________________ 25 Geometrie élémentaire _______________________________________________________________ 25 Triangles ___________________________________________________________________________ 25 Théorème de Pythagore _______________________________________________________________ 26 Trigonométrie _______________________________________________________________________ 27 Quadrilatères _______________________________________________________________________ 27 Volumes ___________________________________________________________________________ 29Page 4
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ARITHMÉTIQUE
Rappel sur les nombres
- Les chiffres sont les symboles élémentaires avec lesquels on forme tous les nombres entiers naturels.
Il y a dix chiffres : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 et 9. - Les nombres entiers naturels sont 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4... (à l'infini).- Les nombres entiers relatifs sont les entiers positifs et négatifs : о2 ; о1 ; 0 ; +1 ; +2 ; +3 ;... Les entiers
naturels se confondent avec les entiers relatifs positifs : +5 = 5.- Les nombres décimaux sont les entiers et les nombres pouvant s'écrire avec un nombre limité de
décimale est 0,85.- Les nombres rationnels sont ceux qui peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction de deux entiers :
4 5 2 3 12 7 5 13 . Sous forme décimale, ils peuvent comporter un nombre infini dedécimales, mais à partir d'un certain rang elles sont cycliques (le même groupe de chiffres revient
indéfiniment : 5/3 = 1,333...). - Les nombres irrationnels sont ceux qui ne sont pas rationnels :2 ; 5 ; ʋ ͕ʋн3 Leur
développement décimal comporte un nombre infini de décimales non cycliques ͗ʋсϯ͕ϭϰ͘͘͘
- Les nombres réels sont tous ceux qui sont évoqués ci-dessus.Multiple, diviseur, divisible
Dire qu'un nombre
B est un multiple d'un nombre A, ou que B est divisible par A, c'est dire que B est le produit de A par un nombre entierK, autrement dit que : B = A × K
Exemple : 24 est un multiple de 6 ; 24 est divisible par 6 ; 6 est un diviseur de 24 ; 24 est le produit
de 6 par 4.Tout nombre est divisible par 1 et par lui
-même. 0 est un multiple de tous les nombres.Page 5
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Critères de divisibilité
Divisibilité par 2
Un nombre est divisible par 2, s'il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.Divisibilité par 3
Pour savoir si un nombre est divisible par 3, on fait la somme de ses chiffres et on regarde si elle est divisible par 3 ; s'il le faut on recommence.Exemple : 348 est divisible par 3 puisque 3 + 4 + 8 = 15 et que 15 est un multiple de 3 ; si ceci n'était
pas évident, on effectuerait 1 + 5 = 6, qui est un multiple de 3.Divisibilité par 4
Un nombre de plus de deux chiffres est divisible par 4 si les deux derniers chiffres forment un nombre lui-
même divisible par 4 : 75624 est divisible par 4 parce que 24 l'est.Divisibilité par 5
Un nombre est divisible par 5 s'il se termine par 5 ou par 0.Divisibilité par 6
Un nombre est divisible par 6 s'il est divisible par 3 et par 2.Divisibilité par 7
Un nombre est divisible par 7 si le résultat de la soustraction du nombre de dizaines (à ne pas confondre avec
le chiffre des dizaines) par le double du chiffre des unités est multiple de 7. Autrement dit, un nombre qui s'écrit CDU est divisible par 7 si et seulement si CD - 2 × U est divisible par 7 :252 est divisible par 7 car 25
- 2 × 2 = 21 ; or 21 est multiple de 7.Divisibilité par 9
Pour savoir
si un nombre est divisible par9, on fait la somme de ses chiffres et on regarde si elle est divisible
par 9 ; s'il le faut on recommence.Exemple : 477 est divisible par 9 puisque 4 + 7 + 7 = 18 et que 18 est un multiple de 9 ; si ceci n'était
pas évident, on effectuerait 1 + 8 = 9, qui est un multiple de 9.Si un nombre est divisible par 9 alors il est aussi divisible par 3. Attention, l'inverse n'est pas vrai.
Divisibilité par 11
Pour savoir si un nombre est divisible par 11 :
On additionne les chiffres du nombre situés dans des positions impaires. On additionne les chiffres restants (donc situés dans des positions paires).Si la différence entre les deux sommes est un multiple de 11, y compris 0, alors le nombre est divisible par
11.572 est divisible
par 11 parce que 2 + 5 = 7 et 7 - 7 = 0 ; or 0 est divisible par 11.Page 6
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Les nombres premiers
On appelle nombre premier tout nombre qui n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même.Les nombres premiers jusqu'à 100
23 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
Remarque : 1 n'est pas un nombre premier. Il n'a qu'un seul diviseur.Tout entier naturel (plus grand que 1) qui n'est pas premier est décomposable d'une manière unique en un
produit de nombres premiers. Exemple : Décomposer 280 en un produit de facteurs premiers.On écrit le nombre et les quotients successifs dans une colonne, les facteurs premiers dans une autre
colonne. On continue jusqu'à ce que le quotient soit 1. 280140
70
35
7 1 2 2 2 5 7
D'où 280 = 2 × 2 × 2 × 5 × 7 = 2
3× 5 × 7
Exemple : Décomposer 7 425 en un produit de facteurs premiers. 7 425 2 475 825275
55
11 1 3 3 3 5 5 11 1
D'où 7 425 = 3 x 3 x 3 x 5 x 5 x 11 = 3
3× 5
2× 11
PGCD et PPCM
Le PGCD de deux nombres est le plus grand commun diviseur de ces deux nombres.Pour calculer le PGCD de deux nombres, une méthode simple consiste à décomposer ces deux nombres en
un produit de facteurs premiers. Le PGCD est alors le produit des facteurs premiers commun dans les deux
décompositions.Page 7
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Exemple : Simplifier la fraction
170578
On commence par calculer le PGCD de 170 et 578 : 170 = 2 × 5 × 17 et 578 = 2 × 17 2 Les facteurs communs sont 2 et 17, donc le PGCD(170, 578) = 2
× 17 = 34.
Ainsi170 534 5
578 1734 17
est la simplification en une fraction irréductible. Le PPCM de deux nombres est le plus petit commun multiple aux deux nombres. Pour calculer le PPCM dedeux nombres, une méthode consiste à décomposer chaque nombre en facteurs premiers. Le PPCM est alors
le produit de tous les facteurs présents dans les deux décompositions.Exemple : Chercher le PPCM de 675 et 360.
On décompose 675 et 360 en facteur premiers : 675 = 3 3× 5
2 et 360 = 2 3× 3
2× 5.
Ainsi, le PPCM(675, 360) =
3 3× 5
2× 2
3 = 5 400.La division euclidienne
En faisant la division euclidienne de 23 par 3, on obtient 23 = 7 × 3 + 2. Le quotient entier est 7, le diviseur est 3 et le reste est 2. Le reste est toujours inférieur au diviseur. Exemple : Avec 167 bouteilles de champagne, combien peut-on remplir de cartons de 6 bouteilles ?On pose la division euclidienne :
167 6
475 27
D'où 167 = 6
× 27 + 5. On peut remplir 27 cartons, il reste 5 bouteilles.Page 8
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La division décimale
Le diviseur est un entier.
On pose la division en potence.
Exemple : Diviser 157,5 par 3.
157,5 3
07 15 0 52,5Le diviseur n'est pas un entier
On ramène la division à une division par un entier en multipliant le diviseur et le dividende par 10, par 100, etc...Exemple : Diviser 15,75 par 3,6
On multiplie diviseur et dividende par 10.
15,75 ÷ 3,6 = 157,5 ÷ 36
157,5 36
13 5 2 7 0 1 8 0 0 4,375Multiplication, carré et cube
Table de multiplication jusqu'à 12
× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12 11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12 22 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
243
3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33
364
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44
485
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
606
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66
727
7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77
848
8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88
969
9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99
10810 10
20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
12011 11
22 33 44 55 66 77 88 99 110 121
13212 12
24 36 48 60 72 84 96 108 120 132
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