[PDF] 1 Loi binomiale Combien de fois faut-il

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UNS - Probabilités pour l"informatique L2 2018-2019 Feuille de TD 5 : Compléments concernant les probabilités finies

1 Loi binomiale

Exercice 1.Combien de fois faut-il lancer un dé pour faire au moins un six avec une probabilité

supérieure ou égale à 0,95?

Corrigé de l"Exercice 1.On répètenfois, de façon indépendante, l"expérience " le joueur lance un

dé bien équilibré » qui comporte 2 issues : " le joueur obtient un 6 » considéré comme succès, de probabilitép=16 " le joueur n"obtient pas un 6 » considéré comme échec, de probabilité1p=56 NotonsAnl"événement "Parminlancers, on obtient au moins un six". Son complémentaire est

"parminlancers, on obtient jamais de six". les lancers étant indépendants, sa probabilité vaut

P(A) =56

n:

On résout donc

0;9515n6

n 5n6 n0;05 ()enln 5=6 0;05 ()nln56 ln(0;05) ()nln(0;05)ln(5=6)16;43: Il faut donc lancer le dé au moins 17 fois pour que l"on obtienne le 6 au moins une fois avec une probabilité supérieure ou égale à 0,95 .

Exercice 2.Une fabrication automatique de pièces embouties donne un pourcentage de rebuts s"éle-

vant à 5%. On considère un échantillon de 10 pièces issues de cette fabrication. Calculer la probabilité

de trouver dans cet échantillon au plus 2 rebuts.

Corrigé de l"Exercice 2.On répète 10 fois, de façon indépendante, l"expérience " on tire au hasard

une pièce dans la production » qui comporte 2 issues : " la pièce va au rebut » considéré comme succès, de probabilitép= 0;05; " la pièce ne va pas au rebut » considéré comme échec, de probabilité1p= 0;95. 1 La probabilité d"obtenirkfois une pièce allant au rebut est donnée par la loi binomiale : q k=10 k p k(1p)10k: On cherche ici la probabilité pour qu"au plus deux pièces aillent au rebut, soit q

0+q1+q20:988:

Exercice 3.On joue à pile ou face avec une pièce de monnaie non équilibrée 50 fois de suite et de

manières indépendantes. On considère que la probabilité de faire "pile" avec cette pièce estP(pile) =

80%.
Soit X le nombre de lancers parmi les 50 lancers où l"on a obtenu le résultat "pile".

1. Justifier que X suit une loi binomiale et donner ses paramètres.

2. Calculer les probabilités suivantes à103près.

d"obtenir exactement 39 piles d"obtenir exactement 41 piles d"obtenir entre 39 et 41 piles d"obtenir au plus, 2 piles d"obtenir au moins, 2 piles

3. Déterminer le nombre minimal de lancers à faire pour que la probabilité d"obtenir au moins un

pile dépasse 99, 99%

Corrigé de l"Exercice 3.1. On répète 50 fois une même expérience aléatoire. Les répétitions sont

indépendantes, et chaque expérience peut avoir deux issues contraires : un succès, avec probabilité 0,

8, ou un échec, avec probabilité 1 - 0, 8 = 0, 2.

Le nombreXse succès suit alors une loi binomiale surf0;:::;50g, de paramètrep= 0;8. C"est-à-dire

qu"on a

P(X=k) =50

k

0;8k0;250k:

2. On a

P(X= 39) =50

39

0;8390;2110;127

P(X= 41) =50

41

0;8410;290;136

P(39X41) =P(X= 39) +P(X= 40) +P(X= 41)0;403

P(X2) =P(X= 0) +P(X= 1) +P(X= 2)0

P(X2) = 1P(X= 0)P(X= 1)1:

3. Par la même méthode que l"exercice 1, on trouve qu"il faut au moins 6 lancers.

2

2 Révisions et compléments

Exercice 4.(Dénombrement) Combien y a-t-il de nombres de 5 chiffres où 0 figure une fois et une

seule?

Corrigé de l"Exercice 4.On place le 0 soit au chiffre des unités, soit au chiffre des dizaines, soit

au chiffre des centaines, soit au chiffre des milliers (mais pas au chiffre des dizaines de milliers) et le 0

étant placé, on n"y a plus droit. Le nombre de possibilités est donc49999 = 26244.

Exercice 5.(Probabilités conditionnelles) On dispose de 100 dés dont 25 sont pipés. Pour chaque dé

pipé, la probabilité d"obtenir le chiffre 6 lors d"un lancer vaut 12 1. Soit n2N. On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dénfois et on obtientnfois le chiffre 6. Quelle est la probabilitépnque ce dé soit pipé? 2. Déterminer limn!1pn. Interpréter ce résultat.

Corrigé de l"Exercice 5.1. NotonsAl"événement "le dé est pipé", etBl"événement "on obtient

nfois le chiffre 6". La probabilité recherchée estPB(A). On sait queP(A) =14 ,P(A) = 114 =34

D"autre part, on aPA(B) =12

n, etPA (B) =16 n. Par la formule des probabilités totales, on a

P(B) =P(A)PA(B) +P(A)PA

(B) 14 12 n+34 16 n:

Par la formule de Bayes, on a

p n=PB(A) =P(A)P(B)PA(B) 14 1 4 12 n+34 16 n12 n 11 + 13 n1

2. On a

13 n1!0, doncpn!1. Ceci signifie que si au bout d"un grand nombre de lancers, on a obtenu à chaque fois le 6, il est quasiment sûr que le dé est pipé.

Exercice 6.(Probabilités uniforme et dénombrement) Dans une loterie, il y a 30 billets dontnsont

gagnants. On suppose que tous les billets ont la même probabilité d"être achetés. On achète 2 billets

au hasard. Déterminer la probabilité de ne rien gagner et en déduire la valeur denà partir de laquelle

on a 90% de chance de gagner.

Corrigé de l"Exercice 6.L"univers considéré est l"ensemble des combinaisons de 2 tickets parmi 30,

dont le cardinal est30

2. NotonsAl"événement "ne rien gagner", dont le cardinal est30n

2. On a

donc

P(A) =

30n
2 30
2 =(30n)(29n)3029=n259n+ 870870

Cette quantité est supérieure à

110
si et seulement sin259n+ 87087, ce qui correspond, en résolvant l"inégalité du second degré, àn21. 3

Exercice 7.(Probabilités uniforme et dénombrement) On dispose de2ncartons numérotées de 1 à

2n. On les tire un par un au hasard. Quelle est la probabilité que les numéros impairs soient tous avant

les numéros pairs?

Corrigé de l"Exercice 7.L"univers

est l"ensemble des permutations de l"ensemble des entiers de 1

à2n, de cardinal(2n)!, muni de la probabilité uniforme. Pour les cas favorables, il y an!possibilités

pour lesnpremiers cartons et pour chacune de ces possibilités, il y an!possibilités pour lesnderniers.

Il y a doncn!n!cas favorables. La probabilité demandée est donc (n!)2(2n)!=1 2n n Exercice 8.(Probabilités conditionnelles abstraites) Soit( ;P)un espace de probabilité fini, et soit A un événement tel queP(A)>0. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que 8B ;PA(B) =P(B):(1) Indication :Si (1) est vérifiée, que vautPA(A)?

Corrigé de l"Exercice 8.Supposons que (1) est vérifiée. On a alorsP(A) =PA(A) =P(A\A)P(A)= 1.

Réciproquement, supposonsP(A) = 1. Alors, pour toutB , on aPA(B) =P(A\B). Or on a P(B) =P(A\B) +P(A\B), et, commeP(A) = 1, on aP(A) = 0, doncP(A\B)P(A) = 0. On a doncP(B) =P(A\B) =PA(B), donc (1) est bien vérifiée. 4quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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