Chapitre II : Langage de la continuité – Limites I. Les limites a) limite
b) limite en l'infini des fonctions rationnelles. Propriété : La limite en +? ou en –? d'une fonction rationnelle est la limite en +? ou en –? du.
Chapitre 2 Continuité des fonctions réelles
Pour que ceci ait un sens il faut montrer l'unicité de la limite — quand elle existe. Proposition 2.2.2. Si une fonction admet l et l pour limites en un même
LIMITES ET CONTINUITÉ (Partie 1)
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. LIMITES ET CONTINUITÉ. (Partie 1). I. Limite d'une fonction à l'infini. 1) Limite finie à
Chapitre 1 - Fonctions de plusieurs variables. Limites dans R
A la lumière des exercices 5 et 6 on voit que l'étude de la continuité et de la dérivabilité d'une fonction de R dans Rp ne pose pas vraiment de difficulté
Epsilon
8 nov. 2013 Principe du ? particulier ». Applications : limites des produits définition de la continuité avec ? et ?. ? Quelques suites importantes.
FONCTIONS DE CLASSE C1
(continuité dérivabilité
cours-exo7.pdf
Voici la définition mathématique de la continuité d'une fonction Les mathématiques sont un langage pour s'exprimer rigoureusement adapté aux phénomènes.
LIMITE DUNE SUITE
On dit que. (ou n par abus de langage) est vraie à partir d'un certain rang si : ? N ? ?n ? N
MATHS 110c cHAPITRE III : NOTIONS DE LIMITES Nous allons
nir les limites vues au lycée à l'aide des quantificateurs. sur la continuité pour plus de détails sur la fonction "partie entière".
Maths vocab in English
la limite de f (x) quand x tend vers a est l the limit of f as x approaches a equals/is l ordonnée à l'origine y-intercept point d'inflexion.
Epsilon
Analyse 1
8 novembre 2013
En bref
But du jeu : voir les raisonnements les plus simples avec"(epsilon) Justification de quelques propriétés des limites de suites en utilisant ces raisonnements " Principe 2"». Application : " principe du majorant » " Principe du plus grand desn0». Applications : limite des sommes, recollement, théorème des gendarmes " Principe du"particulier ». Applications : limites des produits, définition de la continuité avec"etQuelques suites importantes
Le début de l"analyse " conceptuelle » : suites de Cauchy. Application : méthode des approximations successives de PicardPrincipe 2"Rappel
Par définition,xn!`2Rssi
8" >0;9n0tqjxn`j< ";8nn0
Exercice
Calculer le plus petitn0sixn=1n
et"=101, ou"=102Solution.On a`=0
On a (1)jxn`j< "()1n
< "()n>1"Si"=101, alors (1)()n>10, et donc le plus petit
n0qui convienne estn0=11
Si"=102, alorsn0=101 convient
Remarques
Donc, en général,n0dépend de"
Si nécessaire, on écritn0=n0(")pour souligner la dépendance den0par rapport à" n0n"est pas unique
Dans l"exemple précédent, toutn011 peut être pris commen0(101) Plus généralement, simpeut jouer le rôle den0, alors toutkmpeut jouer ce rôle Principe 2"Principe 2"Pour prouver la convergencexn!`2R, il suffit de trouver (pour tout" >0)n0tqjxn`j<2",8nn0... ...bien que cette inégalité soit plus faible quejxn`j< ",8nn0Démonstration.
Sinn0("=2), alors nous avonsjxn`j<2"2
Principe 2"Travail individuel
Enoncer et prouver le principe 10"
Enoncer et prouver le principe"2
Nous avons le principe suivant (admis)Principeg(")Soitg: [0;1[![0;1[continue et telle queg(0) =0Pour prouver la convergencexn!l2R, il suffit de
trouver (pour tout" >0)n0tqjxnlj g("),8nn0Remarque Le principe fonctionne aussi si on obtient "On cherchen0tqjxn`j g("),8nn0(avecg
convenable)Variante : on montre quejxn`j Application : principe du majorant
Principe du majorant
Hypothèses
j xn`j Cyn,8n yn!0,C>0 constante Conclusion
x n!`Démonstration. Soit" >0
Soitn0tqjynj=yn< ",8nn0
Alorsjxn`j On conclut grâce au principeC"
Principe du majorant
Exercice d"application
On a lim
n!11+2sinn2n =0Solution. On a 1+2sinn2n
0=j1+2sinn2jn
31n
On applique le principe du majorant avecyn:=1n
et C=3 Principe du plus grand desn0Principe du plus grand desn0Si la propriété (P1) est vraie pournn1, et si la propriété
(P2) est vraie pournn2, alors les propriétés (P1) et (P2) sont vraies (en même temps) pournn0, où n 0:=maxfn1;n2g
Application : limite de la somme
Proposition
Hypothèses x
n!`2Retyn!L2R Conclusion x
n+yn!`+LDémonstration. Soit" >0. Soientn1,n2tq
jxn`j< ";8nn1etjynLj< ";8nn2 Soitn0:=maxfn1;n2g. Sinn0, alors
j(xn+yn)(`+L)j=j(xn`) + (ynL)j jxn`j+jynLj< "+"=2" On conclut grâce au principe 2"
Application : théorème des gendarmes
Théorème des gendarmes
Hypothèses
ynxnzn yn!`2R,zn!`(même`) Conclusion
x n!`Il existe des variantes de ce résultat si`=1ou`=1 (voir feuille d"exercices no 4) Application : théorème des gendarmes
Démonstration.
Soit" >0. Soientn1;n2tq
jyn`j< ";8nn1etjzn`j< ";8nn2 Soitn0:=maxfn1;n2g. Sinn0, alors
`" D"oùjxn`j< ",8nn0
Application : recollement
Formulation vague
Si une suite(xn)" se casse » en plusieurs sous-suites, toutes avec la même limite`, alorsxn!` L"hypothèse clé est que`ne dépend pas de la sous-suite Application : recollement
Voici une formulation rigoureuse d"un cas particulier de recollementProposition Hypothèses
(x'(n))et(x (n))sous-suites de(xn) Tout entiermest soit de la forme'(n), soit de la forme (n). Càd : 8m2N;9n2Ntq soitm='(n);soitm= (n)
x'(n)!`etx (n)!`(même`) Conclusion
x n!` Application : recollement
Exemples
Six2n!`etx2n+1!`(même`), alorsxn!`
alorsxn!`Travail individuel : reprendre, dans le poly sur le sup, l"exercice sur la suite(zn)donnée par z n:=112 +13 14 +:::+ (1)n+11n ;8n1; et montrer que(zn)converge Application : recollement
Preuve si`2R.Soit" >0. Soientn1,n2tq
jx'(n)`j< ";8nn1etjx (n)`j< ";8nn2 Soitn0:=maxf'(n1); (n2)g
Soitmn0. Soitntqm='(n)oum= (n)
Sim='(n), alorsnn1. De même : sim= (n),
alorsnn2 Dans les deux cas :jxm`j< ",8mn0Travail individuel Examiner les cas où`=1ou`=1
Etudier le cas de plusieurs sous-suites. Notes de cours, Poroposition 5.16, p. 40
Principe du"particulierPrincipe du"particulierUne propriété vraie pour tout"est vraie pour des valeurs
particulières de" Application : une suite convergente est
bornéeProposition Une suite convergente est bornée
Càd : sixn!`2R, alors9a;b2Rtqaxnb,8n
Application : une suite convergente est
bornéeDémonstration. On prend"=1 dans la définition de la convergence. Soitn0tqjxn`j<1,8nn0
On a donc`1 On obtientaxnb, avec
a:=minf`1;x0;:::;xn01g; b:=maxf`+1;x0;:::;xn01gTravail individuel : sixn!`2R, montrer qu"il existeMtq jxnj M,8n Application : limite d"un produit
Proposition
Hypothèses
x n!`2Retyn!L2R Conclusion
x nyn!`L Application : limite d"un produit
Démonstration.
SoitMtqjxnj M,8n
Soit" >0. Soientn1,n2tq
jxn`j< ";8nn1etjynLj< ";8nn2 Soitn0:=maxfn1;n2g. Sinn0, alors
jxnyn`Lj=jxnynxnL+xnL`Lj jxnynxnLj+jxnL`Lj =jxnjjynLj+jxn`jjLj M"+jLj"= (M+jLj)"
On conclut grâce au principeC"
Application : continuité avec"Rappel
Sif:A!Retx2A, alorsfest continue enxssi
[(xn)A;xn!x] =)f(xn)!f(x) Application : continuité avec"Proposition
Hypothèses
f:A!R x2A Conclusion
fcontinue enxssi8" >0;9 >0 tq [y2A;jyxj< ] =) jf(y)f(x)j< " Application : continuité avec"Démonstration de "=)».Par l"absurde :9" >0 tq8 >0,9y2Atqjyxj<
etjf(y)f(x)j " Prenons unparticulier ::=1n
. Soity=yncomme ci-dessus Alors (1)yn2A,jynxj<1n
, et (2)jf(yn)f(x)j ", 8n De (1) et du principe du majorant, nous avons (3)
y n!x Sinn0("), (2) et (3) contredisentf(yn)!f(x)?
Application : continuité avec"Travail individuel Preuve de "(=». Voir notes de cours, Proposition 4.9, pp. 31-32
Caractérisation de la limite limy!xf(y)avec". Notes de cours, Proposition 6.1, p. 43 Quelques suites importantes
Suite arithmétique
x02R,xn:=xn1+a,8n1, aveca2Rconstante Terme général :xn=x0+na,8n0
Limite :xn!8
:1;sia>0 1;sia<0
x 0;sia=0
Quelques suites importantes
Suite géométrique
x 02R,xn:=q xn1,8n1, avecq2Rconstante
Terme général :xn=x0qn,8n0
Limite six0=1 :xn!8
>>:0;si11;siq=1 1;siq>1
n"existe pas;siq 1 Quelques suites importantes
Calcul de lim
n!1xnPourq0, voir feuille 4 TD Si1Siq=1, alorsx2n!1 etx2n+1! 1. On conclut
grâce à l"absence de recollement Raisonnement analogue siq<1 : nous avons
x 2n! 1etx2n+1! 1
Suites de Cauchy
Motivation : étudier la convergence d"une suite(xn)sans aucune information sur sa monotonieDéfinition Une suite(xn)est de Cauchy ssi :8" >0,9n0tq
jxmxnj< ";8m;nn0Théorème (xn)converge ssi(xn)est une suite de CauchyTravail individuel : preuve de "=)». Notes de cours, Théorème 5.18, p. 41
Suites de Cauchy
Preuve de "(=».PosonsAn:=fxn;xn+1;:::g,yn:=infAnetzn:=supAn Nous avonsynxnzn,8n
Soit" >0. Sinn0=n0("), alorsxn"est un
minorant deAnetxn+"est un majorant deAn D"oùznyn2",8nn0
Nous obtenonsznyn!0 (principe 2")
Le théorème des suites adjacentes donneyn!`2R etzn!`(même`) Le théorème des gendarmes impliquexn!`
Résultat admis
Proposition
Une suite(xn)est de Cauchy (donc converge) ssi9"ntq j xmxnj "n,8m>n "n!0 Application : méthode de Picard
Définition
Soitf:R!R. Alorsfest contractante ssi :9k<1 tq
jf(x)f(y)j kjxyj,8x;y2R Application : méthode de Picard
Exemple
f:R!R,f(x) =xsinx3 , est contractanteSolution. On af0(x) =1cosx3
, d"oùjf0(x)j 23 Le TAF donnejf(x)f(y)j 23
jxyj,8x;y2R Application : méthode de Picard
Proposition
Hypothèse
f:R!Rcontractante Conclusions
Il existe un (seul et un seul)c2Rtqf(c) =c
Pour toutx02R, la suite de Picard, donnée par
x n:=f(xn1),8n1, converge verscTravail individuel : unicité dec. Voir feuille 5 de TD Application : méthode de Picard
Démonstration de "xn!c».Par récurrence surn0, nous avons jxn+1xnj knjx1x0j Sim>n, alors
jxmxnj=j(xmxm1) ++ (xn+1xn)j jxmxm1j++jxn+1xnj jx1x0j1kkn:="n Nous avons"n!0 (car 0k<1)
Donc(xn)est une suite de Cauchy
Soitc:=limn!1xn
Alorsxn+1=f(xn) =)c=f(c)
quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46
Application : principe du majorant
Principe du majorant
Hypothèses
j xn`j Cyn,8n yn!0,C>0 constanteConclusion
x n!`Démonstration.Soit" >0
Soitn0tqjynj=yn< ",8nn0
Alorsjxn`j On conclut grâce au principeC"
Principe du majorant
Exercice d"application
On a lim
n!11+2sinn2n =0Solution. On a 1+2sinn2n
0=j1+2sinn2jn
31n
On applique le principe du majorant avecyn:=1n
et C=3 Principe du plus grand desn0Principe du plus grand desn0Si la propriété (P1) est vraie pournn1, et si la propriété
(P2) est vraie pournn2, alors les propriétés (P1) et (P2) sont vraies (en même temps) pournn0, où n 0:=maxfn1;n2g
Application : limite de la somme
Proposition
Hypothèses x
n!`2Retyn!L2R Conclusion x
n+yn!`+LDémonstration. Soit" >0. Soientn1,n2tq
jxn`j< ";8nn1etjynLj< ";8nn2 Soitn0:=maxfn1;n2g. Sinn0, alors
j(xn+yn)(`+L)j=j(xn`) + (ynL)j jxn`j+jynLj< "+"=2" On conclut grâce au principe 2"
Application : théorème des gendarmes
Théorème des gendarmes
Hypothèses
ynxnzn yn!`2R,zn!`(même`) Conclusion
x n!`Il existe des variantes de ce résultat si`=1ou`=1 (voir feuille d"exercices no 4) Application : théorème des gendarmes
Démonstration.
Soit" >0. Soientn1;n2tq
jyn`j< ";8nn1etjzn`j< ";8nn2 Soitn0:=maxfn1;n2g. Sinn0, alors
`" D"oùjxn`j< ",8nn0
On conclut grâce au principeC"
Principe du majorant
Exercice d"application
On a lim
n!11+2sinn2n =0Solution. On a1+2sinn2n
0=j1+2sinn2jn
31nOn applique le principe du majorant avecyn:=1n
et C=3Principe du plus grand desn0Principe du plus grand desn0Si la propriété (P1) est vraie pournn1, et si la propriété
(P2) est vraie pournn2, alors les propriétés (P1) et (P2) sont vraies (en même temps) pournn0, où n0:=maxfn1;n2g
Application : limite de la somme
Proposition
Hypothèses x
n!`2Retyn!L2RConclusion x
n+yn!`+LDémonstration.Soit" >0. Soientn1,n2tq
jxn`j< ";8nn1etjynLj< ";8nn2Soitn0:=maxfn1;n2g. Sinn0, alors
j(xn+yn)(`+L)j=j(xn`) + (ynL)j jxn`j+jynLj< "+"=2"On conclut grâce au principe 2"
Application : théorème des gendarmes
Théorème des gendarmes
Hypothèses
ynxnzn yn!`2R,zn!`(même`)Conclusion
x n!`Il existe des variantes de ce résultat si`=1ou`=1 (voir feuille d"exercices no 4)Application : théorème des gendarmes
Démonstration.
Soit" >0. Soientn1;n2tq
jyn`j< ";8nn1etjzn`j< ";8nn2Soitn0:=maxfn1;n2g. Sinn0, alors
`"Application : recollement
Formulation vague
Si une suite(xn)" se casse » en plusieurs sous-suites, toutes avec la même limite`, alorsxn!` L"hypothèse clé est que`ne dépend pas de la sous-suiteApplication : recollement
Voici une formulation rigoureuse d"un cas particulier de recollementPropositionHypothèses
(x'(n))et(x (n))sous-suites de(xn) Tout entiermest soit de la forme'(n), soit de la forme (n). Càd :8m2N;9n2Ntq soitm='(n);soitm= (n)
x'(n)!`etx (n)!`(même`)Conclusion
x n!`Application : recollement
Exemples
Six2n!`etx2n+1!`(même`), alorsxn!`
alorsxn!`Travail individuel : reprendre, dans le poly sur le sup, l"exercice sur la suite(zn)donnée par z n:=112 +13 14 +:::+ (1)n+11n ;8n1; et montrer que(zn)convergeApplication : recollement
Preuve si`2R.Soit" >0. Soientn1,n2tq
jx'(n)`j< ";8nn1etjx (n)`j< ";8nn2Soitn0:=maxf'(n1); (n2)g
Soitmn0. Soitntqm='(n)oum= (n)
Sim='(n), alorsnn1. De même : sim= (n),
alorsnn2 Dans les deux cas :jxm`j< ",8mn0Travail individuelExaminer les cas où`=1ou`=1
Etudier le cas de plusieurs sous-suites. Notes de cours,Poroposition 5.16, p. 40
Principe du"particulierPrincipe du"particulierUne propriété vraie pour tout"est vraie pour des valeurs
particulières de"Application : une suite convergente est
bornéePropositionUne suite convergente est bornée
Càd : sixn!`2R, alors9a;b2Rtqaxnb,8n
Application : une suite convergente est
bornéeDémonstration. On prend"=1 dans la définition de la convergence.Soitn0tqjxn`j<1,8nn0
On a donc`1 On obtientaxnb, avec
a:=minf`1;x0;:::;xn01g; b:=maxf`+1;x0;:::;xn01gTravail individuel : sixn!`2R, montrer qu"il existeMtq jxnj M,8n Application : limite d"un produit
Proposition
Hypothèses
x n!`2Retyn!L2R Conclusion
x nyn!`L Application : limite d"un produit
Démonstration.
SoitMtqjxnj M,8n
Soit" >0. Soientn1,n2tq
jxn`j< ";8nn1etjynLj< ";8nn2 Soitn0:=maxfn1;n2g. Sinn0, alors
jxnyn`Lj=jxnynxnL+xnL`Lj jxnynxnLj+jxnL`Lj =jxnjjynLj+jxn`jjLj M"+jLj"= (M+jLj)"
On conclut grâce au principeC"
Application : continuité avec"Rappel
Sif:A!Retx2A, alorsfest continue enxssi
[(xn)A;xn!x] =)f(xn)!f(x) Application : continuité avec"Proposition
Hypothèses
f:A!R x2A Conclusion
fcontinue enxssi8" >0;9 >0 tq [y2A;jyxj< ] =) jf(y)f(x)j< " Application : continuité avec"Démonstration de "=)».Par l"absurde :9" >0 tq8 >0,9y2Atqjyxj<
etjf(y)f(x)j " Prenons unparticulier ::=1n
. Soity=yncomme ci-dessus Alors (1)yn2A,jynxj<1n
, et (2)jf(yn)f(x)j ", 8n De (1) et du principe du majorant, nous avons (3)
y n!x Sinn0("), (2) et (3) contredisentf(yn)!f(x)?
Application : continuité avec"Travail individuel Preuve de "(=». Voir notes de cours, Proposition 4.9, pp. 31-32
Caractérisation de la limite limy!xf(y)avec". Notes de cours, Proposition 6.1, p. 43 Quelques suites importantes
Suite arithmétique
x02R,xn:=xn1+a,8n1, aveca2Rconstante Terme général :xn=x0+na,8n0
Limite :xn!8
:1;sia>0 1;sia<0
x 0;sia=0
Quelques suites importantes
Suite géométrique
x 02R,xn:=q xn1,8n1, avecq2Rconstante
Terme général :xn=x0qn,8n0
Limite six0=1 :xn!8
>>:0;si11;siq=1 1;siq>1
n"existe pas;siq 1 Quelques suites importantes
Calcul de lim
n!1xnPourq0, voir feuille 4 TD Si1Siq=1, alorsx2n!1 etx2n+1! 1. On conclut
grâce à l"absence de recollement On obtientaxnb, avec
a:=minf`1;x0;:::;xn01g; b:=maxf`+1;x0;:::;xn01gTravail individuel : sixn!`2R, montrer qu"il existeMtq jxnj M,8nApplication : limite d"un produit
Proposition
Hypothèses
x n!`2Retyn!L2RConclusion
x nyn!`LApplication : limite d"un produit
Démonstration.
SoitMtqjxnj M,8n
Soit" >0. Soientn1,n2tq
jxn`j< ";8nn1etjynLj< ";8nn2Soitn0:=maxfn1;n2g. Sinn0, alors
jxnyn`Lj=jxnynxnL+xnL`Lj jxnynxnLj+jxnL`Lj =jxnjjynLj+jxn`jjLjM"+jLj"= (M+jLj)"
On conclut grâce au principeC"
Application : continuité avec"Rappel
Sif:A!Retx2A, alorsfest continue enxssi
[(xn)A;xn!x] =)f(xn)!f(x)Application : continuité avec"Proposition
Hypothèses
f:A!R x2AConclusion
fcontinue enxssi8" >0;9 >0 tq [y2A;jyxj< ] =) jf(y)f(x)j< "Application : continuité avec"Démonstration de "=)».Par l"absurde :9" >0 tq8 >0,9y2Atqjyxj<
etjf(y)f(x)j "Prenons unparticulier ::=1n
. Soity=yncomme ci-dessusAlors (1)yn2A,jynxj<1n
, et (2)jf(yn)f(x)j ", 8nDe (1) et du principe du majorant, nous avons (3)
y n!xSinn0("), (2) et (3) contredisentf(yn)!f(x)?
Application : continuité avec"Travail individuel Preuve de "(=». Voir notes de cours, Proposition4.9, pp. 31-32
Caractérisation de la limite limy!xf(y)avec". Notes de cours, Proposition 6.1, p. 43Quelques suites importantes
Suite arithmétique
x02R,xn:=xn1+a,8n1, aveca2RconstanteTerme général :xn=x0+na,8n0
Limite :xn!8
:1;sia>01;sia<0
x0;sia=0
Quelques suites importantes
Suite géométrique
x02R,xn:=q xn1,8n1, avecq2Rconstante
Terme général :xn=x0qn,8n0
Limite six0=1 :xn!8
>>:0;si11;siq>1
n"existe pas;siq 1Quelques suites importantes
Calcul de lim
n!1xnPourq0, voir feuille 4 TD Si1Raisonnement analogue siq<1 : nous avons
x2n! 1etx2n+1! 1
Suites de Cauchy
Motivation : étudier la convergence d"une suite(xn)sans aucune information sur sa monotonieDéfinitionUne suite(xn)est de Cauchy ssi :8" >0,9n0tq
jxmxnj< ";8m;nn0Théorème (xn)converge ssi(xn)est une suite de CauchyTravail individuel : preuve de "=)». Notes de cours,Théorème 5.18, p. 41
Suites de Cauchy
Preuve de "(=».PosonsAn:=fxn;xn+1;:::g,yn:=infAnetzn:=supAnNous avonsynxnzn,8n
Soit" >0. Sinn0=n0("), alorsxn"est un
minorant deAnetxn+"est un majorant deAnD"oùznyn2",8nn0
Nous obtenonsznyn!0 (principe 2")
Le théorème des suites adjacentes donneyn!`2R etzn!`(même`)Le théorème des gendarmes impliquexn!`
Résultat admis
Proposition
Une suite(xn)est de Cauchy (donc converge) ssi9"ntq j xmxnj "n,8m>n "n!0Application : méthode de Picard
Définition
Soitf:R!R. Alorsfest contractante ssi :9k<1 tq
jf(x)f(y)j kjxyj,8x;y2RApplication : méthode de Picard
Exemple
f:R!R,f(x) =xsinx3 , est contractanteSolution.On af0(x) =1cosx3
, d"oùjf0(x)j 23Le TAF donnejf(x)f(y)j 23
jxyj,8x;y2RApplication : méthode de Picard
Proposition
Hypothèse
f:R!RcontractanteConclusions
Il existe un (seul et un seul)c2Rtqf(c) =c
Pour toutx02R, la suite de Picard, donnée par
x n:=f(xn1),8n1, converge verscTravail individuel : unicité dec. Voir feuille 5 de TDApplication : méthode de Picard
Démonstration de "xn!c».Par récurrence surn0, nous avons jxn+1xnj knjx1x0jSim>n, alors
jxmxnj=j(xmxm1) ++ (xn+1xn)j jxmxm1j++jxn+1xnj jx1x0j1kkn:="nNous avons"n!0 (car 0k<1)
Donc(xn)est une suite de Cauchy
Soitc:=limn!1xn
Alorsxn+1=f(xn) =)c=f(c)
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