[PDF] FONCTIONS DE CLASSE C1

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FONCTIONS DE CLASSE C1

La notion de classe

1

Cpour une fonction est

présente en analyse (étude de fonctions numériques à une variable réelle, intégrations par parties) et en probabilités (fonction de e variable aléatoire à densité). de plusieurs exercices, nous allons travailler cette notion.

Ces exercices nous permettront

(continuité, dérivabilité, limites, dérivées). Cours

1) Définition

Une fonction numériqueféfinie sur un intervalleIest dite de classe 1 Csi elle est dérivable sur cet intervalle et si sa dérivée'fest continue sur cet intervalle.

2) Propriétés

a) Si fetgsont deux fonctions de classe 1

Csur un intervalleIalors les

fonctions fgetfgsont de classe 1

CsurI͘

Si de plus

gI, alors f g est de classe 1

CsurI.

b) Si fest une fonction de classe 1

Csur un intervalleIet si gest une

fonction de classe 1

Csur un intervalleJfI ,alors

la fonction gffest de classe 1

CI͘

Remarque.

La fonction

fétant de classe 1

CI, elle est dérivable donc

continue sur cet intervalle.

FONCTIONS DE CLASSE

C 1 (théorème des valeurs intermédiaires), on peut donc affirmer que fIest un intervalle.

Exercice 1

On considère la fonction numériquefde la variable réellextelle que

0 si 0

sinon lnx fx x x 1) f.

2) La fonction

f est-elle dérivable en 0 ?

3) Justifier que la fonction

fest de classe 1

Csur 0,1.

4) Dresser le tableau des variations de la fonction

f. (On y fera apparaître les différentes limites et la valeur defe)

On considère la suite

vtelle que 0 3vet 1 ,ln n n n vnvv 1 ln n v, n 1n v, n

5) Montrer que

n nve , n ve, n v, n

6) Justifier que la suite

vconverge et déterminer sa limite.

Correction

1. lnx x existe si et seulement si 0xet ln 0x. lnx x existe si et seulement si 0xet 1x.

0fexiste donc la fonctionfest définie sur 0,1 1,1,

2. Pour

0

01ln0,1 , 00ln

x x fx f xxxxx puisque 0 limln x x

La fonction

fest donc dérivable en 0 et'0 0f

FONCTIONS DE CLASSE C110

3. La fonctionfest de classe

1

Csur0,1et sur1,comme quotient de

fonctions de classe 1

C0,1 et sur

1,.

Pour établir le caractère

1

Cde la fonctionfsur chaque

intervalle ouvert on utilise les théorèmes généraux rappelés en début de chapitre. 22 2

11lnln 1 1 10,1 1, , 'ln(ln )ln lnxx

xxxfxxxxx 0 limln x x donc 0

1lim 0ln

x x et 20

1lim 0ln

x x

Finalement

0 lim ' 0 ' 0 ' x fx f f continue en 0.

La fonction

fest de classe 1

Csur0,1.

4. 22

1ln 1ln 10,1 1, , 'ln lnxx

xxxfxxx est du signe de ln 1x : ln 1 0 ln 1xxxe ln 1 0 ln 1xxxe

La fonction

fest dérivable donc continue en 0 : 0 lim 0 0 x fx f 1 1 1 lim 1 limlim ln 0 x x x x fxx 1 1 1 lim 1 limlim ln 0 x x x x fxx

11FONCTIONS DE CLASSE C1

lnlim 0 x x x (Limite usuelle)lim x fx x 0 1 e 'fx - - 0 + fx 0 e

5. Montrons le résultat par récurrence. On note

n

Pn v e

Initialisation :

0

3ve , puisque 2.718e.

Hérédité : on suppose que pour un

0n, n ve et on veut montrer que 1n ve Si n ve, alors 1nn fv v fe e car la fonctionfest croissante sur ,e.

Conclusion :

n nve , n ve, n v, n 6. 1

1ln,ln ln

nn nn nn nn vvnvv vvvv nn1n1 v, n vv 1 nn1 1 0 ln 1 1 ln 00 ln 1 0 n nn nnn nn ve ve v v v v ve v

La suite

n vest décroissante et minorée par e : elle converge vers un réel Le. 1 ln n n n vvv . On passe à la limite quand ntend vers : lnLLL car la fonction lnest continue en Le.

On a donc

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