[PDF] Sujet du bac ES Mathématiques Obligatoire 2017 - Pondichéry

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Exercice 3

Corrigé

BACCALAUR

´EAT G´EN´ERAL

SESSION 2017MATH

´E

M ATIQUES- S ´erieE S

ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

Dur´ee de l"´epreuve : 3 heures Coefficient : 5MATH ´E

M ATIQUES- S ´erieL

ENSEIGNEMENT DE SP

´ECIALIT´E

Dur´ee de l"´epreuve : 3 heures Coefficient : 4Les calculatrices ´electroniques de poche sont autoris´ees,

conform´ement `a la r´eglementation en vigueur.Le sujet est compos´e de 4 exercices ind´ependants. Le candidat doit traiter tous les exercices.Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un r´esultatpr´ec´edemmentdonn´e dans le texte

pour aborder les questions suivantes.Le candidat est invit´e a faire ×gurer sur la copie toute tracede recherche, mˆeme incomplete ou

non fructueuse, qu?il aura d´evelopp´ee.Il est rappel´e que la qualit´e de la r´edaction, la clart´e etla pr´ecision des raisonnements seront

prises en compte dans l?appr´eciation des copies.Avant de composer, le candidat s"assurera que le sujet comporte bien 9 pages

num´erot´ees de 1/9 `a 9/9 .

17MAELIN1page 1/9Sujets Mathématiques Bac 2017

freemaths.fr freemaths.frfreemaths.fr

EXERCICE 3 (5 points)

S oit la suite (un)d´enie paru0=150 et pour tout entier natureln,un+1=0,8un+45.

1. Calculeru1etu2.

2. Voici deux propositions d'algorithmes :Variables :

Ne s tu ne ntiern aturelUe s tu nn ombrer ´eelInitialisation : Up r endl av aleur1 50Np r endl av aleur0 Traitement :

Tant queU?220Up

r endl av aleur0 ,8×U+45Np r endl av aleurN+1Fin Tant que

Sortie :

Affic h erNAlgorithme 1Variables : Ne s tu ne ntiern aturelUe s tu nn ombrer ´eelInitialisation : Up r endl av aleur1 50Np r endl av aleur0 Traitement :

Tant queU<220Up

r endl av aleur0 ,8×U+45Np r endl av aleurN+1Fin Tant que

Sortie :

Affic h erNAlgorithme 2 a )Un seul de ces algorithmes permet de calculer puis d'afficher le plus petit entier natureln tel queun?220. Pr´eciser lequel en justiant pourquoi l'autre algorithme ne le permet pas.

b)Quelle est la valeur num´erique affich´ee par l'algorithme choisi a la question pr´ec´edente?

3. On considere la suite(vn)d´enie pour tout entier naturelnpar :vn=un-225.

a)D´emontrer que(vn)est une suite g´eom´etrique et pr´eciser son premier terme et sa raison.

b)En d´eduire que pour tout entier natureln,un=225-75×0,8n.

17MAELIN1page 5/9

Inde, Pondichéry 201

7 - freemaths . fr

Bac - Maths - 201

7 - Série S

4. Une petite ville de province organise chaque ann´ee une course `a pied dans les rues de son

centre. En 2015, le nombre de participants `a cette course ´etait de 150. On fait l"hypoth`ese que d"une ann´ee sur l"autre : •20 % des participants ne reviennent pas l"ann´ee suivante; •45 nouveaux participants s"inscrivent `a la course. La petite taille des ruelles du centre historique de la villeoblige les organisateurs `a limiter le nombre de participants `a 250. Vont-ils devoir refuser des inscriptions dans les ann´ees `a venir? Justifier la r´eponse.

17MAELIN1page 6/9

1 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 201 7 1.

Calculons U

1 et U 2

Il s'agit de calculer U

1 U 1 = 0, 8 U 0 + 45 U 1 = 0, 8 x 150 + 45 => U 1 = 165.

Ainsi:

U 1 = 165.

Il s'agit de calculer U

2 U 2 = 0, 8 U 1 + 45 U 2 = 0, 8 x 165 + 45 => U 2 = 177.

Ainsi:

U 2 = 177. 2. a. Précisons lequel des deux algorithmes choisir en justifiant:

Le bon algorithme est le: n

o 2 .

En effet, en ce qui concerne le n

o

1, il y a deux lignes qui se contredisent:

U prend la valeur 150

la valeur de U est initialisée à 150 < 220 ) .

EXERCICE 3

[ Inde, Pondichéry 201 7 ] 2 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 201 7 2. b. Déterminons la valeur numérique affichée par l"algorithme:

A l'aide d'une calculatrice, on trouve:

U 13

220, 9.

Ainsi, la valeur numérique affichée par l'algorithme est: N = 1

3 car 220, 9 > 220.

3. a.

Montrons que (

V n ) est une suite géométrique et déterminons V 0 et q: V n = U n - 225 <=> V n 1 = U n 1 - 225 <=> V n 1 = ( 0, 8 U n + 45 ) - 225 (1 ) . Or: V 0 = U 0 - 225 => V 0 = - 75 et U n = V n + 225.

Ainsi:

(1 ) <=> V n 1 = ( 0, 8 [ V n + 225 ] + 45 ) - 225 => V n 1 = 0, 8 V n

Par conséquent, (

V n ) est bien une suite géométrique de raison q = 0, 8 et de premier terme V 0 75.
3. b. Déduisons-en que, pour tout entier naturel n, U n = 225 - 75 x 0, 8 n

Nous savons que:

V n = - 75 x ( 0, 8 ) n ( d'après le cours ) U n = V n + 225.

D'où:

U n = - 75 x 0, 8 n + 225 ou U n = 225 - 75 x 0, 8 n 4. Vont-ils devoir refuser des inscriptions dans les années à venir ? Notons que les 2 hypothèses reviennent à dire que nous sommes en présence de la suite ( U n 3 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 201 7

Il s'agit de déterminer " n " tel que:

U n < 250. U n < 250 <=> 225 - 75 x ( 0, 8 ) n < 250 <=> - 75 x ( 0, 8 ) n < 25 <=> ( 0, 8 ) n 1 3 <=> n ln ( 0, 8 ) > ln - 1 3 ( 2 ) .

L'inéquation (

2 ) est impossible car: -

1 3 < 0. Dans ce cas, nous pouvons affirmer qu'aucune inscription ne sera refu sée dans les années à venir.quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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