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150

FONCTIONS5

Fonctions

polynômes du second degré Connaissances du collège nécessaires à ce chapitre ?Développer une expression littérale ?Reconnaître un axe de symétrie ?Additionner des fractions ?Multiplier des fractions

Auto-évaluation

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le chapitre sur manuel.sesamath.net@

1Développer et réduire les expressions suivantes.

1)(x+1)25)5(x-1)(x-4)

2)(x-3)26)-2(x-4)(x+2)

3)(x-1,5)2-2,57)7(x+7)(x+3)

4) x-1 3? 2 -238)-12? x-14? x-25?

2Calculer les expressions suivantes.

1)2

3-733)-7

6--418

2)3

14+2214)12

48-58

3Calculer les expressions suivantes.

1)2

3×373)-51

6×1234

2)3 -14×-21-64)12

48×58

4Déterminer les axes de symétries des figures.

F1F2 F4 F3 151

Activités d'approche

ACTIVITÉ1Paraboliquement vôtre

On a représenté ci-dessus six fonctions trinômes au 2edegré définies surR.

Partie 1 : Associations

+1+0.5 0 C1 +1+0.5 0 C2+1 +10C3 +1 +10C4+1 +10C5+1 +10 C6

1)Associer chacunedesfonctionsdéfiniessurRpar lesformulesci-dessousàl"unedescourbes

représentatives ci-dessus.

•f(x) =3(x-3)(x-1)•n(x) =-12?

x+12? 2 +2

•g(x) =x2•p(x) =3x2-12x+9

•h(x) = (x+2)2+1•r(x) =-15x2-x-134

•k(x) =-12?

x-32?? x+52?•s(x) =3(x-2)2-3

•l(x) =-x2•t(x) =x2+4x+5

•m(x) =-15?

x+52? 2 -2•u(x) =-12x2-12x+158

2)Certaines de ces fonctions ont la même courbe représentative.

a)Regrouper dans un tableau les associations faites à la question1en les triant par courbe. b)Quel est le nombre maximum de fonctions associées à une courbe?

Partie 2 : Images et antécédents

En utilisant l"expression la plus adaptée parmi celles de laquestion2a, déterminer,

1)par les fonctionsf,g,h,k,letm:

a)les images de 0;b)les éventuels antécédents de 0.

2)par les fonctionsfpuisk:

a)l"image de 2;b)les éventuels antécédents de 1.

Vérifier les calculs par lecture graphique.

Partie 3 : Sens de variation et extremum

1)Établir les tableaux de variations des fonctions représentées par les courbesC3etC6.

2)Comparer ces tableaux et les formes des fonctions représentées.

3)Démontrer ces sens de variations.

152
Chapitre F5.Fonctions polynômes du second degré

Cours - Méthodes

1.Forme canonique

DÉFINITION :Fonction polynôme de degré 2

Soita,b,ctrois nombres réels aveca?=0.

On appellefonction polynôme de degré 2toute fonctionPdéfinie surRpouvant

être exprimée sous la forme :

P(x) =ax2+bx+c.

On parle aussi defonction trinôme.

PROPRIÉTÉ

SoitPune fonction polynôme du second degré exprimée sous la formeP(x) =ax2+bx+c. Il existe deux nombres réelsαetβpermettant d"écrirePsous le forme :

P(x) =a(x-α)2+β.

Cette forme s"appelleforme canonique.

PREUVEElle est disponible en complément sur le manuel numérique.

2.Étude d'une fonction trinôme

PROPRIÉTÉ :Sens de variations

Soita,α,βtrois nombres réels etfune fonction polynôme de degré 2 définie surRpar sa

forme canoniquef(x) =a(x-α)2+β. Le sens de variation d"une fonction dépend du signe dea. x f avec a>0 x f avec a<0-∞α+∞ PREUVELa preuve est disponible en complément sur le manuel numérique.

PROPRIÉTÉ :Extremum

Soita,α,βtrois nombres réels.

fune fonction polynôme de degré 2 définie surRpar sa forme canonique f(x) =a(x-α)2+β. SurR, la fonctionfadmetβcomme extremum. Il est atteint pourx=α.

C"est un maximum siαest négatif.

C"est un minimum siαest positif.

PREUVELes tableaux de variations établis précédemment prouvent la propriété. Chapitre F5.Fonctions polynômes du second degré153

Cours - Méthodes

PROPRIÉTÉ :Signes

Soita,α,βtrois nombres réels etfune fonction polynôme de degré 2 définie surRpar sa

forme canoniquef(x) =a(x-α)2+β. Le signe d"une fonction trinôme dépend du signe deaet du signe deβ. Sia<0 etβ?0, alors la fonction est toujours négative. Sia>0 etβ?0 alors la fonction est toujours positive.

Dans les autres cas,

la fonction change de signe sur l"intervalle]-∞;α[; la fonction change à nouveau de signe sur l"intervalle]α;+∞[. PREUVELes tableaux de variations établis précédemment prouvent la propriété. MÉTHODE 1Étudier une fonction trinôme du second degréEx.12p. 156 Exercice d'applicationOn considère la fonctionfdéfinie surRparf(x) =-2(x-0,25)2-8.

Déterminer :

1)son sens de variation;

2)son extremum;

3)le signe de la fonction.

CorrectionDans le cas de la fonctionf:

•α=0,25•β=-8•a=-2

1)aest négatif donc la fonctionfest croissante sur]-∞;0,25[et décroissante sinon.

2)Elle admet un maximum enx=α=0,25. Il vautf(0,25) =-8.

x f(x)-∞0,25+∞ -8-8

3)La fonctionfest négative surR.

3.Représentation graphique

DÉFINITION

La courbe représentative d"une fonction trinôme est uneparabole.

PROPRIÉTÉ

Soita,α,βtroisnombresréels etfune fonction trinôme définie surRpar sa forme canonique f(x) =a(x-α)2+β. La courbe représentative de cette fonction est une parabole qui admet un axe de symétrie : la droite d"équationx=α. PREUVELa preuve est disponible en complément sur le manuel numérique. 154
Chapitre F5.Fonctions polynômes du second degré

Cours - Méthodes

ExempleTracer les courbes représentatives des fonctions suivantes :

•f(x) =-0,5(x+2)2+3

•g(x) =2(x-3)2-2

Donner leurs sens de variations et leur éventuel extremum.

Correction

+1 +10 Cg Cf

La fonctionf:

•est croissante sur]-∞;-2[;

•est décroissante sur]-2;+∞[;

•elle admet un maximum en-2 qui vaut 3.

La fonctiong:

•est décroissante sur]-∞;3[;

•est croissante sur]3;+∞[;

•elle admet un minimum en 3 qui vaut-2.

MÉTHODE 2Identifier la forme d'une fonctionEx.25p. 157 Exercice d'applicationSoitf,g,htrois fonctions définies surRpar : •f(x) =2x2+4x-6•g(x) =2(x+1)2-8•h(x) =2(x-1)(x+3).

1)Montrer quef,g,hsont trois formes de la même fonction.

2)Répondre aux questions suivantes en utilisant la forme la plus adaptée.

a)Chercher les éventuels antécédents de 0 et de-6. b)Déterminer les coordonnées du sommet de la courbe représentative de cette fonction. c)Calculer les images de 0, de 1 et de-1.

Correction

1)On développegethpour prouver qu"elles sont égales àf.

g(x) =2(x+1)2-8=2x2+4x+2-8=2x2+4x-6 h(x) = (2x-2)(x+3) =2x2+6x-2x-6=2x2+4x-6. fest la formedéveloppée,gla formecanoniqueethla formefactoriséedu même trinôme.

2) a)Chercher les antécédents, c"est résoudre une équation.

•Pour l"antécédent de 0, la forme la plus adaptée est laforme factorisée. On résouth(x) =2(x-1)(x+3) =0. Les antécédents de 0 sont 1 et-3. •Pour l"antécédent de-6, la plus pertinente est laforme développée. On résoutf(x) =2x2+4x-6=-6. On obtient 2x2+4x=0. On factorise l"expression :x(2x+4) =0. Les antécédents de-6 sont 0 et-2. b)Pourchercher lescoordonnéesdu sommet d"uneparabole, laformecanoniqueest la plus pertinente. Ici, c"estgavecα=-1. Donc les coordonnées du sommet de la parabole sont(-1;-8). c)Calculer une image, c"est évaluer une expression. La forme la plus adaptée dépend dex.

•f(0) =-6, l"image de 0 est-6.

•h(1) =0, l"image de 1 est 0.

•g(-1) =-8, l"image de-1 est-8.

Chapitre F5.Fonctions polynômes du second degré155

S'entraîner

Activités mentales

1Que peut-on dire de

1)x2si 0

2)2x2six?-5?4)2x2-3 six<2?

2Que peut-on dire dexsi

1)x2?4?3)x2?-16?

2)x2?5?4)(x-1)2<0?

3Pour chacune des fonctions, déterminer en quelle

valeur elle admet un minimum ou un maximum.

1)-2x23)g(x) =-7(x+3)2-5

2)f(x) =2(x-1)2+24)h(x) =-?

x+14? 2 +2

4On donnef, une fonction trinôme définie surR

qui vérifief(6) =f(2) =3. Peut-on en déduire :

1)son tableau de variations?

2)la valeur de son extremum? Où est-il atteint?

5On considère la fonctionfdéfinie surRpar

f(x) =3(x+2)2-1. Félix affirme que, sans calculatrice, il peut prouver que f(3,2145)>f(2,987). Comment fait-il?

6On considère la fonctionfdéfinie surRpar

f(x) =-7(x-5)2+7. Sans calculatrice, classer dans l"ordre croissant :

1)•f(5,6)•f(6,2)•f(9,8)

2)•f(2,8)•f(4,9)•f(-1,2)

7On considère une fonctionfdéfinie surRpar

f(x) =-5(x+2)2-3.

1)Lydie affirme sans faire aucun calcul que

f(-3) =f(-1). Comment fait-elle?

2)Sans calcul, trouver une autre égalité avec deuxautres nombres.

8On considère la fonctionfdéfinie surRpar

f(x) =3(x+4)2-1.

1)Déterminer l"axe de symétrie de la représentationgraphique de cette fonction.

2)Quelles sont les coordonnées de son sommet?

9Même consigne qu"à l"exercice8avec la fonction

fdéfinie surRparf(x) =4(x-3)2+1.

10Quelles sont les variations de la fonctionfdéfinie

surRparf(x) =-3(x+1)2-2?

Différentes formes d'un trinôme

11Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des

fonctions trinômes?

1)f(x) = (3x-2) + (5x+4)

2)g(x) = (3x+1)(5x+4)

3)h(x) =7x2-8x+1

12MÉTHODE 1p. 154

On considère une fonctionfdéfinie surR

parf(x) =3(x-3)2+5.

1)Montrer quef(x) =3x2-18x+32.

2)Choisir la forme la plus adaptée pour calculerchaque image puis calculer.

a)f(3)b)f?⎷2?c)f(0)

13On considère une fonctionfdéfinie surR

parf(x) =-2x2-4x-5.

1)Montrer quef(x) =-2(x+1)2-3.

2)Calculer les images suivantes.

a)f(-1)b)f? -⎷3?c)f(0)

14On considère une fonctionfdéfinie surR

parf(x) = (3x-4)(1-x).

1)Développer et réduire l"expression de la fonctionf.

2)Choisir la forme la plus adaptée pour calculer lesimages suivantes puis calculer.

a)f(1)b)f?

34?c)f?

43?

15On considère une fonctionfdéfinie surR

parf(x) = (x+2)2-9

1)Donner la forme factorisée def(x).

2)Donner sa forme développée.

3)Quels sont les antécédents de 0 parf?

16On considère une fonctiongdéfinie surR

parg(x) = (x-1)2-4. Résoudreg(x) =0.

17On considère une fonctionhdéfinie surRpar

h(x) =2? x-5 2? 2 -12.

1)Développer et réduiref.

2)Montrer quef(x) =2(x-2)(x-3).

3)Choisir la forme la plus adaptée pour calculer lesimages suivantes.

a)f(2)b)f?

52?c)f(-1)

156
Chapitre F5.Fonctions polynômes du second degré

S'entraîner

18Pour chacune des fonctions ci-dessous, donner le

nom de la forme sous laquelle elle est écrite.

1)f(x) =5x2-7x+14)i(x) =3x2+2x+7

2)g(x) = (x-1)(3x-4)5)j(x) = (2x-8)(4-x)

3)h(x) =3(x-2)2+16)k(x) =-4(x+7)2-2

19Relier entre elles les expressions égales.

1)

Forme développéeForme canonique

-3x2-6x-5• •3(x-3)2+1

3x2-18x+28• •-2(x+4)2-1

-2x2-4x-2• •-3(x+1)2-2

4x2-8x+6• •-2(x-1)2-4

-2x2-16x-33• •-2(x+1)2 -2x2+4x-6• •4(x-1)2+2 2)

Forme développéeForme canonique

-3x2-6x-7• •3(x+4)2+5 -3x2+6x-1• •-3(x-1)2+2

3x2+24x+53• •-3(x+1)2-4

3x2-12x+15• •3(x+2)2-7

3x2-12x+5• •3(x-4)2+1

3x2-24x+1• •3(x-2)2+3

3)

Forme factoriséeForme canonique

3(x-1)(x+2)• •3?

x+32? 2 -34

3(x+2)(x-3)• •3?

x+52? 2 -34

3(x+1)(x+2)• •3?

x-12? 2 -754

3(x-1)(x-2)• •3?

x+12? 2 -274

3(x+3)(x+2)• •3?

x-32? 2 -34

20On considèrehla fonction définie surRpar

h(x) = (x-1)2-16. Exprimerhsous forme factorisée puis sous forme développée.

21On considère la fonctionfdéfinie surRpar

f(x) =4(x+2)2-25. Exprimerfsous forme facto- risée puis sous forme développée.

22On considèreg, la fonction définie surRpar

g(x) =x2-9. Exprimergsous forme factorisée.

Sens de variations et extremum

23On étudie le sens de variation sur]-∞;3]de la

fonctionfdéfinie parf(x) = (x-3)2-5. Recopier et compléter en justifiant chaque étape.

Soientaetbdeux réels tels quea a-3...b-3...0 (a-3)2...(b-3)2 (a-3)2-5...(b-3)2-5 f(a)...f(b)

Doncfest ...sur ...

24Pour chacune des fonctions ci-dessous, détermi-

ner pour quelle valeur dexelle admet un extremum.

1)f(x) =2(x-1)2+2

2)g(x) =-7(x+3)2-5

3)h(x) =-?

x+14? 2 -2

25MÉTHODE 2p. 155

Démontrer que la fonctiong, définie surRpar

g(x) =2(x+4)2-5 est croissante sur[-4;+∞[.

26Sur quel intervalle la fonctionh, définie surRpar

h(x) =-2(x-3)2+6 est-elle croissante?

27Démontrer que la fonctionm, définie surRpar

m(x) =3(x-4)2+2 est croissante sur[4;+∞[.

28Sur quel intervalle la fonctionp, définie surRpar

p(x) =-2(x+3)2-4 est-elle décroissante?

29On considère la fonctionf, définie surRpar

f(x) =4(x-7)2+1.

Quel est son sens de variation surI= [0;7]?

30On considère la fonctiong, définie surRpar

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