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´ECOLEJEUNESCHERCHEURS
ENALGORITHMIQUE
ETCALCULFORMEL
Grenoble29marsau2avril2004
Tabledesmatieres
Cours1
OptimisationCombinatoire
MarcDemange...........................3
Algorithmespourl'imagedesynthese
NathalieRevol.......................140
-Arithm´etiquedesordinateursArnaudTisserand......................182
-Arithm´etiqueexactePaulZimmerman......................234
SystemesHybrides
Expos´es269
i exp´erimentaleLarecherched'informationconceptuelle
Index279
iiAvant-Propos
mainesdel'algorithmiqueetducalculformel. deleurdiscipline. etinformatique: th´eoriedesGraphes. -Calculformeletapplications. -Codageetcryptographie. -Algorithmiquedutexteetdug´enome. hybrides. -Arithm´etiquedesordinateurs. -G´eom´etriealgorithmique. -Algorithmiquecombinatoire.Envoussouhaitantuneexcellentelecture,
Mars2004
Lecomit´ed'organisation
iiiComit´escientique
Jean-GuillaumeDumas,MCal'UJF,LMC
Jean-Guillaume.Dumas@imag.fr
DominiqueDuval,Professeural'UJF,LMC
Dominique.Duval@imag.fr
Christiane.Frougny@liafa.jussieu.fr
Jean-MichelMuller,DRCNRS,ENSLyon,LIP
Jean-Michel.Muller@ens-lyon.fr
NatachaPortier,MCal'ENSLyon,LIP
Natacha.Portier@ens-lyon.fr
Comit´ed'organisation
Jean-GuillaumeDumas,MCal'UJF,LMC
NatachaPortier,MCal'ENSLyon,LIP
Pageweb
EtienneFarcot,doctorantINPG,LMC
Gestionnanciere
CorinneKabsch,AILMC-CNRS
Afcheetski
Cl´ementPernet,doctorantUJF,LMC
Supportdecoursetexpos´es
AudeRondepierre,doctorantINPG,LMC
ivD´eroulementdel'´ecole
Coursetexpos´es:
chercheurs.MaisonJeanKuntzmann
110avenuedelaChimie
DomaineUniversitaire
SaintMartind'Heres-France
Repasdemidi
Bibliothèque
desSciences
Amphi WeilIEPE GETA
MJKUFR IMA
E NSI MAG IRMAVous etes ici^
Avenue de la bibliothèque
TRAM B
Rue de la Chimie
CICGTerminus du tram
Restaurant Diderot
Université Pierre Mendès France
Planningdelasemaine
Leplanningestlesuivant:
v viSoutiens
Universit´eJosephFourier,Grenoble
http://www.ujf-grenoble.fr/ http://www.imag.fr/CentreNationaldelaRechercheScientique
http://www.cnrs.fr/Algorithmique,LangageetProgrammation
http://www.liafa.jussieu.fr/%7Ealp/R´egionRhone-Alpes
http://www.cr-rhone-alpes.fr/ http://www.inria.fr/ viiAnn´eespr´ec´edentes
1996Nicehttp://www.essi.fr/ecole-AMI/
2002Lille,http://www.li.fr/ejc2002/
viiiConf´erences
sit´eJosephFourier,Grenoble)
LouisRoch,ENSIMAG,Grenoble)
CNRS,Grenoble)
Paris)
1 2OptimisationCombinatoire
Responsable:MarcDemange
Conf´erencier:MarcDemange
Sommaire
1Introduction5
2Voyageurdecommerce:unm´etierdifcile9
difciles124Approchedifcile:unproblemesauvage15
5 ?-MinTSP:approximationarapportconstant195.1Approcher
5.2ApprocherMinTSP
?????apartird'un2-couplageminimum....24 3 R´ef´erences46
4 voyageurdecommerceMarcDemange
ESSEC demange@essec.frResume
trouvefascinant.Avertissement
1Introduction
5 f1;:::;ngdetouteslessolutions qualite. fonctiondesproprietesd'approximation. brouillonalamain!1.1TSP:unehistoiredejalongue
ndesdonnees. 6 l'autre. dodecaedreregulier:leJeuicosien(source[37])
ch.10et[26],ch.1. a[26],ch.1eta[36].1.2TSP:sequencefascination
sommet. 71.3TSP:lafamille
seformuleainsi: (v1;v2;:::vn)etsavaleurestc(T)=Pn1 i=1c(vivi+1)+c(vnv1).Leproblemeconsiste alorsadetermineruntourdevaleurminimum. 8 bibliographiques.2Voyageurdecommerce:unmetierdicile
peutresoudreceprobleme.Ainsi,leparadigme hhpoetiquo-nafiidont(entreautres)laRe-2.1LaclasseNP-complet(NP-C):unbrefapercu
(reponseouiounon)comme (probleme) polynomialement unereductionpolynomiale/de touteinstanceI1estpositive.Lecaracterepolynomialdela
1tel quen1;c'estencesensque2
9 referernotammenta[18,31].2.2MinTSPetNP-C
leproblemeduCyclehamiltonien,noteHC. passantunefoisetuneseuleenchaquesommet.Theoreme2.1[18]
MinTSPdestNP-complet.
peut^etrerepresenteeentempspolynomial). 102.3NPO:problemesd'optimisationdeNP
testde 11 deproblemesdiciles obtention. objectifsetleursenjeux. 12 dicilesouentoutcasmalresolues. tionrealisablepourchaqueinstance. autresparametresdel'instance. l'algorithmepourleprobleme. 13 inversantlesensdel'optimisation. deminimisation:JDenitionI3.1Approximationstandard.
JDenitionI3.2Approximationdierentielle.
OnditqueAgarantitlerapportdierentielsi:
8I;(!(I)(I))=(!(I)(I))(I)
15,20,29,30]).
14 rapportconstantdierentde1: pourunproblemedeminimisation. p,onparledeschemacomplet.4Approchedicile:unproblemesauvage
Theoreme4.1
15 c(i;j)=1si(i;j)2E c(i;j)=nf(n)sinon del'instance. theoremeprecedentpermetd'etablirque: 16 max=wmin.UnPlus-Proche-Voisin
output:Cyclehamiltonien.Choisirunsommetinitialv;
Tantqu'ilrestedessommetsnonvisitesfaire
Analysedel'algorithmePlus-Proche-Voisin
sii=1.Leco^utdelasolutiongloutonneest=P n i=1c(i;i1).Consideronsalorsune c(s(j);s(j1))c(s(j);s(j)1).Onendeduit: 17Ennotanta
j=1aj=P n peutsupposerjJjn=2;onaalors: X j2J aj+jJjwmax(2)Parailleurs,d'apreslarelation(1)
nX j=1 c(s(j);s(j1))X j2J aj+jJjwmin(3)Parconsequent,commeP
et(3): w minn=2+jJjmax nwmin12+w max2wmin:
max=(2wmin)quivaut asymptotiquementw labornegarantiepartoutalgorithme. pourtouteinstance,lerapport(1")[1=2+w max=(2wmin)].3);j=1:::k2;(2k2;2k)gontpourvaleur1=w
minettouteslesautresar^etesontpour valeurM=w ([1=2+M=2]k1)=k(1")[1=2+w max=(2wmin)]pourk1=".Letheoremesuivantresumecetteanalyse:
Theoreme4.2
Plus-Proche-Voisingarantitlerapport1=2+w
max=(2wmin);l'analyseestasymptotiquement optimale. 185MinTSP:approximationarapportconstant
max=wmintellesEtantdonneeunecliqueK
graphepartielT=(V;E d'unarbredeG. 19 approchegarantissantlerapport2. ameliorerl'algorithmeinitial. 20CHRFD(AlgorithmedeChristofides)
output:Cyclehamiltonien. V0 fsommetsdedegreimpairdansTg;
Endeduireuncyclehamiltonien.
Analysedel'algorithmeCHTFD
valeurdececycle:~=c(T)+c(M)(4) c(T)(5)2c(M)(6)
=3=2(7) metriqueduvoyageurdecommerce: 21MinTSP.
Exemple:promenadeenFrance
Angers24650452154591295128778
Caen339353697292232183730
Calais112697593289519621
Lille685608222573522
Lyon634461770489
Nantes384115841
Paris349490
Rennes831
Strasbourg
Arbredevaleurminimum(valeur1905km)
2223
Cycleoptimal(valeur2578km)
5.2ApprocherMinTSP
1;2apartird'un2-couplageminimum.
MinTSP
ensembledecyclesM= assembleainsi indiquesurleschemaci-apres. 24Assembler-Cycles1,2
output:Cyclehamiltonien. 1;Pouri 2akfaire
Assembler(;i)
ouAssemblerestdenieparAssembler
input:Deuxcycles;0 output:Cycle.Effacerunear^etelapluslourdedeetde0;
Analysedel'algorithmeAssembler-Cycles12
utilisees.2-couplageM
Premierassemblage
25Secondassemblage
Dernierassemblage-Solution
ietantdetailleau contientaumoinsunear^etedevaleur2.Onnote1;:::;pl'etatdeapresp1assemblages
1;:::;p)Pp
i=1c(i)+p;de plussil'inegaliteestuneegalite,alors consideronsl'assemblageentre1;:::;petp+1.
Supposonsd'abordquec(
1;:::;p) i=1c(i)+p.Danscecas: c( 1;:::;p+1)c(1;:::;p)+c(p+1)+2<
p+1X i=1 c(i)+p+2 etdonc c( 1;:::;p+1)
p+1X i=1 c(i)+(p+1) 1;:::;p+1.
Simaintenant,c(
1;:::;p)=Pp
1;:::;p+1.
1;:::;k)=c(M)+n=3.Comme
26
1;2. Diculted'approximation
lemontreletheoreme4.1. d'approximation. 1;2(etdoncaussi
Lecaseuclidien`
27
lynomiale. hhscalingandroundingiide degeneralite. Phase(1)
lesquelles: (b)ladistanceentredeuxvillesestauplus64n +16. hhinstance approchee 88n
Lv2). (i)V0satisfaitlesconditions(a)et(b); solutiondevaleurL 8n(0=8+p2n)L8n(0=8+2n).
28
(V 0)88n L(V)+2n.
0;danscecas,pour
0(cas(ii))touslessommetsdeV
se garantirpourV Unschemad'approximationsurV
Phase(2)
PouruneinstanceV
coordonneespairesdansK.ParhypothesesurV 0,lesvillesavisitersontal'interieurdes
ville. isontdelongueur2 Ni. quatresegments,onplace2 Nip. V acetypedetours. 29
ab N2 niveau 1niveau 2niveau 3 Grilletranslateede(a;b)
enfaitlenoyaudelademonstration. salongueur. lignetraversee,asavoir2 soitdeniveauiest2 N2quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46
1;:::;p+1)c(1;:::;p)+c(p+1)+2<
p+1X i=1 c(i)+p+2 etdonc c(1;:::;p+1)
p+1X i=1 c(i)+(p+1)1;:::;p+1.
Simaintenant,c(
1;:::;p)=Pp
1;:::;p+1.
1;:::;k)=c(M)+n=3.Comme
261;2.
Diculted'approximation
lemontreletheoreme4.1. d'approximation.1;2(etdoncaussi
Lecaseuclidien`
27lynomiale. hhscalingandroundingiide degeneralite.
Phase(1)
lesquelles: (b)ladistanceentredeuxvillesestauplus64n +16. hhinstance approchee 88nLv2). (i)V0satisfaitlesconditions(a)et(b); solutiondevaleurL
8n(0=8+p2n)L8n(0=8+2n).
28(V 0)88n
L(V)+2n.
0;danscecas,pour
0(cas(ii))touslessommetsdeV
se garantirpourVUnschemad'approximationsurV
Phase(2)
PouruneinstanceV
coordonneespairesdansK.ParhypothesesurV0,lesvillesavisitersontal'interieurdes
ville. isontdelongueur2 Ni. quatresegments,onplace2 Nip. V acetypedetours. 29ab N2 niveau 1niveau 2niveau 3
Grilletranslateede(a;b)
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