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Mathématiques

Lycée

Ressources pour la classe

de seconde - Fonctions - Ce document peut être utilisé librement dans le cadre des enseignements et de la formation des enseignants.

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l'autorisation du directeur général de l'Enseignement scolaire.

Juillet 2009

Fonctions

Sommaire

1.Quelssont lesobjectifsà atteindre? ... ... ... ...... .....................................page2

2.Lanotion defonction: unenotion àtravaillerdans ladurée. ... ... ... .. ... ... ... ... ....page4

3.Uneincitation pédagogique.. .. ... ......................................................page5

4.Notationset raisonnementenanalyse ... ... .. ... .......................................page5

5.Placede l'algorithmiqueen analyse.. ... ... ... ..........................................page7

6.Quelquesprécisions surdespoints particuliersdu programme.. ... ... ... .. ... ........page10

Quelquesillustrations. .. ...............................page14

1.Unehistoire dediviseurs. .. ... ... .....................................................page14

2.Lequadrilatère tournant.. ... ... .......................................................page14

3.Patronsde récipients. ... ... ............................................................page16

4.Uneformule dephysiqueconcernant lapuissance électrique.. ... ... ... .. ... ..........page18

5.Mesurede l'épaisseurd'un cheveupardif fraction.. ... ... ... ..... .....................page18

Annexes.. ...............................................page20 Annexe1.Des exemplesde raisonnementàvaloriser ... ... ... ... .. ......................page20 Annexe2.Des exemplesà fairevivreen classe.. ... ... ... ... .. ...........................page22 Annexe3.Des activitésrapides ... ... ... .................................................page24 Annexe4.Des Pavésdans uncube. ... ... ... ... ..........................................page28 Directiongénéraledel'ense ignementscolaireFoncti ons1/28

1.Quelssont lesobjectifsà atteindre?

Commedanstoutes lesparties duprogramme, lesparagraphesqui précèdentlestableaux précisantles contenusetles

capacitésattendues,fixent defaçonnette lesobjectifsà atteindre etles déclinententermes denaturedesproblèmes que

lesélèvesdoivent savoirrésoudre,précisant égalementledegré d'autonomieattendu.

Cesobjectifssont ambitieux,ledegré d'autonomiequeles élèvesdoiventmontr erpouvant êtremaximal :autonomiedu

choixdela démarche,de lanatur edutraitementàapporter, delamodélisation àmettre enoeuvre.

Construirecheztout élèvecette autonomienécessiteune formationadaptéeincluant uneconfrontationfré-

quenteàdes problèmesposés sousuneforme ouverte. Leprogramme fixecommeobjectiflamaîtrisede deuxfamillesde problèmes:

•Premièrefamille:problèmesse ramenantàune équationdutype f(x)=kdanslecas oùlafonction estdonnéemais

aussidansle casoù touteautonomieest laisséepourassocier auproblème diversaspectsd'une fonction.

•Secondefamille: problèmes d'optimisationou dutype"f(x)>k».Dansun premiertemps unélève doitpouvoir

résoudreuntelproblème, defaçonexacte ouapprochée, àl'aided'ungraphiqueet defaçonexacte silesvariations

delafonction etlesantécédents deksontconnus.Dans unsecond tempscetteétude peutêtre faite,selonles cas,

enexploitantles potentialitésdelogiciels, graphiquementoualgébriquem ent,touteautonomie pouvantêtr elaissée

pourassocierau problèmeune fonction. Exemple:unemêmesituation pourdiverspr oblèmes LecarréABCDauncôté delongueur8 cm.Mestunpoint du segment[AB]Ondessinecomme ci-contredans lecarréABCD •uncarréde côté[AM] •untriangleisocèle debase [MB]etdontla hauteura même mesurequelecôté[AM]ducarré. Ons'intéresse auxairesducarré,du triangle,dumotif consti- tuéparle carréetle triangle.

Problèmedutype n

1:Onvoudraitque lemotifait uneaire égaleà lamoitiéde celledu carréABCD.Quellesdimensions

faut-ildonnerau motif?

Problèmedutype n

1:Est-ilpossibleque l'airedu trianglesoitégale àl'aireducarré?

Problèmedutype n

2:Est-ilpossiblede faireen sortequel'air edutrianglesoitlaplus grandep ossible?Si ouipréciser

dansquel(s)cas ?

Problèmedutype n

2:Est-ilpossiblede faire ensorteque l'airedutrianglesoit plusgrandeque l'airedu carré?Si oui

préciserdansquels casc'estpossible.

Problèmedutype n

2:Commentévoluel'air edumotif enfonctiondeAM?enfonction deMB?

Directiongénéraledel'ense ignementscolaireFoncti ons2/28

Unevariante

LecarréABCDauncôté delongueur8 cm.Mestunpoint du segment[AB].Ondessine commeci-contre danslecarré ABCD: •uncarréde côté[AM]; •untriangler ectangleisocèle debase[MB]. Ons'intéresse auxairesducarré, dutriangle, dumotifconsti- tuéparle carréet letriangle.

Problèmedutype n

1:Est-ilpossiblede faireen sortequel'air edutrianglesoitégaleà l'aire ducarré? Siouipréciser

dansquelscas c'estpossible.

Problèmedutype n

2:Est-ilpossiblede faireen sortequel'air edumotifsoitlaplus grandepossible ?laplus petite

possible?Siouidans quelscas?

Danscesdeux situationsl'élaborationd'une formulereste relativementaccessible etne devraitpasconstituer unobstacle

insurmontable.

Danslapremière situation:

•Lafaçondont l'airedu triangleévolueen fonctionparexempledeAMnesedonne pasapriori.Enconséquence l'aire

dumotifnon plus. •Écrirel'airedumotif souslaforme0,5 ? 2 +4?(siondésigne par?lalongueurAMexpriméeencm) peutpermettre à certainsélèvesde donnerlesens devariationde lafonctionsur l'intervalleutile.

•Unélèvepourrait semontr erétonnéde constaterquedans laclassecertainstrouventque l'airedu motifestune

fonctioncroissante (sil'onchoisitAMcommevariable),alors qued'autres obtiennentunefonction décroissante(ceux

quiontchoisi BMcommevariable).Cela pourraitêtre denature àfaire sentirl'importancedelavariable.

Danslaseconde situation:

•Lecontextepermet d'affirmerque l'airedu triangleestunefonctiondécr oissantedeAM:plusAMestgrand,plus la

baseeten conséquencelahauteur dutriangle sontpetites). •L'airedumotifadesvariations enfonctionde AMquichangenten lavaleur1, 6(8/ 5).

Onattendd'un élèvequ'ilpuisse :

•s'approprierleproblème enfaisantdes essaisdemanièreàcompr endreque, danscesdeux situationsplusieurs

quantitésvarient: lecôtédu petitcarré,la basedutriangle, lahauteur dutriangle,l'air edumotif. Pourcertains

élèvesunpr emierobstacle àsurmonterestd'identifierquele côtédupetit carréetla basedutriangle sontliés, (resp.

?et8-?).Quandils fontdesessais ilssontassez nombreuxà choisirAMetBMindépendamment. •identifierlavariable ?(longueurducôté ducarréou longueurducôté dutriangle)

•éventuellementprendr el'initiativederécolterdesdonnéesexpérimentalessoit encalculantnumériquementl'aire du

motifpourquelques valeursde?(àlamain ouavecun tableur),soiten utilisantunlogiciel degéométrie.

Directiongénéraledel'ense ignementscolaireFoncti ons3/28

Feuilledecalcul

•constaterqueces essaisne luipermettentpas derépondre defaçonexacte àlaquestion poséemaisqu'en revanche

ilspeuventpermettr ed'yrépondr edefaçonapprochéeà conditionqueles essaissoientaffinés.Ce faisantavoireu la

possibilitéd'identifierla nécessitédupassage aumodèlemathématique pourrépondr edefaçon exacteaupr oblème

posé(existencede solutionou pas?unicit éoupas ?valeurexacte dessolutions). caireducarréairedutriangleairedumotif

4,9424,40367,558231,9618

4,9524,50257,5487532,05125

•Associerdefaçon autonomeaupr oblèmeuneexpr ession,cellede l'aire dumotifenfonctionde?: 1 2 2 +4?ou 1 2 ?(8-?)+(8-?) 2 suivantlechoix faitpourla variable?. •Conduireunerésolutiongraphiqueou algébriqueet danscecadr e:

?associeràla formuleune courbetracéeà l'aidedela calculatriceoud'un logicieletfair eunelectur egraphique

?trouverdefaçonautonomela formedel'expr essionadaptéeau problèmeet, sibesoin est,(autrement ditsila

maîtrisetechniquedu calculalgébrique n'estpasencor esuffisante), l'obtenirenayant recoursau calculformel

?avoireuune occasionde comprendre (et/oudemontr erqu'ila compris)quelarésolutiondel'équationdonne

touteslessolutions ainsiqueleur valeurexactealors quelarésolution graphiquene donnequ'unevaleur appro-

chéedessolutions etune démonstrationestnécessair epourêtr esûrde lesavoirtoutes. Enannexe1 "desexemplesderaisonnementspossibles àvaloriser».

2.Lanotion defonction: unenotion àtravaillerdans ladurée

Lanotionde fonctionest, pourbeaucoupd'élèves deseconde,une notiondifficile àappréhender. Pourautantsa maîtrise

estnécessaire àtouteslespoursuitesd'études.

Letravailsur lesfonctions estamorcé aucollège.Un objectifessentielde cetravailconsiste àfaireémergerp rogr essive-

ment,etsur desexemplesconcr ets," unprocessus faisantcorrespondr eàunnombreun autrenombr e». Lesfonctions

linéairesetaffinessont vuesà présentcommedesexemplesparticuliersde telsprocessus, cequiouvr edavantagela

possibilitédesoulever quelquesquestions defondau sujetdela représentationgraphique.Parexemple sil'objectifest

dereprésenter graphiquementlafonctionquià toutnombre associelecarré decenombr eunequestion importanteet

porteusedesens est"peut-on ounonr elierdeuxpoints consécutifsd'unnuageparun segment?». Directiongénéraledel'ense ignementscolaireFoncti ons4/28

Lanotionde fonctionlinéaire estprésentéecomme offrantun modèlepourtouteslessituations quirelèvent delapr opor-

tionnalité.

Pourbeaucoupd'élèves, lanotion defonction nefaitpas encoresens endébutde seconde.Ilimportedoncqu'avanttoute

formalisationnouvelle,les élèvessoient dèsledébut del'annéeet leplussouvent possibleconfrontés àdessituations dans

lesquellesily aitbesoin,pour répondreà unequestionposée audépart, •d'identifierdeuxquantités quivarient toutenétant liées, •d'expliciterlelien entre cesdeuxquantités dediversesmanières:

?tableaudevaleurs obtenugrâce àdesmesur esouà l'utilisationd'unlogiciel (logicieldegéométrie outableur),

?nuagedepoints dessinéouobtenu expérimentalement, ?courbeliéeà lasituation posée, ?formuleexprimantl'une desquantités enfonctionde l'autre,

•d'identifierlesavantages etles inconvénientsdetel outelaspect d'unefonction- tableaudevaleurs, nuagede points,

courbe,formule- selonlaquestion initialementposée.

Lescontenusde cettepartie duprogramme ontdoncété volontairementr ecentréssurles incontournablesnécessairesà

toutepoursuited'étude etcelade manièreà dégagerdutemps pourque lesélèvespuissent résoudredesproblèmes.

Eneffet, outrelefaitde faireacquériràtoutélève lessavoirsutiles etuncertain degrédemaîtrise technique,cettepartie

duprogramme apourobjectifprioritaire depermettre auxélèvesde consoliderlescompétences fondamentalesrelatives

àlarésolution deproblème etdonc êtrecapable deréagirsainement,etsans indicationdemar cheàsuivre,devantun

problèmeetdeconduire desraisonnements(analyse duproblème, élaborationdestratégiesoudu traitementàapporter ,

miseenoeuvr edutraitement, contrôledelacohérence desrésultatsobtenus, exploitation)pourapporter uneréponse àla

questionposée.

3.Uneincitation pédagogique

Leprogramme encourageuneprogrammationmoins centréesurles notionselles-mêmeset davantagesurlanaturedes

problèmesquelesélèvesdoivent savoirrésoudr e.

Parexemple,au niveaudutravail àconduire surlesens devariationdes fonctions,l'objectif n'estpasde centrerun

apprentissagesurunemaîtrisedu "commentétudie-t-on engénéralle sens devariationd'une fonctiondéfiniepar une

expressionalgébrique?». Ils'agitdavantaged'obtenirque lesélèvesdonnent sensàce qu'estunefonction croissante(ou

décroissante)surun intervalleetsachent,quandle sensdevariation d'unefonctionestconnu,comment exploiterune

telleinformationpour répondreà unequestion.

L'attenduestaussiqu'ilssoient capables,pour résoudreun problème,de donnerdefaçon autonomelesens devariation

d'unefonctiontrinôme duseconddegré. Danslecadr ed'unedif férenciation pédagogique,onpeut s'autoriseràce que

quelquesélèvesdeviennent capablesd'aller au-delàetil estmêmesouhaitable delefair e.

4.Notationset raisonnementmathématiquesen analyse

a)Éclairerles différents sensdessymboles "=,<,>»enlien aveclesquantifications existen- tielleouuniverselle implicites

L'utilisationdecestrois symboles,avecleurs différents sens,intervientàtoutmoment danscettepartie duprogramme,

lessituationsconduisant parfoisà transformerdesexpr essionsalgébriques,parfois àrésoudre deséquationsou desin-

équations.Dansces contextes,lessymboles employésentre deuxexpressions peuventêtr elesmêmes alorsqueleur signi-

ficationetles problèmes sous-jacentssonttotalement différents.Parexemple" Vraiou Faux?» x 2 +2x-3=(x+1) 2 -4x 2 +2x-3?4(a+b) 2 =a 2 +b 2 x 2 =-2x+3x 2 +2x-3?0(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

Chacunedes" phrases» écritesci-dessusest, dupointde vuedela logique,une phraseouverte, c'est-à-dire qu'ellen'a

aucunevaleurde vérité.Il estdoncimpossible derépondre àlaquestion poséesansla préciseraupréalable. Toutes ces

ambiguïtéspeuventêtr epour lesélèvessourced'incompréhensionsbloquantes. Ilestdonc essentieldeles aideràdevenir

capables,defaçon autonome,delever lesimplicitesliés àcertainesécritur es. Directiongénéraledel'ense ignementscolaireFoncti ons5/28

Ainsi:

•"pourtout nombreréel x,x 2 +2x-3=(x+1) 2 -4»est uneproposition vraie;le démontrernécessite defaireun

calcul.Disposerd'une quantificationuniverselle estla" récompense»d'une démonstration.Ilest essentieldefair e

comprendreauxélèvesqueseulunraisonnement permetdegagner un"quel quesoit »,un" pourtout», un"pour

n'importequel». •"pourtoutnombre x,x 2 =-2x+3»estuneproposition fausse; pourledémontr erilsuffitdetr ouverunevaleurde xpourlaquelleil n'ya paségalité. •"ilexistedesvaleursdu nombre xpourlesquelleson ax 2 =-2x+3»estuneproposition vraie.Un exemplesuffit à leprouver .

Quandunélève écritx

2 =-2x+3,ilpeut vouloirdire qu'ilcher chetoutesLES valeursquel'onpeutdonner àxpour

quel'égalitésoit vraie.Il peutaussifair euneerr euretvouloir direimplicitement quel'égalitéx

2 =-2x+3esttoujours vraie,c'est-à-dire estvraiequellequesoitla valeurquel'on donneraà x.

L'undesobjectifsdece travailconsiste àdonnerà comprendre auxélèvesque seulunraisonnement permetdegagner

un"quel quesoit»,un"pour tout»,un "pourn'importequel» .

Untravailsur lesquantifications implicitesdecertaines formulationspeutaider l'élèveàclarifier desénoncéset doncà

progressersurlesstratégiesàadopterpour seprononcer surlavaleur devérité decesénoncés.

Desexemplesà fairevivr eenclasse sontdonnésenannexe2 . b)Conduireavec lesélèvesun travailsurla négation Cetravails'appuie surdesexemples afindedégager quelquesidéesfondamentales : •conduirelesélèvesàpr ouverqu'une propositionuniversellement quantifiéeestfausse ;

Exemples:

?prouverquedeuxexpressions nesont paségales,par exempleenlienavecuntravail surl'erreur . ?"ToutefonctioncroissantesurRestpositivesur R».VRAIou FAUX ? ?"Toutefonctionquin'estpascr oissantesurRestdécroissante surR».VRAIou FAUX ?

•leurfaire identifierlanon-linéaritédecertaines fonctionsenlien avecuntravail surl'erreur ,parexemple "le carré

d'unesommeest-il égalà lasommedes carrés?», "l'inverse d'unesommeest-il égalàla sommedesinverses ?»;

•lesconduire àprouverqu'unefonction n'estpascr oissantesurunintervalle.

Sipourun élèveladéfinition formellen'estpas encoreinstallée maisquele sensest construit,le raisonnement

peutêtre :"Jeprends deuxnombresrangéspar ordre croissantdans[-2;0]:-2et-1.Sila fonctioncarréétait

croissantesur[-2;0],alorsles carrésdeces deuxnombres seraientrangésaussi parordr ecr oissant.Onaurait

4<1.Orc'est faux».

Siladéfinition formelled'unefonction croissante surunintervalle estdisponible,un élèvepeutconduir elerai-

sonnementsuivant: "Direquelafonctioncarré estcroissante sur[-2;0]signifieque"quels quesoientles deux

nombresaetbquejep rendsdans l'intervalle[-2;0],chaquefois quej'ai a 2 +100x=0estvraie. Jepeuxen déduireque 0et
-1sontdes solutionsdel'équation x 3 +101x
2 +100x=0.
Sijenote Sl'ensembledessolutions decetteéquation jepeuxécrir eque{0,-1}?S. d)Familiariserles élèvesavecles notationspropresaux intervalles Iln'ya paslieude consacrerune ouplusieursséances àlanotion d'intervalle.

Aucollègeles élèvesont eul'occasionde représentersur ladroite numériquedesensembles denombres (pare xemple

touslesnombr essolutionsd'une inéquationdupremierdegréà uneinconnue).En secondeil s'agitprioritairement de

consolidercequi aété amorcéau collègeeten parallèledepr oposer,simplementquandlebesoin s'enfaitsentir ,et petità

petit,unefaçon denoter desensemblesque l'onsaitdéjà représenter. Directiongénéraledel'ense ignementscolaireFoncti ons6/28

5.Placede l'algorithmiqueenanalyse

serapoursuivietout aulong dulycée.L 'objectifdela secondeestde poserl'essentielà savoir,appr endreà:

•identifierlecalcul ouletraitement quiestà répéter; •automatiseruncalcul unnombre donnédefois ouunnombr edefoissoumisà untest. a)Automatiserle tracéprogressifde lacourbereprésentative d'unefonction

Lapremièr eapprochedel'algorithmiqueenanalysepeut êtrel'automatisationd'unereprésentation graphiqued'une

fonction.Biensûr ,les calculatricesgraphiquesetdenombreux logiciels(grapheurs,logiciels decalculnumérique, de

calculformel,logiciels degéométrie)donnent untracéde lacourber eprésentatived'une fonctiondéterminéepar une

formulealgébrique.Mais cestracéssont faitsdefaçon opaque.Ilest souventfr uctueuxdeconduir elesélèves àtracer

aussiunecourbe "à lamain» enpartantd'untableaudevaleurs pourobtenirun nuagedepoints),delesinciter àseposer

laquestionde lamanièr edejoindr elespoints dunuage.

Proposerensuiteauxélèvesd'augmenter parétapes lenombre despointsdu nuagepeutr enforcerleur compréhensionde

cequ'estla courbereprésentative d'unefonctionen lesai dantàmieuxdistinguerl'objet mathématiquedesdessins que

l'onpeuten faire. Exempled'algorithme(par dichotomie)écrit enlangagenatur el:

Données:

fonctionf, bornesaet b, nombred'itérationsdunuageN

Variables:

variableentière pourlaboucle:k, longueurdel'intervalle entre deuxpoints: L, abscissedupoint marqué: x

EntrerN

L←(b-a)

Pourkde 1àN

L←L/2

x←a

Tantquex?b

Marquerlepointdecoor données(x,f(x))

x←x+L attendre5secondes(ouun appuisurune touche) Fin b)Tracé d'unecourbedéfinieparmorceaux,par unprocessusitératif

Onpeut, dansunpremiertemps,envisager cestypesde tracésavecun tableur-grapheur,en employantlesfonctions

logiquesdutableur .

Exemple:

Onconsidère lafonctiondéfiniesur[0;10]qui

estaffine entredeuxnombresentiers consé- cutifsetqui vaut •0pourles entierspairs; •1pourles entiersimpairs, conformémentaugraphique ci-contre: 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

012345678910

Avecuntableur,si l'onréserve àlavariablelacolonneA etauximages lacolonneB, onpeutsaisir lapremièr evaleur de

lavariabledans lacelluleA2, etdansla celluleB2la formulesuivante : Ilner esteplusqu'à recopierverslebasla formulesaisieen B2. Directiongénéraledel'ense ignementscolaireFoncti ons7/28 c)Recherched'une valeurapprochéed'une solutiond'uneéquation pardichotomie 3 -x 2 +x+1surl'intervalle [-1;1].Untableau devaleurspeut êtreobtenu aveclelogiciel Scratch:

Lafonction" passede f(-1)=-2àf(1)=2».

Intuitivement,elleva doncs'annuler .Uner epré-

sentationgraphique,donnée ci-contre,permet deconjecturer qu'elleeststrictementcroissante, cequipeut êtreconfirmé parunlogiciel decal- culformel(voir ,sous lacourbe,lerésultatdonné parlelogiciel Xcas).

Parexemplesur lacalculatriceTI-nspir e,l'algo-

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