[PDF] Nombres complexes et géométrie

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Nombres complexes et geometrie

Le planPest muni d'un repere orthonorme direct (O;!u ;!v):

Un vrai triangle dans le planPest la donnee de trois points non alignesA;B;C:Un tel triangle est noteABC:

On se donne quatre pointsA;B;C;Ddu plan deux a deux distincts d'axes respectivesa;b;c;d:

Si!v1;!v2sont deux vecteurs non nuls, une mesure de l'angle oriente forme par ces vecteurs est notee (!v1;!v2):Une

telle mesure est uniquement determinee modulo 2:

On dispose de la relation de Chasles sur les mesures d'angles orientes : (!v1;!v2) + (!v2;!v3)(!v1;!v3) (2):

On rappelle qu'un argument d'un nombre complexeznon nul, note arg(z);est une mesure de l'angle!u ;!OM

ouMest le point d'axez:

Un pointM(x;y)2 Pd'axez=x+iysera noteM(z):

{ I { Generalites 1. On supp oseque ABCest un vrai triangle. En notant, apres avoir justie son existence, le point d'intersection des mediatrices de [BC] et [AC] du triangleABC;montrer que est aussi sur la mediatrice de [AB]:Les trois mediatrices du triangleABCsont donc concourantes au point :Montrer que le cercle de centre et de rayon R=

Aest circonscrit a ce triangle.

2.

Mon trerque si

est le cen tredu cercle circonscrit au triangle ABC;on a alors 2!AB;!AC B;! C (2) (gure 1).AB C ?Figure1 { Theoreme de l'angle inscrit 3.

Mon trerque si

!v1;!v2sont deux vecteurs non nuls d'axes respectivesz1;z2;une mesure de l'angle oriente forme par les vecteurs!v1et!v2est un argument dez2z 1: 4.

Soien t

!v1;!v2deux vecteurs non nuls d'axes respectivesz1;z2et= (!v1;!v2):Montrer que : cos() =jz1jjz2jRez2z 1 =Re(z

1z2)jz1jjz2j;sin() =jz1jjz2jImz2z

1 =Im(z

1z2)jz1jjz2j

5. Mon trerque assertions suiv antesson t equivalentes: (a) les p ointsA;B;Csont alignes; (b) cabaest reel. { II { Lignes de niveau de la fonctionf:z7!argazbz mod() On se donne deux pointsA6=Bdans le planPd'axes respectivesa;b;un reelet on s'interesse a l'ensemble E =n

M2 P n fA;Bg j!MA;!MB

mod()o 1

1.Dans le cas o uest congru a 0 modulo;montrer queEest la droite (AB) privee des pointsA; B:

Pour la suite de cette partie, on suppose que2]0;[: 2.

Etudier le cas ou=2

3.

Mon trerque :

E =M(z)2 P jz2Cn fa;bget arg(az)bz mod() 4.

Soit M(z)2 E:

(a)

En notan tc=a+b2

; d=ba2 ett=zc;montrer quet =2 fd;dget : (az)bz jtj2 jdj2 + 2iImdt i.

Mon trerque

jtj2 jdj22Im dt =cos()sin(): ii.

En notan t!=cicos()sin()d;montrer quejz!j2=1sin

2()jdj2:

iii.

Conclure.

5.

On note Cle cercle de centre

(!) et de rayonR: (a)

Mon trerque les p ointsAetBsont sur le cercleC:

(b)

Mon trerque !

A;! B

2mod(2):

(c)

En d eduireque Cn fA;Bgest contenu dansE:

En conclusion, on a montre que l'ensembleE=n

M2 P n fA;Bg j!MA;!MB

mod()o est : la droite ( AB) privee des pointsA; Bsiest congru a 0 modulo; le cercle de cen tre d'axe !=a+b2 i1tan()ba2 et de rayonR=1jsin()j ba2 prive des points

A; Bsin'est pas congru a 0 modulo:

{ III { Alignement et cocyclicite 1. Mon trerque assertions suiv antesson t equivalentes: (a) les p ointsA;B;C;Dsont alignes ou cocycliques; (b)!AB;!AC !DB;!DC mod(); (c) arg caba argcdbd mod(); (d) cababdcdest reel. 2.

D eduirede la question pr ecedenteune equationcomplexe du cercle circonscrit au triangle ABC:On precisera

l'axe du centre et le rayon du cercle. 2quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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