TD : Retour sur lintégration par changement de variable 1 Rappel PDF

Sur le changement de variables

je ferai voir que les changements de variable indépendante auxquels elles donnent naissance conduisent à des formules qu'on peut tirer directement des méthodes

TD : Retour sur lintégration par changement de variable 1 Rappel

Ce TD vise à revoir la technique du changement de variable pour le calcul des intégrales on l'applique en particulier à l'intégration des fractions

Changement de variables dans une intégrale multiple

Pour ce type d'exemple on a donc tout intérêt à introduire et utiliser les coordonnées polaires. Pour cela on devra faire un changement de variables. C'est l'

Calculs dintégrales

Calculer les primitives suivantes par changement de variable. 1. ? (cosx)1234 sinxdx dx (à l'aide d'un changement de variable simple).

Sur le changement de variables (suite)

La formule générale relative au changement de la variable indé- pendante s'est présentée comme application immédiate de la série de. Taylor.

Intégrales de fonctions de plusieurs variables

autre variable sans que cela ne change le résultat : Théoreme 8.3.4 (Théor`eme de changement de variable). Soit [a b] un intervalle de R

SUR LE CHANGEMENT DE VARIABLE DANS LES DÉRIVÉES D

SUR LE CHANGEMENT DE VARIABLE DANS. LES DÉRIVÉES D'ORDRE SUPÉRIEUR. Autor(en):. Cailler G. Objekttyp: Article. Zeitschrift: L'Enseignement Mathématique.

Exemples dintégration par changement de variable

www.deleze.name/marcel/sec2/cours/index.html. 3 Exemples. Exemple 3.1. ? x2. ?. 1 ? xdx. Effectuons le changement de variable x = 1 ? t dx = (?1) dt.

Théorème du changement de variable

V . Le changement de variable y nit alors la formule de changement de variable : ... formule du changement de variable pour les fonctions à valeurs.

Changement de Variables dans les Intégrales Multiples

8 nov. 2010 La premi`ere partie rappelle les notions de changement de variable dans le cas d'intégrales simples et ensuite nous verrons comment l'étendre au ...

TD : Retour sur l"intégration par changement de variable

Ce TD vise à revoir la technique du changement de variable pour le calcul des intégrales, on l"applique

en particulier à l"intégration des fractions rationnelles décomposées en éléments simples.

1 Rappel sur le calcul intégral

Soitfune fonction continue sur un intervalleI, soit(a;b)2I2. Puisquefest continue, l"intégraleZb a f(x)dxexiste (et on peut l"interpréter comme une surface algébrique si, et seulement si,ab).

Méthode

Pour calculer l"intégraleZ

b a f(x)dx: 1. si on d isposed"une primitiv eFdefalors le calcul de l"intégrale devient une soustrac- tion!Zb a f(x)dx= 2. Sinon, on p euten visagerune in tégrationpar parties en v oyantf(x)comme le produit u

0(x)v(x)et en utilisant la formule :

Z b a f(x)dx=Z b a u0(x)v(x)dx= 3. Sinon, on p eutessa yerun c hangementde v ariableen in troduisantune fonction 'de classeC1et bijective : Z b a f(x)dx=Z '1(b)

1(a)f('(t))'0(t)dt

Attention pour l"IPP et pour le changement de variable :on passe d"une intégrale qu"on

ne sait pas calculer à une intégrale qu"on espère pouvoir calculer, ça peut ne pas fonctionner!Remarque :on avait donné une formule légèrement différente (au niveau des bornes) dans le cours,

on l"a modifiée ici pour unifier les notations entre les différentes techniques d"intégration.

2 Le changement de variable en pratique et par l"exemple

Méthode

Pour calculer l"intégraleZ

b a f(x)dxavec un changement de variable : 1. soit on a une idée de fonction '(t)et on écritx='(t), soit il y a une partie def(x) qu"on veut prendre comme nouvelle variable, disonsbidule(x) =t()x=bidule1(t). 2.

On ca lcule'0(t) =dxdtce qui donnedx='0(t)dt.

3.f(x)dxdevient doncf('(t))'0(t)dt.

4. Concernan tles b ornes,si xvarie deaàbalorst='1(x)varie de'1(a)à'1(b).Exemples : a)

Calculons Z

0p1x2dx.

1 -On ne con naitpas de primitiv ede l"in tégrande,l"IPP ne sem blepas adaptée. p1x2se sim- plifierait si on avaitcosousinà la place dex, on va faire le changement de variablex= cost. On ap pliqueles étap esde la métho deprécéden te:

1.x= cost(soit'(t) = costdans la formule).

2. dxdt=sintet donc on remplaçera dxparsintdt. 3.

L"in tégrande

4. Concernan tl esb ornes,xvarie de0à1et donct=arccosxvarie de2

à0.

On a doncZ

0p1x2dx=Z

0 2 sintjsintjdt. Entre 2 et0,sint0donsjsintj= sint, etZ 0 2 sintjsintjdt=Z 0 2 sin2tdt=Z 2

0sin2tdt.

On linéarise l"intégrande :8t2R;sin2t=12

cos2t+12 et on a :Z 2

0sin2tdt=Z

2 0 12 cos2t+12 dt= 14 sin2t+t2 2 0=4

Finalement,

Z 1

0p1x2dx=4.

Calculons

Z 16 111 +
px dx.

On n econnait pas de primitiv ede l"in tégrande,l"IPP ne sem blepas adaptée. La difficulté rep ose

sur la présence depx, on va faire le changement de variablet=px. On ap pliqueles étap esde la métho deprécéden te:

1.t=px()x=t2(soit'(t) =t2dans la formule).

2. dxdt= 2tet donc on remplaçera dxpar2tdt. 3.

L"in tégrande

11 + px dxdevient donc11 +t2tdt. 4. Concernan tl esb ornes,xvarie de1à16donct=pxvarie de1à4.

On a donc :Z

16 111 +
px dx=Z 4

12t1 +tdt.

On ne connait pas de primitiv ede l"in tégrandemais il s"agit d"une fraction rati onnellequ"on peut décomposer en éléments simples puis intégrer :Z4

12t1 +tdt=Z

4 1

221 +tdt= [2t2lnj1 +tj]4

1= 6 + 2ln25

Finalement,Z

16 111 +
px dx= 6 + 2ln25.

Exercice

On veut calculerI=Z

2 1dxx p1 +x2. a) P ourquoiest-il raisonnable d"en visagerun c hangementde v ariable?Que p ourrait-on essayer comme nouvelle variable pour simplifier l"expression de l"intégrande? b) F airele c hangementde v ariableu=p1 +x2dansI, on obtient une nouvelle intégrale dont l"intégrande est une fraction rationnelle. c) Décomp oserla fraction rationnelle en élémen tssimples, en déduire que la v aleurexacte deIestlns( p51)(p2 + 1) p5 + 1)( p21).2

3 Intégration de fractions rationnelles

Si on a une fraction rationnelle dont le dénominateur est sous la forme d"un produit de polynômes

irréductibles, on sait " casser » cette fraction en une somme d"éléments simples.

Exercice

DécomposerX4+ 1X

2(X2+ 1)en élément simples.Les éléments simples sont de plusieurs formes :

(aX+b)navec;a;bdes réels (a6= 0) etnun entier naturel1; X+(aX2+bX+c)navec;;a;b;cdes réels (tels queb24ac <0) etnun entier naturel1.

Comment intégrer ces éléments simples?i.Le premier t yped"élémen tssimples est dit " de premièr eesp èce» ne p osepas de prob lèmecar

ii.

Le dernier t yped"élémen tssimples est dit " de seconde esp èce» et nécessit ede faire des c han-

gements de variables. On va se limiter à la présentation d"exemples pourn= 1(pourn >1, le principe est similaire mais il y a plusieurs cas possibles et Arctan n"est pas la seule fonction qui peut intervenir).

Exercice

Trouver une primitive dex7!x(x+1)3sur]1;+1[.Exercice

On veut une primitive de

13x2+2x+1.

a) Donner une primitiv eà l"aide d"une in tégrale. b) Ecrire 3X2+ 2X+ 1sous forme canonique, c"est-à-dire sous une forme(X+)2+ 2 avec(;; )2R3à détermier. c) Dans l"in tégraledonnée en a), faire les c hangementsde v ariablest=x+puist=u d) Reconnaître la primitiv ed"une fonction conn ueet conclure. e)

Vérifier le résultat obten u.Exercice

On veut une primitive de

x3x2+2x+1. a)

T rouverune astuce qui p ermetde ramener

x3x2+2x+1à la somme de deux fractions ra- tionnelles : une simple à intégrer, l"autre qui correspond à l"exercice précédent. b)

Conclure. On a illustré une méthode générale pour intégrer les éléments simples de première espèce :

Méthode

Pour intégrer un élément irréductible de la formex+ax

2+bx+c:

cas= 0: 1. on met le dénominateur s ousforme canonique ; 2. à l"aide de deux c hangementsd ev ariableson fait apparaître l"in tégrande

11+x2;

3. on utilise Arctan xqui est une primitive de11+x2. cas6= 0: 1.

On écrit

x+ax

2+bx+c=2a2ax+bax

2+bx+c+b2aax

2+bx+c

La première fraction est de la forme

u0u , elle s"intègre enlnjuj; la seconde fraction relève du cas précédent et fera intervenir Arctan.Exercice

Calculer une primitive dex4+ 1x

2(x2+ 1)surR+.4 Des exercices pour s"entrainer

En p osantu=1x

, calculerZ 2

1ln(1 +x)lnxx

2dx. 2.

Calculer

Z 1 0dxx

2+x+ 1.

3. À l"aide d"un c hangementde v ariable,déterminer une expression de la primitiv ede x7!sin(lnx) définie surR+et qui s"annule en1. 4.

Calculer

Z 1 0e

2x+exe

2x+ex+ 1dx.

Déterminer une pri mitivede x7!1x

4+1 6. Dans le cas de fonctions faisan tin tervenirdes fonctions trigonométriques, un c hangementde variable qui peut être payant estu= tanx2 (a)

Soit x2];[. Exprimercosxetsinxen fonction detanx2

(b)

Soit x2]2

;2 [. Exprimertanxen fonction detanx2 (c)

Calculer les in tégralessuiv antes:

Z 3

0dxcosx;Z

2 0sin

2xsinx+ cosxdx

4quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

[PDF] TD : Retour sur lintégration par changement de variable 1 Rappel

1 Rappel sur le calcul intégral

Méthode

Pour calculer l"intégraleZ

0(x)v(x)et en utilisant la formule :

1(a)f('(t))'0(t)dt

2 Le changement de variable en pratique et par l"exemple

Méthode

Pour calculer l"intégraleZ

On ca lcule'0(t) =dxdtce qui donnedx='0(t)dt.

3.f(x)dxdevient doncf('(t))'0(t)dt.

Calculons Z

0p1x2dx.

1.x= cost(soit'(t) = costdans la formule).

L"in tégrande

à0.

On a doncZ

0p1x2dx=Z

0sin2tdt.

On linéarise l"intégrande :8t2R;sin2t=12

0sin2tdt=Z

Finalement,

0p1x2dx=4.

Calculons

1.t=px()x=t2(soit'(t) =t2dans la formule).

L"in tégrande

On a donc :Z

12t1 +tdt.

12t1 +tdt=Z

221 +tdt= [2t2lnj1 +tj]4

1= 6 + 2ln25

Finalement,Z

Exercice

On veut calculerI=Z

3 Intégration de fractions rationnelles

Exercice

DécomposerX4+ 1X

2(X2+ 1)en élément simples.Les éléments simples sont de plusieurs formes :

Exercice

On veut une primitive de

13x2+2x+1.

Vérifier le résultat obten u.Exercice

On veut une primitive de

T rouverune astuce qui p ermetde ramener

Méthode

2+bx+c:

11+x2;

On écrit

2+bx+c=2a2ax+bax

2+bx+c+b2aax

2+bx+c

La première fraction est de la forme

Calculer une primitive dex4+ 1x

2(x2+ 1)surR+.4 Des exercices pour s"entrainer

En p osantu=1x

1ln(1 +x)lnxx

Calculer

2+x+ 1.

Calculer

2x+exe

2x+ex+ 1dx.

Déterminer une pri mitivede x7!1x

Soit x2];[. Exprimercosxetsinxen fonction detanx2

Soit x2]2

Calculer les in tégralessuiv antes:

0dxcosx;Z

2xsinx+ cosxdx