SUR LE CHANGEMENT DE VARIABLE DANS LES DÉRIVÉES D PDF

Sur le changement de variables

je ferai voir que les changements de variable indépendante auxquels elles donnent naissance conduisent à des formules qu'on peut tirer directement des méthodes

TD : Retour sur lintégration par changement de variable 1 Rappel

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Changement de variables dans une intégrale multiple

Pour ce type d'exemple on a donc tout intérêt à introduire et utiliser les coordonnées polaires. Pour cela on devra faire un changement de variables. C'est l'

Calculs dintégrales

Calculer les primitives suivantes par changement de variable. 1. ? (cosx)1234 sinxdx dx (à l'aide d'un changement de variable simple).

Sur le changement de variables (suite)

La formule générale relative au changement de la variable indé- pendante s'est présentée comme application immédiate de la série de. Taylor.

Intégrales de fonctions de plusieurs variables

autre variable sans que cela ne change le résultat : Théoreme 8.3.4 (Théor`eme de changement de variable). Soit [a b] un intervalle de R

SUR LE CHANGEMENT DE VARIABLE DANS LES DÉRIVÉES D

SUR LE CHANGEMENT DE VARIABLE DANS. LES DÉRIVÉES D'ORDRE SUPÉRIEUR. Autor(en):. Cailler G. Objekttyp: Article. Zeitschrift: L'Enseignement Mathématique.

Exemples dintégration par changement de variable

www.deleze.name/marcel/sec2/cours/index.html. 3 Exemples. Exemple 3.1. ? x2. ?. 1 ? xdx. Effectuons le changement de variable x = 1 ? t dx = (?1) dt.

Théorème du changement de variable

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Changement de Variables dans les Intégrales Multiples

8 nov. 2010 La premi`ere partie rappelle les notions de changement de variable dans le cas d'intégrales simples et ensuite nous verrons comment l'étendre au ...

SUR LE CHANGEMENT DE VARIABLE DANS

LES DÉRIVÉES D'ORDRE SUPÉRIEUR

Autor(en):

Cailler, G.

Objekttyp:

Article

Zeitschrift:

L'Enseignement Mathématique

Band (Jahr):

10 (1908)

Heft 1:

L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE

Persistenter Link:

https://doi.org/10.5169/seals-10967

PDF erstellt am:

23.10.2023

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144C.CAILLER

SURLECHANGEMENTDEVARIABLE

DANSLESDÉRIVÉESD'ORDRESUPÉRIEUR

contenuedanslaformule /f\m+\

F(y)=zF(y)y'{y)(-M(1)

parLECHANGEMENTDEVARIABLE145 quotient p^m.y - x

1°Exemple. - yétantliéeàxparlarelation

y - x^{y\ - a pourlavaleurparticulièrex0. t•i\y - at>•$ - (y - 4*'/-•aIci7"7"=rr,Fb')f"'(:>')[<£ - (.r - "ICIdxôj dmdni~1V(a)fn(a) - mF(")f' (")V(4» puis ßpx - i[F»C»+mF{a)f'"-\a)y(a) - mFli'""1{")(")j etenfin d'"-1 - F'; c*estlerésultatconnu.

2°Exemple.

l1y - - >x_y yx

146C.CAILLER

Onaimmédiatement

dxmxm+l off2G){m-!)•••('»- solutionsentièresetpositivesdel'équationp-f-ç - m-Le résultatdéfinitifseliraplutôt

£.F0=2I--1111»-

2>••"»-»):f'"G)•

3°Exemple.

_5_>.y"_r- 1 x

Onademême

y~~X - 1'X~Y - 1'r1 - *

é/,r

( - 1)2(-)(nr - Il(m - 2)(m - q)iy - 1)'"

1Flp'O - 1)"

(~ir,^(2)(».-1)(m-2,(m-

F""(-r)

4°Exemple.

y=zf/x,x y8fi_

1 - r?

r'- - xy+j/.r'

Ainsi,paruncalculdesplussimples,

d1'"F(|/7)_ l# - J"+1>(m - i°+2)(2m - p)F^d/O2( - i)"12(~ Po

123p(2(/T)2m--P+1'

etl'onauraitdemêmepourlecasy - \/ dmFlj/x) -F(y)Oa'r7V3 - r - avec1/x - a •»»»r^tr>+"r+

LECRANGEMENTDEVARIABLE147

5°Exemple. - Prenons{y) - ~égalauquotient

h%a^y%+bvy+c2.Danslefaisceau - xhxexistent,on

Péquation

g(x) - (hz - btxY - 4(a2 - a±x)(c2 - ctx)rr0 donnéesdirectementparl'équationH - hji7 - h2h\0; onsaitque\/g(xi)^et,deplus,y'(y) - Si/2/d hü - xhi - 0,onaévidemment z=zlh fift - a2 - atx y - f.ht Ainsi htx(ag - a±x)j - fj rjm\%m/*TTi^1iL_F(r\_

1ôFl.riHA,

7/?t''(a,-a1x)'n+(y - '

parsuite,sil'onposepourabrégerl-y.Il//, - 1on

Am - a1x)'"+1 - F -

+l)(wi - /?+2)...(2m - p)u - tfltr\*^vvwr) remarquable

ËL(m+1)+2)

dxmhT\ZgJx)('("» - ">*) OT+ - yte)2

Démonstration. - Venonsmaintenantàladémonstrationdelaformule(1);elles'obtientd'abordcomme,uneconsé-

148C.CAILLEH

élémentsducalculdiderenlie!.

eslafix),quandys'approchedex.Ona ypy - /' - <*(y - .*•)__ßt - aßà.r - a-)2y~f identitéquipeuts'écrireaussi r\p~")(.r - /•)yfo");*i),T\mJ \m - 1*./nfo'Ji\ - aVy'ßm-f(y - /') - Y?'1 - -f-bym

Xr^icyyYr^Udr^rmJ^

c\rVm

Sil'onfaitmaintenanty/,cequidonne

-7 - * - -j-®T"»a,rù.rVy lesecondtermedisparaîtetilvient

£(è+"4>r-riwn

puisqueFLECHANGEMENTDEVARIABLE149 dezéro,lesexpressions rapport(~~ Vs' \y[b) - y{a)J étantordonnésuivantlespuissancesdeb - a,commence parletermefini('\ y(ci). ramenéeàcelledeAm>0ouAm. fonctionf(x), jn-(m- dérivation,

A"lf=D"7»-|/»Dmf-\a)+

(*~"J)f*(a)Vm(a)- etilestclairque,ledéveloppementde(/(ô) - commençant parletermef's{b - a)4',onauraenparticulierX"lf=0

150C.CAILLER

OrenécrivantBmj0,ouBm,souslaforme

B,Wn\r\^]) - f[a)J

ha,2(f)APAq? - *mf'p+ci - m• fp) etsupprimantlestermesnulsparcequeqA0A,çyhPf (s+1)A,A>+A"A---+1fAs+1fI (s-f-1(s-f-2^2s-\-2s?Hq - A1AA'+1^4-A0AS'+2O>A"+2/' I trouver

A"lbbmV1

ii"C.(m-my'4.+.yum\b__a(5q_m)i résultatfacileàobtenirdirectement. laforme ona ^Fj)f - \Am+

1flm - p)

dxm/(r)~~^\p)p +1A"z+llim - ßm+1AWI+V=(mH"

ÖXP

LECHANGEMENTDEVARIABLE151

etpourtouteautrevaleurdew,Anf - 0;commeonad'autre partApa - lim^/-^ i - x)m+\letableau(3)devient

A"*+1a"'+1®[m+1)0'

[m+2)A+'V?+1y+Ajl,+lAwl+> - 0 (m+-o[m-f2)A"i+1A"t+1^[./^+3a;/i+iaW+2t+A^+V"+:V - q. loiderécurrence mt'K'p+1'"I - P - bAPJy1' ou,sil'onveut, mA'p+1 ('»-P-i /"a;+pAA"_, adeux /î(ri.Js)etx2/a(3dJa) donnantinversement ji^a)etj2çp3ir3) onauraparexemple "^î^a - -ri0J'iJaî

G.Cailler(Genève).

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