[PDF] Corrigé devoir Maison 5 Corrigé devoir Maison 5. Exercice

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Ann´ee 2006-20071`ereSSI1

Corrig´e devoir Maison 5

Exercice 1 :

Equation diff´erentielle

1) On sait que lorsqu"on d´erive une puissance dexon perd un degr´e, par exemple on a?x7??= 7x6,

donc puisque dans (S) on ap???(x) = 6 cela signifie que lorqu"on d´erive trois foispon obtient un

polynˆome de degr´e 0 ("x?→6" est un polynˆome de degr´e 0) doncp´etait de degr´e 3 au d´epart.

2) On ap(x) =ax3+bx2+cx+d.

a)On a alorsp?(x) = 3ax2+ 2bx+c,p??(x) = 6ax+ 2bpuisp???(x) = 6a donc pour quep???(x) = 6 il faut n´ecessairement quea= 1. b)D"apr`es les calculs pr´ec´edents on a : p(x)-x

3p?(x) +p??(x) =ax3+bx2+cx+d-x3(3ax2+ 2bx+c) + 6ax+ 2b=?

b-2 3b? x 2+? c-13c+ 6a? x+d+ 2b=b3x2+?2c3+ 6? x+d+ 2b. 3= 0 2c

3+ 6 = 0

d+ 2b= 0qu"on r´esout :???????b= 0 c=-6×32 d= 0???????b= 0 c=-9 d= 0.

On a ainsi la solution pour (S) :p(x) =x3-9x.

Exercice 2 :Signalement d"une fonction

Puisque le num´erateurg(x) defest un polynˆome on a forc´ement lim x→1+g(x) =g(1) et lim

x→-3-g(x) =g(-3) et notamment ce sont des nombres finis. Par cons´equent pour obtenir les deux der-

ni`eres limites de l"´enonc´e il faut que le d´enominateurh(x) soit tel que lim x→1+h(x) = 0 et lim x→-3-h(x) = 0. Or ces deux limites sonth(1) eth(-3) donc 1 et-3 sont des racines deh(et donc les racines deh carhest de degr´e 2) eth(x) =α(x-1)(x+ 3) o`uαest un nombre non nul `a pr´eciser. On noteg(x) =ax2+bx+co`ua,betcsont des nombres `a pr´eciser et ainsi on a : f(x) =ax2+bx+c

α(x-1)(x+ 3).

Puisque la courbe repr´esentantfest tangente `a l"axe des abscisses en l"origine on af(0) = 0 et f ?(0) = 0. Et ainsi 0 =0 +c

α×(-1)(3)=c-3αdoncc= 0.

On peut alors r´e´ecriref(x) =ax2+bx

α(x-1)(x+ 3)et on obtient la d´eriv´ee :

f ?(x) =(2ax+b)(α(x-1)(x+ 3))-(ax2+bx)α(2x+ 2) ?α(x-1)(x+ 3)?2. Ainsi 0 =f?(0) =b×(-3α)-0(-3α)2=b-3α puisb= 0 et doncf(x) =ax2

α(x-1)(x+ 3).

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On af(x) =ax2α(x-1)(x+ 3)=ax2α(x2+ 2x-3)=aα?

1 +2x2-3x2?

et limx→+∞? 1 +2 x2-3x2? = 1 par somme des limites; puis, par quotient et produit des limites, on obtient lim x→+∞a

1 +2x2-3x2?

=a αdonc pour v´erifier la premi`ere limite de l"´enonc´e il fautqueaα=-2 et ainsif(x) =-2x2 (x-1)(x+ 3). On a ainsi d´etermin´e l"expression compl`ete def.

Exercice 3 :Des octets

1) Pour chacun des 8 chiffres d"un octet il y a 2 possibilit´es par cons´equent pour un octet il y a

donc 2

8possibilit´es. On peut donc former 256 octets diff´erents.

2) Chacune des 256 possibilit´es est ´equiprobable puisquel"octet est pris au hasard. Il nous suffit

alors de d´ecompter les cas pour r´epondre aux questions quisuivent. a)Il n"y a qu"une seule possibilit´e pourAdoncP(A) =1 256;

b)Pour obtenir l"octet 01111111 il n"y a qu"une seule possibilit´e par cons´equent seule la place

du 0 dans l"octet compte, il y en a 8 possibles doncP(B) =8

256=132.

c)De mˆeme que pr´ec´edemment seules les places des deux 0 comptent : si le premier 0 est en

position 1 il reste 7 possibilit´es pour le deuxi`eme, si le premier est en position 2 il reste 6

possibilit´es pour le deuxi`eme (positions 3; 4; 5; 6; 7 et 8 car la position 1 est d´ej`a d´ecompt´ee

dans le cas du premier 0 en position 1). De mˆeme si le premier 0est en position 3 il reste

5 possibilit´es pour le deuxi`eme, si le premier est en position 4 il reste 4 possibilit´es pour

le second, si le premier est en position 5 il reste 3 possibilit´es pour le second, si le premier est en position 6 il reste 2 possibilit´es pour le second et enfin si le premier est en position

7 il reste 1 possibilit´e pour le second.

Au total on a donc 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 possibilit´es et doncP(C) =28

256=764.

d)On aD=A?B?Cet les trois ´ev´enements sont incompatibles donc

P(D) =P(A) +P(B) +P(C) =1 + 8 + 28

256=37256.

e)On peut r´e´ecrireE:??l"octet contient au plus deux 1??et on a autant de chance de tirer des 0 que des 1 doncP(E) =P(D) =37 256.

Exercice 4 :Etude de fonction

1)a)On aax+b+cx+d

x2+ 4=(ax+b)?x2+ 4?+cx+dx2+ 4=ax3+bx2+ 4ax+cx+ 4b+dx2+ 4et par identification des coefficients il faut que ?a= 1 b= 3

4a+c= 3

4b+d= 23. On r´esout ce syst`eme :

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?a= 1 b= 3

4 +c= 3

b= 3 c=-1 d= 11 et ainsif(x) =x+ 3 +-x+ 11 x2+ 4. b)On a-x+ 11 x2+ 4=x? -1 +11 x? x2?

1 +4x2?

=1 x×-1 +11 x

1 +4x2.Et par somme et quotient de limites on

obtient lim x→+∞-1 +11 x

1 +4x2=-1

1=-1. On a de mˆeme limx→-∞-1 +11

x

1 +4x2=-1. Par produit des

limites il suit que lim x→+∞1 x×-1 +11 x

1 +4x2= 0 et de mˆeme lim

x→-∞1 x×-1 +11 x

1 +4x2= 0.

On a lim

x→+∞(x+ 3) = +∞donc par somme des limites limx→+∞f(x) = +∞.

On a lim

x→-∞(x+ 3) =-∞donc par somme des limites limx→-∞f(x) =-∞. c)On a?f(x)-(x+ 3)?=-x+ 11 x2+ 4et on a vu pr´ec´edemment que limx→+∞-x+ 11x2+ 4= 0 donc lim x→+∞?f(x)-(x+ 3)?= 0 et la droite d"´equationy=x+ 3 est asymptote oblique `aCen Il est `a noter que cette droite est aussi asymptote oblique `aCen-∞, les calculs ´etant sensiblement identiques.

2)a)On af(x) =x+ 3 +-x+ 11x2+ 4doncf?(x) = 1 +(-1)?x2+ 4?-(-x+ 11)(2x)?x2+ 4?2=

?x2+ 4?2-x2-4 + 2x2-22x ?x2+ 4?2=x4+ 8x2+ 16-x2-4 + 2x2-22x?x2+ 4?2=x4+ 9x2-22x+ 12?x2+ 4?2. Par ailleurs on a (x-1)2(x2+2x+12) = (x2-2x+1)(x2+2x+12) =x4+9x2-22x+12 donc on a bienf?(x) =(x-1)2(x2+ 2x+ 12) ?x2+ 4?2. b)On cherche le signe def?. Il nous faut donc connaˆıtre le signe dex2+ 2x+ 12 : Δ = 4-4×12 =-44 doncx2+ 2x+ 12 est toujours du signe dex2c"est-`a-dire positif. Le signe def?est donc toujours positif et on peut dresser le tableau de variations def: x-∞1 +∞ f?(x)+0+ f(x)6 On peut remarquer que bien quef?(1) = 0,fn"a pas d"extremum en 1, la courbe y fait juste un??plat??.

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c)On traceC: 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4

123456-1-2-3-4-5-60-→i

-→j C

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