[PDF] Corrigé du CONTROLE 01 EXERCICE 1 Résoudre les équations

View - Download Corrigé du CONTROLE 01 EXERCICE 1 Résoudre les équations

Previous PDF

Next PDF

Lyc´ee Schuman PerretOctobre 2016

Corrig´e du CONTROLE 011`ereS

EXERCICE 1R´esoudre les ´equations suivantes. a)x

2-3x+ 2 = 0.???a= 1

b=-3 c= 2donc Δ = (-3)

2-4×1×2 = 9-8 = 1>0

doncx=-(-3)-⎷ 1

2×1=3-12= 1 oux=-(-3) +⎷

1

2×1=3 + 12= 2

b) 9x2= 6x-1.

On a donc : 9x2-6x+ 1 = 0

donc???a= 9 b=-6 c= 1donc Δ = (-6)

2-4×1×9 = 36-36 = 0 doncx=-(-6)2×9=6-18=-13

c) 1-9x2= 0. On peut appliquer la m´ethode classique mais on peut aussi ´ecrire (1-3x)(1 + 3x) = 0 donc 1-3x= 0 ou 1 + 3x= 0 doncx=1

3oux=-13

EXERCICE 2

1. a.Montrer que siAest un nombre positif alorsx2=Apeut s"´ecrire (x-⎷A)(x+⎷A) = 0

x2=Adonnex2-A= 0 puisx2-⎷A2= 0 puis (x-⎷A)(x+⎷A) = 0 b.R´esoudre alorsx2= 2 x2= 2 donne donc (x-⎷2)(x+⎷2) = 0 donc (x-⎷2) = 0 ou (x+⎷2) = 0 doncx=-⎷

2 oux=⎷2

2.On souhaite r´esoudre l"´equation (E) suivante :x2+ 3x-8 +3x+1x2= 0.

a.On poseX=x+1 x. Montrer queX

2=x2+ 2 +1x2

X2=? x+1x? 2 =x2+ 2×x×1x+? 1 x ?2=x2+ 2 +1x2 b.Montrer que l"´equation (E) peut alors s"´ecrire sous la forme :X2+ 3X-10 = 0

D"apr`es ce qui pr´ec`edex2+1x2=X2-2 etx+1

x=X

Or l"´equation (E) s"´ecrit :x

2+1x2-8 + 3×?

x+1x? = 0 doncX

2-2-8 + 3X= 0 c"est `a direX2+ 3X-10 = 0

c.R´esoudre cette nouvelle ´equation. Son discriminant est Δ = 9+40 = 49>0. Les solutions de l"´equations sontX1=-3-72=-5 etX

2=-3 + 72= 2

d.D´eterminer alors les valeurs dexsolutions de l"´equation (E) PuisqueX=-5, en revenant auxx, on a :x+1x=-5 donc, on multipliant parx, on a : x

2+ 1 =-5xdoncx2+ 5x+ 1 = 0 or Δ = 25-4 = 21 doncx=-5-⎷21

2oux=-5 +⎷

21
2

Et la conditionX= 2 devientx+1

x= 2 puisx, on a :x

2+ 1 = 2xdoncx2-2x+ 1 = 0

or Δ = 4-4 = 0 doncx=-(-2) 2= 1

Finalement les solutions sontS={-5-⎷

21

2;-5 +⎷

21

2; 1}??

St´ephane Le M´eteilPage 1 sur4

Lyc´ee Schuman PerretOctobre 2016

Corrig´e du CONTROLE 011`ereS

EXERCICE 3´Etablir le tableau de signe des fonctions suivantes. a)f(x) =x

2+x+ 1

Le discriminant Δ = 1-4 =-3<0. Le polynˆome ne s"annule pas.

Le coefficientadex

2est´egal `a 1 qui est positif donc le signe defest alors :x-∞+∞

signe def(x)+ b)f(x) =x2-2x+ 1 Le discriminant Δ = 4-4 = 0. Le polynˆome s"annule enx0=-(-2)2×1= 1

Le coefficientadex

2est´egal `a 1 qui est positif, le signe defest alors :x-∞1 +∞

signe def(x)+0 + c)f(x) =-4x2+ 7x+ 11 Le discriminant Δ = 72-4×(-4)×11 = 225>0. Le polynˆome s"annule enx1=-7-⎷225

2×(-4)=

11 4 etx2=-7 +⎷225

2×(-4)=-1. Le coefficientadex

2est ´egal `a -4. Il est n´egatif.

Le signe defest alors :

x-∞ -111

4+∞

signe def(x)-0 +0- EXERCICE 4R´esoudre les in´equations suivantes. a) 2x

2-3x+ 2>0

Le discriminant est Δ = 9-16 =-7<0 donc le trinˆome 2x2-3x+ 2 ne s"annule pas, il garde un signe constant.

Puisque son coefficient dex

2est ´egal `a 2, il est positif.

Le tableau de signe est alors le suivant :

x-∞+∞ signe def(x)+ Tous les r´eels sont alors solutions de l"in´equation propos´eeS=? b) 2x2+ 6x-4?3x+ 1

L"´equation peut s"´ecrire 2x2+ 3x-5?0

Le discriminant est Δ = 9+40 = 49, l"´equation 2x

2+3x-5 = 0 a pour solutions :x1=-3-74=

-5

2etx2=-3 + 74= 1

Le tableau de signe est alors

x-∞-5

21 +∞

signe def(x)+0-0 + On voulait 2x2+ 3x-5 positif ou nul, on lit alorsS=?-∞;-5 2 ??[1;+∞[

St´ephane Le M´eteilPage 2 sur4

Lyc´ee Schuman PerretOctobre 2016

Corrig´e du CONTROLE 011`ereS

EXERCICE 5D´eterminer les variations des fonctions suivantes. a)f(x) =-3x

2+ 24x-12

f(x) =-3(x2-8x+4) =-3(x2-2×4x+4) =-3(x2-2×x×4+42+4) =-3?(x-4)2+20? Le carr´e s"annule en 4 donc on utilise les intervalles ]- ∞;4[ et ]4;+∞[

Sur ]4;+∞[

Soient 4< a < b

on a : 0< a-4< b-4 donc (a-4)

2<(b-4)2car chez les positifs

la fonction carr´e est croissante donc (a-4)

2+ 20<(b-4)2+ 20

et enfin -3? (a-4)

2+ 20?

>-3? (b-4)2+ 20? doncf(a)> f(b) on a donc montr´e quefest strictement d´ecroissante sur ]4;+∞[

Sur ]- ∞;4[

Soienta < b <4

on a :a-4< b-4<0 donc (a-4)

2>(b-4)2car chez les n´egatifs la

fonction carr´e est d´ecroissante donc (a-4)

2+ 20>(b-4)2+ 20

et enfin-3? (a-4) 2+20? <-3? (b-4)2+ 20? doncf(a)< f(b) on a donc montr´e quefest strictement croissante sur ]- ∞;4[

Le tableau de variation defest alors le suivant :

x-∞4 +∞ f(x)???? max b)f(x) =x2+ 2x+ 1 f(x) =x2+ 2x+ 1 = (x+ 1)2 Le carr´e s"annule en -1 donc on utilise les intervalles ]- ∞;-1[ et ]-1;+∞[

Sur ]-1;+∞[

Soient-1< a < b

on a : 0< a+ 1< b+ 1 donc (a+1)

2<(b+1)2car chez les positifs

la fonction carr´e est croissante doncf(a)< f(b) on a donc montr´e quefest strictement d´ecroissante sur ]4;+∞[

Sur ]- ∞;-1[

Soienta < b <-1

on a :a+ 1< b+ 1<0 donc (a+ 1)

2>(b+ 1)2car chez les n´egatifs la

fonction carr´e est d´ecroissante doncf(a)> f(b) on a donc montr´e quefest strictement d´ecroissante sur ]-1;∞[

Le tableau de variation defest alors le suivant :

x-∞ -1 +∞ f(x)???? min EXERCICE 6R´esoudre l"´equation suivante :x4-5x2-36 = 0. On poseraX=x2. En posantX=x2, on a :X2=x4donc l"´equation devient :X2-5X-36 = 0

Son discriminant est Δ = (-5)

2-4×1×(-36) = 25 + 144 = 169

Puisque Δ>0, il y a deux solutions

X

1=-(-5)-⎷169

2×1=5-132=-4 etX2=-(-5) +⎷169

2×1=5 + 132= 9

Revenons enx,

X=-4 signifiex

2=-4 ce qui n"a pas de solution r´eelle

X= 9 signifiex

2= 9 doncx= 3 oux=-3

Finalement les solutions dex

4-5x2-36 = 0 sontS={-3;3}

St´ephane Le M´eteilPage 3 sur4

Lyc´ee Schuman PerretOctobre 2016

Corrig´e du CONTROLE 011`ereS

EXERCICE 7

Le drapeau du finlandais est un rectangle de 2 m 70 sur 1 m 20 repr´esentant une croix bleue sur fond

blanc comme repr´esent´e sur le dessin ci-dessous. Le chef du protocole vous pr´ecise que l"aire de la croix

doit correspondre exactement au tiers de l"aire totale du drapeau. x x a) D´eterminer la surface de la croix en fonction dex.

On peut consid´erer que la croix est compos´ee de deux bandesbleues superpos´ees auxquelles on

retirera une fois le carr´e de cˆot´ex Aire = bande 1 + bande2 - carr´e = 1,2×x+ 2,7×x-x×x= 3,9x-x 2 b) Montrer que le souhait du chef de protocole ´equivaut `a l"´egalit´e :x2-3,9x+ 1,08 = 0.

La surface totale est de 2,7×1,2 = 3,24 donc le tiers fait 1,08. On dispose donc de l"´egalit´e :

3,9x-x

2= 1,08

Ce qui peut s"´ecrire sous la formex

2-3,9x+ 1,08 = 0

c) D´eterminer alors la valeur dexpour que cette condition soit remplie. Le discriminant dex2-3,9x+ 1,08 est Δ = 10,89, il y a donc deux solutions `a l"´equation : x

2-3,9x+ 1,08 = 0

On obtientx= 0,3 oux= 3,6 MAISxne peut pas pas d´epasser 1,2mDONC seule la valeur x= 0,3 m convient

St´ephane Le M´eteilPage 4 sur4

quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

[PDF] Le drapeau français sous tous les projecteurs !

[PDF] Le drapeau Norvégien

[PDF] Le drapeau suédois

[PDF] le drapeau suédois est constitué d une croix jaune sur fond bleu

[PDF] le drapier

[PDF] Le droit ? l'information

[PDF] le droit ? l'éducation

[PDF] le droit ? l'éducation cycle 3

[PDF] le droit ? l'éducation en france

[PDF] le droit ? un environnement sain dissertation

[PDF] Le Droit Administratif dissertation

[PDF] le droit au respect de la vie privée dissertation

[PDF] le droit au respect et a la vie privée

[PDF] LE droit codifie les relations entre les hommes dans la société

[PDF] Le droit codifie les relations entre les hommes et la société