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Variables aléatoires.

Espérance mathématique.

La grande martingale (PASCAL).

Calcul élémentaire des probabilités

Myriam Maumy-Bertrand

1et Thomas Delzant11

IRMA, Université Louis Pasteur

Strasbourg, FranceLicence 1ère Année 16-02-2006 Myriam Maumy-Bertrand et Thomas DelzantCalcul élémentaire des probabilités

Variables aléatoires.

Espérance mathématique.

La grande martingale (PASCAL).Exemple 1. (Jeu d"argent)

Exemple 2.

Loi de probabilité.

Exemple 3. La roulette.

Sommaire

1Variables aléatoires.

2Espérance mathématique.

3La grande martingale (PASCAL).

Myriam Maumy-Bertrand et Thomas DelzantCalcul élémentaire des probabilités

Variables aléatoires.

Espérance mathématique.

La grande martingale (PASCAL).Exemple 1. (Jeu d"argent)

Exemple 2.

Loi de probabilité.

Exemple 3. La roulette.

Variables aléatoires.

Définition

On a un espace probabiliséΩ.

Une variable aléatoire c"est une fonction X: Ω→R.A chaque événement élémentaire deΩest associé un nombre,

par exemple le résultat d"une expérience. Myriam Maumy-Bertrand et Thomas DelzantCalcul élémentaire des probabilités

Variables aléatoires.

Espérance mathématique.

La grande martingale (PASCAL).Exemple 1. (Jeu d"argent)

Exemple 2.

Loi de probabilité.

Exemple 3. La roulette.

Exemple 1. (Jeu d"argent)

On veut savoir combien on gagne dans un jeu de pari.

On joue 2 fois à pile ou face.

Si on tombe sur pile, on gagne 1e, si on tombe sur face, on perd 1e.Réponse.

IciΩest constitué des 4 événements :

{PP,PF,FP,FF}.

On s"intéresse au gainXqui vaut donc :

X(PP) =2,X(PF) =X(FP) =0,X(FF) =-2.Myriam Maumy-Bertrand et Thomas DelzantCalcul élémentaire des probabilités

Variables aléatoires.

Espérance mathématique.

La grande martingale (PASCAL).Exemple 1. (Jeu d"argent)

Exemple 2.

Loi de probabilité.

Exemple 3. La roulette.

Exemple 2.

On veut étudier la taille, l"âge et la masse des français.

Ω ={les français}.

Xest la fonctionX(m) =tailledem(en cm).

Yest la fonctionY(m) =âge dem(en années).

Zest la fonctionZ(m) =masse dem(en g).

On peut aussi fabriquer des variables aléatoires compliquées commeT=X⎷Z

(Y-32). Et essayer d"étudierT.Myriam Maumy-Bertrand et Thomas DelzantCalcul élémentaire des probabilités

Variables aléatoires.

Espérance mathématique.

La grande martingale (PASCAL).Exemple 1. (Jeu d"argent)

Exemple 2.

Loi de probabilité.

Exemple 3. La roulette.

Remarque :

En fait, il est très fréquent que l"on ne sache pas très bien décrireΩ, mais que l"on connaisse bien certaines probabilités liées à des variables aléatoires.Exemple

On sait que 99%des français font moins que 187 cm. On écrit :P[X<187] =99%Myriam Maumy-Bertrand et Thomas DelzantCalcul élémentaire des probabilités

Variables aléatoires.

Espérance mathématique.

La grande martingale (PASCAL).Exemple 1. (Jeu d"argent)

Exemple 2.

Loi de probabilité.

Exemple 3. La roulette.

Une autre question

On peut aussi s"intéresser à la masse des français qui ont entre

24 et 47 ans et se demander quelle est la proportion de ceux

qui font plus de 86 kg.

Cela s"écrit :P[Z?86|24?X?47].Remarque

Ce qui est important, c"est moinsΩque les sous ensembles de

Ωdécrits parX.Exemple

SiXdésigne la masse en kg, alorsXprend les valeurs {5,6,...............,250}, chacune avec une certaine probabilité. Myriam Maumy-Bertrand et Thomas DelzantCalcul élémentaire des probabilités

Variables aléatoires.

Espérance mathématique.

La grande martingale (PASCAL).Exemple 1. (Jeu d"argent)

Exemple 2.

Loi de probabilité.

Exemple 3. La roulette.

Loi de probabilité.

Définition

Si on connait la formuleP[X=k]pour tous les nombres k, on dit que l"on connait la LOI de X.Il se trouve que l"on dispose d"un certain nombre de lois de probabilité qui permettent de décrire beaucoup de phénomènes et de les étudier. Myriam Maumy-Bertrand et Thomas DelzantCalcul élémentaire des probabilités

Variables aléatoires.

Espérance mathématique.

La grande martingale (PASCAL).Exemple 1. (Jeu d"argent)

Exemple 2.

Loi de probabilité.

Exemple 3. La roulette.

Exemple 3. La roulette.

On joue à la roulette en misant 1esur "rouge" ou "noir". Il y a 37 numéros, 18 rouges, 18 noirs et le 0 (qui est vert). Si on gagne, on ramène 2 fois la mise, c"est-à-dire 2e.

On peut former deux variables aléatoires :Xqui vaut 1 si on gagne et 0 si on perd.Yqui est le gain effectif :Y=2X-1.On a doncP[Y=1] =1837

,P[Y=-1] =1937 .Myriam Maumy-Bertrand et Thomas DelzantCalcul élémentaire des probabilités

Variables aléatoires.

Espérance mathématique.

La grande martingale (PASCAL).Retour sur l"exemple de la roulette.

Jouons aux courses.

Règles de calcul.

Sommaire

1Variables aléatoires.

2Espérance mathématique.

3La grande martingale (PASCAL).

Myriam Maumy-Bertrand et Thomas DelzantCalcul élémentaire des probabilités

Variables aléatoires.

Espérance mathématique.

La grande martingale (PASCAL).Retour sur l"exemple de la roulette.

Jouons aux courses.

Règles de calcul.

Espérance mathématique.

Définition

Si une variable aléatoire X prend les valeurs x

1,x2,....xn,

l"espérance mathématique est définie par :

E[X] =x1P[X=x1] +x2P[X=x2] +...+xnP[X=xn].Myriam Maumy-Bertrand et Thomas DelzantCalcul élémentaire des probabilités

Variables aléatoires.

Espérance mathématique.

La grande martingale (PASCAL).Retour sur l"exemple de la roulette.

Jouons aux courses.

Règles de calcul.

Retour sur l"exemple de la roulette.

Rappel des résultats précédents :

On a déterminé les probabilités suivantes :

P[Y=1] =1837

,P[Y=-1] =1937 .On peut maintenant se poser la question suivante : que vaut l"espérance deY?Réponse : L"espérance mathématique deYest donc :E[Y] =1×1837 -1×1937 =-137 .Myriam Maumy-Bertrand et Thomas DelzantCalcul élémentaire des probabilités

Variables aléatoires.

Espérance mathématique.

La grande martingale (PASCAL).Retour sur l"exemple de la roulette.

Jouons aux courses.

Règles de calcul.

Jouons aux courses.

Un joueur veut miser à une course de chevaux. Il hésite entre

deux chevaux.le chevalAest meilleur; il a1 chance sur 10de gagner.Le chevalBest moins bon; il a seulement1 chance sur

20de gagner.Mais plus de parieurs ont misé surAque surB:1 parieur sur 3a parié queAallait gagner : siAgagne,

alors on remporte donc3fois la mise.1 parieur sur 7a parié queBallait gagner : siBgagne,

alors on remporte donc7fois la mise.Myriam Maumy-Bertrand et Thomas DelzantCalcul élémentaire des probabilités

Variables aléatoires.

Espérance mathématique.

La grande martingale (PASCAL).Retour sur l"exemple de la roulette.

Jouons aux courses.

Règles de calcul.

Questions.

Sur quel cheval dois-je miser? Et pourquoi?

Myriam Maumy-Bertrand et Thomas DelzantCalcul élémentaire des probabilités

Variables aléatoires.

Espérance mathématique.

La grande martingale (PASCAL).Retour sur l"exemple de la roulette.

Jouons aux courses.

Règles de calcul.

Règles de calcul.

SiXetYsont des variables aléatoires etαun nombre, alors

on a les relations suivantes :E[X+Y] =E[X] +E[Y]E[αX] =αE[X]E[X-E[X]] =0.SiE[X] =0,alors on dit queXest centrée.Myriam Maumy-Bertrand et Thomas DelzantCalcul élémentaire des probabilités

Variables aléatoires.

Espérance mathématique.

La grande martingale (PASCAL).L"exemple du casino.

Temps d"attente du gain.

Jeu forcé.

Sommaire

1Variables aléatoires.

2Espérance mathématique.

3La grande martingale (PASCAL).

Myriam Maumy-Bertrand et Thomas DelzantCalcul élémentaire des probabilités

Variables aléatoires.

Espérance mathématique.

La grande martingale (PASCAL).L"exemple du casino.

Temps d"attente du gain.

Jeu forcé.

La grande martingale (PASCAL).

On veut gagner au casino.

On va jouer à la roulette, et pour fixer les idées, on va jouer soit "rouge" soit "noir" à chaque fois. Rappelons qu"alors :l"ongagneune fois sa mise avec la probabilité p=1837 ,l"onperdune fois sa mise avec la probabilité q=1-p=1937 .Myriam Maumy-Bertrand et Thomas DelzantCalcul élémentaire des probabilités

Variables aléatoires.

Espérance mathématique.

La grande martingale (PASCAL).L"exemple du casino.

Temps d"attente du gain.

Jeu forcé.

On fixeau départune stratégie, et comme toutes les stratégies, ons"interdit absolument d"en changerpendant le jeu.Première étape :

On fixe la somme qu"on veut gagner. Disonsm=10e.

On mise cette sommem.

Si ongagne, alors ons"arrête. Legain réelestm.Myriam Maumy-Bertrand et Thomas DelzantCalcul élémentaire des probabilités

Variables aléatoires.

Espérance mathématique.

La grande martingale (PASCAL).L"exemple du casino.

Temps d"attente du gain.

Jeu forcé.

Deuxième étape

Sinon, on mise 2m.

Si ongagne, alors ons"arrêtecar alors legain réelest

2m-m=m.Troisème étape

Sinon, on mise 4m.

Si ongagne, alors ons"arrêtecar alors notregain réelest

4m-2m-m=m.Myriam Maumy-Bertrand et Thomas DelzantCalcul élémentaire des probabilités

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Espérance mathématique.

La grande martingale (PASCAL).L"exemple du casino.

Temps d"attente du gain.

Jeu forcé.

Étapes suivantes

Et on continue ainsi :

Si on a perdukfois consécutives, alors on mise 2k+1mau k+1-ième coup, jusqu"à ce qu on gagne ou qu"on soit ruiné! Le gaingain réelsera alors, à l"étapek+1 : 2 km-2k-1m-...2m-m=2km-(2k-1)m=m.Supposons d"abord qu"on soitinfinimentriche.

Quelle est la probabilité de gagner?

Myriam Maumy-Bertrand et Thomas DelzantCalcul élémentaire des probabilités

Variables aléatoires.

Espérance mathématique.

La grande martingale (PASCAL).L"exemple du casino.

Temps d"attente du gain.

Jeu forcé.

Réponse.

P=1. Autrement dit grâce à cette stratégie, on gagne àTOUS LES COUPS.Myriam Maumy-Bertrand et Thomas DelzantCalcul élémentaire des probabilités

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Espérance mathématique.

La grande martingale (PASCAL).L"exemple du casino.

Temps d"attente du gain.

Jeu forcé.

Pour fixer les idées, on arrive avec une somme d"argent importante, disons 1300e. On souhaite gagner 10e. Combien de fois peut-on perdre au plus successivement?

Quelle est la probabilité de gagner?

Quelle est l"espérance mathématique du gain réalisé? Myriam Maumy-Bertrand et Thomas DelzantCalcul élémentaire des probabilités

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Espérance mathématique.

La grande martingale (PASCAL).L"exemple du casino.

Temps d"attente du gain.

Jeu forcé.

Temps d"attente du gain

Loi du temps d"attente du gain dans un jeu simple où à chaque

partie la probabilité :de gagner estp,de ne pas gagner 1-p=q.La loi deTest alors :P[T=k] =p(1-p)k-1.Espérance mathématique :

E[T] =∞?

k=1kq k-1p=1p .Myriam Maumy-Bertrand et Thomas DelzantCalcul élémentaire des probabilités

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La grande martingale (PASCAL).L"exemple du casino.

Temps d"attente du gain.

Jeu forcé.

Exemple.

La probabilité de gagner plus que 500000eau loto est de110 6. Combien de fois je dois escompter de jouer pour gagner?Réponse. 10

6fois. Si je joue deux fois par semaine, il me faut donc être

prêt à attendre 10 000 ans. Myriam Maumy-Bertrand et Thomas DelzantCalcul élémentaire des probabilités

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Espérance mathématique.

La grande martingale (PASCAL).L"exemple du casino.

Temps d"attente du gain.

Jeu forcé.

Jeu forcé.

Un homme doit de l"argent à la mafia. Disons 10000e. Il ne dispose que de 7500e. Par un heureux hasard (quel est ce hasard? Est-il mesurable?), il se trouve dans un casino, où il a le droit de jouer à la roulette. Si il ne rembourse pas rapidement, alors il lui arrivera de gros ennuis.

Quelle doit être sa stratégie?

Quelle est la probabilité pour qu"il s"en sorte? Myriam Maumy-Bertrand et Thomas DelzantCalcul élémentaire des probabilitésquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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