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TH`ESE

Pour l'obtention du Grade de

DOCTEUR DE L'´ECOLE NATIONALE SUP´ERIEURE DE

M´ECANIQUE ET D'A´EROTECHNIQUE

(Diplˆome National - Arrˆet´e du 25 mai 2016)

Ecole Doctorale :

Sciences et Ing´enierie en Mat´eriaux, M´ecanique,´Energ´etique et A´eronautique

Secteur de Recherche :

´Energ´etique, Thermique et Combustion

Pr´esent´ee par :

Yasser HUSSEIN

Analyse de champs de vitesse parFTLE`a partir de la m´ethode des moments : validation th´eorique et exp´erimentale

Directeur de th`ese :BA Malick

Co-encadrants de th`ese :THOMAS Lionel et PONS Fr´ed´eric

Soutenue le 04 novembre 2016

devant la Commission d'Examen JURY MORTAZAVI Iraj Professeur des Universit´es, CNAM, ParisRapporteur LUBIN Pierre Professeur des Universit´es, ENSCBP, Bordeaux Rapporteur HUBERSON Serge Professeur des Universit´es, Universit´e de Poitiers Examinateur BA Malick Professeur des Universit´es, ISAE-ENSMA, Poitiers Examinateur

Remerciements

Ce manuscrit conclut mon travail de doctorat r´ealis´e au sein du laboratoire Pprime, je tiens en ces quelques lignes `a exprimer ma reconnaissance envers tous ceux qui de pr`es ou de loin ont contribu´e `a la r´ealisation de ces travaux. J'exprime en premier lieu ma gratitude `a BA Malick, THOMAS Lionel et PONS Fr´ed´eric respectivement directeur et co-encadrants de th`ese, pour leur encadrement et leurs conseils. Merci Malick pour ton amiti´e, ta gentillesse et ta disponibilit´e. Merci Fr´ed´eric pour ta rigueur pendant la th`ese qui contribue toujours `a l'avancement des

travaux. Merci Lionel pour ton ind´efectible soutien, tes discussions, tes avis ´eclair´es et

tes id´ees novatrices. Je remercie LUBIN Pierre et MORTAZAVI Iraj d'avoir eu la gentillesse d'ˆetre rap- porteurs de cette th`ese. Je tiens `a remercier aussi HUBERSON Serge d'avoir accept´e de participer au jury de cette th`ese. Merci ´egalement Serge de m'avoir accueilli au laboratoire LEA en stage de Master 2 et permis de travailler sur ce sujet int´eressant et passionnant ainsi que pour vos conseils scientifiques et votre pr´esence pendant les moments di ciles. Je tiens `a remercier les membres du laboratoire de Math´ematique LMA `a Poitiers . Je remercie particuli`erement EMAMIRAD Hassan pour sa gentillesse pendant le Mas- ter 2. J'exprime ma gratitude `a BOUAZIZ Abderrazak, qui n'a jamais cess´e de me soutenir, m'encourager et de m'aider pendant la r´edaction de la th`ese. Mes remerciements vont aussi `a l'Universit´e de Damas en Syrie qui, malgr´e la situ- ation ´economique tr`es di!cile et les conditions catastrophiques que connaˆıt le pays, a financ´e mes ´etudes. J'adresse mes sinc`eres remerciements `a mes deux professeurs de l'universit´e de Damas : ALHUSSEINY Daid pour son soutien et son encouragement et ASSAF Mohm- mad pour son amiti´e. Evidemment, je remercie les th´esards, Rabah, Hicham, Adrien, Laurent, Riadh, Mustafa, Badreddine au LEA et Hamza, Selvan `a l'ENSMA pour la tr`es bonne am- biance qui y r`egne. Je remercie ´egalement Blandine pour m'avoir aider en fran¸cais pendant la r´edaction de la th`ese. Je tiens ´egalement `a remercier les informaticiens et les secr´etaires pour leur disponi- bilit´e et leur gentillesse qui nous a permis de travailler dans de bonnes conditions. J'adresse toute ma gratitude `a ma famille, `a mes parents, `a mes fr`eres et `a mes soeurs pour leurs pens´ees et leurs a ections qui me donnent la force de continuer mˆeme quand les di cult´es me semblent insurmontables. Enfin, aucun mot ne peut exprimer ma reconnaissance `a mon ´epouse, Dima, pour

sa pr´esence `a mes cˆot´es, pour les sacrifices qu'elle a faits, pour soutien de tous les jours

et pour les jolies souvenirs. Je la remercie pour nos enfants, Sham et Gha¨ıs, pour le bonheur qu'ils me procurent au fil des jours. Je vous aime!

R´esum´e

Avec le d´eveloppement de la technologie, les mesures des champs de vitesse in- stationnaire sont disponibles maintenant. Il s'en suit une augmentation de l'int´erˆet de l'analyse lagrangienne des donn´ees. Un outil central pour analyser les ´ecoulements est l'exposant de Lyapunov `a temps fini (FTLE). Il permet d'identifier les structures coh´erentes lagrangiennesLCSqui apparaissent comme des crˆetes du champ deFTLE. LesLCSsont des quasi barri`eres de transport et s´eparent le domaine fluide en r´egions aux propri´et´es dynamiques diff´erentes. Cependant, la m´ethodologie de calcul actuelle desFTLEexige l'´evaluation num´erique d'un grand nombre de trajectoires de partic- ules fluides sur un maillage cart´esien ou adaptatif qui est superpos´e aux champs de vitesses simul´ees ou mesur´ees. Dans ce travail de th`ese, nous proposons une nouvelle m´ethode de calcul du champ de l'exposant de Lyapunov `a temps finiFTLE.Pourcela,nousutilisonslam´ethode des moments d'ordre 2 qui permet d'´evaluer au cours du temps la dispersion des par- ticules distribu´ees uniform´ement dans un domaine circulaire ou elliptique. Nous ap- pelons ce nouveau champ scalaire, champ deM-FTLE. Nous validons cette approche, th´eoriquement en tout point du domaine fluide en comparantM-FTLEetFTLEet aussi en faisant la comparaison sur des exemples classiques (champ de vitesse lin´eaire, circulaire ou hyperbolique) et sur un exemple num´erique (champ de vitesse du double gyre). Cette m´ethode est alors appliqu´ee sur des donn´ees exp´erimentales du champ de vitesse du mascaret, obtenues au sein l'institut 'Pprime' par v´elocim´etrie par image de partic- ulesPIV. Mots-cl´es :FTLE,LCS,m´ethodedesmoments,structurecoh´erente,´ecoulementin- stationnaire, mascaret. i ii

Abstract

With the development of technology, instantaneous flow fields coming from experiments or numerical simulation are available now. It has been followed by a rise of interest for the Lagrangian analysis of such data. One central tool to analyze the flow fields is the Finite Time Lyapunov Exponent (FTLE). It allows to the identify of the Lagrangian Coherent Structures (LCS)whichappearasridgesintheFTLEfields. TheLCSare quasi transport bareers and separatte the fluid domain into regions which have different dynamic properties. However, the computation methodology currently used in order to obtain theFTLErequires numerical evalution of a large number of fluid particle trajectories on cartesian or adaptive meshes that are superimposed on the original data grid. In this thesis, we propose a new method for calculating the Finite Time Lyapunov ExponentFTLEfields. For this, we use the method of second-order moments which allows to evaluate over time the dispersion of particles uniformly distributed in a cir- cular or elliptical domain. We call this new scalar field, theM-FTLEfield. We validate this approach theoretically, at every point of the fluid domain by comparingFTLE andM-FTLEand also by the comparison of the classic examples (linear velocity field, circular and hyperbolic) and a numerical example (velocity field of double gyre). This method is then applied on experimental measurements of tidal bore velocity fields, obtained within the institute 'Pprime' by using a measurement technique called particle image velocimetry (PIV). bore. iii iv

Table des mati`eres

Table des figuresix

Liste des tableauxxvii

Introduction1

1

´ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE7

1.1 Introduction aux syst`emes dynamiques lin´eaires et non lin´eaires....7

1.1.1 Syst`emes di

ff´erentiels et flots (flux)................8

1.1.1.1 Th´eor`emes d'existence et d'unicit´e des solutions :...8

1.1.1.2 Le flot d'un syst`eme di

ff´erentiel :............8

1.1.1.3 Syst`emes dynamiques..................9

1.1.1.4 Orbites et ensembles invariants.............9

1.1.2 Lin´earisation des syst`emes stationnaires.............11

1.1.2.1 Syst`eme lin´eaire.....................11

1.1.2.2 Th´eor`eme de Hartman-Grobman :...........11

1.1.2.3 Vari´et´es invariantes....................12

1.1.2.4 Exemples :........................12

1.2 Notion de structure coh´erente.......................16

1.2.1 M´ethodes eul´erienne d'identification des structures coh´erentes .16

1.2.1.1 Une vorticit´e maximale.................17

1.2.1.2 Crit`ereQ.........................17

1.2.1.3 Crit`ereff

2 .........................18

1.2.1.4 Les crit`eres"

1 et" 2 ...................18

1.2.1.5 Crit`ereM

z ........................19

1.2.1.6 L'intensit´e de rotation..................19

1.2.2 M´ethodes lagrangienne d'identification des structures coh´erentes 22

1.2.2.1 Visualisation d'un champ de vitesse (LIC).......22

1.2.2.2 Champ d'Exposants de Lyapunov `a temps fini (FTLE)24

1.2.2.3 D´efinition du champ deFTLE.............25

1.2.2.4 Algorithme de calcul pour lesFTLEclassique :....27

1.2.2.5 Exposant de Lyapunov localis´e `a temps fini (L-FTLE):29

1.2.2.6 Exposant de Lyapunov `a taille finie (FSLE)......32

1.2.2.7 Exemple analytique :...................33

1.2.3 Le champ deFTLEcalcul´e `a partir de l'op´erateur de Perron-

1.2.3.1 Op´erateur de Perron-Frobenius :............35

v

TABLE DES MATI`ERES

FTLE`a p a r t i r d e l ' o p ´e r a t e u r d e P e r r o n -

Frobenius.........................36

1.2.3.3 M´ethode de calcul du champFTLE`a p a r t i r d e l ' o p ´e r a t e u r

de Perron-Frobenius...................36

1.2.4 Les structures coh´erentes lagrangiennes (

LCS)..........40

1.2.4.1 Courbure de crˆetes, d´eriv´ees secondes des crˆetes et Cal-

cul desLCS........................41

1.2.4.2 Les barri`eres de transport................44

2 Les m"ethodes num"eriques49

2.1 Int´egration num´erique des syst`emes dynamiques.............49

2.1.1 Principe g´en´eral des m´ethodes num´eriques............49

2.1.2 M´ethodes `a pas constant......................50

2.1.3 M´ethodes bas´ees sur la s´erie de Taylor..............50

2.1.3.1 M´ethode d'Euler.....................51

2.1.3.2 M´ethodes de Taylor d'ordre plus ´elev´e.........52

2.1.4 Runge-Kutta............................54

2.1.4.1 Runge-Kutta d'ordre 2..................54

2.1.4.2 Runge-Kutta d'ordre 4..................55

2.1.4.3 Conclusion........................55

2.2 Interpolation................................56

2.2.1 Principe g´en´eral...........................56

2.2.2 L'´el´ement fini sur des quadrangles.................57

2.3 Application.................................59

2.3.1 Cas des ´ecoulements stationnaires.................59

2.3.1.1 Calcul de la vitesse locale par interpolation `a partir du

champ vitesse mesur´e en 2D...............59

2.3.1.2 Calcul du gradient du champ vitesse mesur´e par inter-

polation en 2D......................61

2.3.1.3 Calcul la vitesse locale et leurs gradients par interpola-

tion du champ vitesse mesur´e en 3D..........62

3 Loi de transport dÕune densit"e de probabilit"e65

3.1 Grandeurs statistiques...........................65

3.1.1 Densit´e de probabilit´e associ´ee `a la distribution de traceur...65

3.1.2 Position moyenne..........................65

3.1.3 Matrice des moments d'ordre 2..................66

3.1.4 Caract´eristiques g´eom´etriques `a l'ordre 2.............66

3.1.4.1 Calcul des caract´eristiques de l'ellipse `a partir dePen

dimension 2 :.......................66

3.1.4.2 Exemple simple en 2D :.................71

3.1.5 Calcul des caract´eristiques de l'ellipso¨ıde `a partir dePen dimen-

sion 3................................73

3.2 Transport de la matrice des moments...................76

3.2.1 Hypoth`ese de faible dispersion...................76

3.2.2´Equation de transport du volume.................77

3.2.3´Equation de transport d'un point mat´eriel............77

3.2.4´Equation de transport de la position moyenne..........77

3.2.5´Equation de transport des moments d'ordre 2..........77

3.3 Exemples..................................78

vi

TABLE DES MATI`ERES

!usion.............................106

3.5.1´Equation de transport des moments d'ordre 2 d'une densit´e gaussi-

enne.................................106

3.5.2 Exemple : champ de vitesse lin´eaire................108

3.5.2.1´Evolution de la matrice des moments d'ordre 2....108

3.5.2.2 Caract´eristiques de l'ellipse...............110

3.5.3 Exemple : champ de vitesse hyperbolique.............114

3.5.3.1 La trajectoire.......................114

3.5.3.2´Evolution de la matrice des moments d'ordre 2....114

3.5.3.3 Caract´eristiques de l'ellipse...............115

3.6 Conclusion..................................118

4LeFTLE`a partir d'une m´ethode des momentsM-FTLE119

4.1 D´efinition desM-FTLE:..........................119

4.1.1 Exemple(1) : Calcul du champ deM-FTLEpour un champ de

vitesse lin´eaire en 2D........................122

4.1.2 Exemple(2) : Calcul du champ deM-FTLEpour un champ de

vitesse de Hill en 2D........................123

4.2 Validation de la m´ethode..........................126

4.2.1 Exemples(1) : La vitesse hyperbolique..............126

4.2.1.1 CalculM-FTLE.....................126

4.2.1.2 CalculFTLE.......................126

4.2.2 Exemples(2) : Champ de vitesse `a sym´etrie cylindrique.....128

4.2.2.1 Calcul desM-FTLE...................128

4.2.2.2 Calcul duFTLE.....................129

4.2.3 Exemples(3) :Le double-gyre instationnaire............131

4.2.3.1 Champ de vitesse stationnaire..............132

4.2.3.2 Champ de vitesse instationnaire.............139

4.3 Conclusion..................................143

vii

TABLE DES MATI`ERES

5 Application `a des donn´ees analytiques et exp´erimentales145

5.1 Soliton....................................145

5.1.1 Solution de Boussinesq (solution du 1

er ordre)..........146

5.1.2 Cas stationnaire...........................147

5.1.2.1 Choix des conditions initiales..............147

5.1.2.2 La trajectoire.......................147

5.1.2.3´Evolution de la matrice des moments d'ordre 2....150

5.1.2.4 Le champM-FTLE...................150

5.2 Mascaret...................................153

5.2.1 Montage exp´erimental.......................153

5.2.2 Les champs deM-FTLE......................155

5.2.2.1 Cas du nombre de FroudeFr=1.29..........156

5.2.2.2 Cas du nombre de FroudeFr=1.46..........169

5.3 Conclusion..................................181

6 Conclusion et perspectives183

Bibliographie185

viii

Table des figures

t 0 Tt 0 (x 0 ). On prendx 0 ety 0 deux particules adjacentes `a l'instant initialt 0 ,oncalculelestrajectoires de ces particules `a l'instantt 0 +T.Donclanormedeladistance#(t 0 +T) qui s´eparex 0 ety 0 `a l'instantt 0 +Ts'exprime sous l'´equation max !Φt 0 #(t 0

T)!=exp!|T|"

t 0 Tt 0 (x 0 )"!#(t 0 )!.....................2 crit`ereQen (b) dans un canal turbulent pleinement d´evelopp´e. La figure est tir´ee de Greenet al.[2007]........................3

3 Illustrant de la proc´edure pour le calcul deM-FTLE...........5

1.1 Des variet´es stableE

s et instableE u pour quelque syst`emes lin´eaires..14

1.2 Variet´es invariantes du syst`eme (1.6

), o`u la vari´et´e instableW u ={(x,y):y= x 2 }et la vari´et´e stableW s ={(x,y):x=0}...............15

1.3 Ligne de courant obtenue d'apr`es les ´equations 1.21pour!

r =0.3, cr ="1et! ci =20[88]...........................20

1.4 Champs non bruit´es; (a) Vorticit´e Instantan´ee, (b) champ de!

2 ,(c)

Champ de"

2 (seuillage `a 55 %) [87]....................21

1.5 Champs bruit´es; (a) Vorticit´e Instantan´ee, (b) champ de!

2 ,(c)Champ de" 2 (seuillage `a 55 %) [87].........................21

1.6 Visualisation d'un champ de vecteur 2D circulaire en utilisant l'algo-

rithmeLIC. Un bruit blanc (a), le champ de vitesse circulaire (b) et LICdu bruit blanc en fonction du champ vectoriel (c)..........23

1.7 Illustration du calcul num´erique de la trajectoire d'un point pour voir

#s i ......................................24

1.8 Processus de convolution pourLIC.Pourcalculerunpixeldelatexture

finale (c), on int`egre une trajectoire de part et d'autre du pixel (b) et on fait une moyenne pond´er´ee des intensit´es des pixels travers´es dans la texture d'entr´ee................................24

1.9 Illustration de l'algorithme de calcul du gradient de la d´eformation. Po-

sitions des quatre pointsx i,jΠ (t 0 ),x i+1,jΠ (t 0 ),x i+1,j+1Π (t 0 )et x i,j+1Π (t 0 `a l'instantet 0 et ces points transportent par un ´ecoulement aux i,jΠ (t 0 T),x i+1,jΠ (t 0 +T),x i+1,j+1Π (tquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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