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Résumé de cours : Arithmétique 1 Division dans N. 2 Congruence

3PGCDDEDEUXENTIERSNATURELS.

R esum edecours:

Arithm´etique

MPSI-Maths.

c http://www.chez.com/myismail

1DivisiondansN.

Denition.Soit(a;b)2N

2 ,onditqueadivisebsietseulementsi: 9k2N telqueb=ka

Divisioneuclidienne.8(a;b)2N

2

9(q;r)2N

2 telqueb=aq+ravec0r<1,qs'appelle bparaestnul.

2CongruencedansZ

Denition.Soit(a;b)2Z

2 etn2N ,onditqueaestcongruabmodulonsi dansZ,onecritalorsab[n].

Proprietes.

1)Soit(a;n)2ZN

,etrlerestedeladivisioneuclidiennede que8(a;n)2ZN lesseulscaspossiblessont:a0[n];a

1[n];:::;an1[n].

2)Soit(a;b;c)2Z

3 ;n2N telque(ab[n])et(bc[n])alors (ac[n])

3)Soit(a;b;c;d)2Z

4 ;n2N telque(ac[n])et(bd[n]) (a k c k [n]).

3PGCDdedeuxentiersnaturels.Denition.

2 deaetb.

ProprietecaracteristiqueduPGCD.(a;b)2N

2 etd2N alors: d=a^b()i)ddiviseaetb ii)Pourtoutautrediviseurcommund 0 deaetbona: d 0 divisedaussi

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myismail1@menara.ma

5NOMBRESPREMIERS.Proprietes.

8(a;b;c)2N

3 onalesproprietessuivantes

1)a^b=b^a;(a^b)^c=a^(b^c),

commutativiteetassociativiteduPGCD.

2)d=a^b=)9(u;v)2Z

2 telqueau+bv=d,lareciproqueest 3)

TheoremedeBezout.

a^b=1()9(u;v)2Z 2 telqueau+bv=1

4)ab^ac=a(b^c).

5)Siddiviseaetbona:a^b

d=a d^b d,enparticuliersid=a^b alors a d^b d=1ouquea=kd;b=k 0 daveck^k 0 =1. 6)

TheoremedeGauss

:adivisebceta^b=1=)adivisec.

7)a^b=a^c=1=)a^bc=1.

8)a^b()a

n ^b m =1.

4PPCMdedeuxentiersnaturels.Denition.

(a;b)2N 2 etm2N alors: d=m=a_b()i)mmultipleaetb ii)Pourtoutautremultiplecommunm 0 deaetbona:m 0 multipledemaussi

Propriete.

1)8(a;b;c)2N

3 ona:a_b=b_a;(a_b)_c=a_(b_c), commutativiteetassociativiteduPPCM.

2)8(a;b)2N

2 ona:(a^b)(a_b)=ab,enparticulier: a_b=ab()a^b=1

5Nombrespremiers.Denition.

seulsdiviseursdansN sont1etluim^eme,danslecascontraireil estditcomposee. forme: n=p 1 1 p 2 2 :::p r r ,avecp 1 ;p 2 ;:::;p r desnombrespremierset 1 2 r decompositionprimaireden.

Theoreme4.Sin=p

1 1 p 2 2 :::p r r ;m=p 1 1 p 2 2 :::p r r ,avecp 1 ;p 2 ;:::;p r des nombrespremierset 1 2 r desentiersnaturelseventuellement nuls,alors: n^m=p min( 1 1 1 p min( 2 2 2 :::p min( r r )r n_m=p max( 1 1 1 p max( 2 2 2 :::p max( r r )r

Leplusgrandnombrepremier

232582657

2

232582657

viainternet. Fin.

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