[PDF] Cours de mathématiques (MPSI)

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Cours de mathématiques (MPSI)

ArnaudGirand

12 juillet 2021

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Table des matières

Premier semestre 7

I Rappels et compléments d"analyse 9

1:Fonctions à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2:Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3:Logarithmes, exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4:Puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

II Logique 21

1:Propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2:Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3:Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4:Méthodes de démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

III Ensembles 31

1:C"est quoi? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2:Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

IV Entiers naturels, récurrence(s) 37

1:L"ensembleN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2:Récurrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3:Récurrences "alternatives" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

V Applications, relations 45

1:Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2:Relations d"ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3:Relations d"équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

VI Nombres réels 59

1:Le corpsRdes nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2:Bornes supérieure, inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3:Quelques résultats de topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4:Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

VII Trigonométrie(s) 71

1:Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2:Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

VIII Nombres complexes 83

1:Le corpsCdes nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2:Trigonométrie, le retour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3:Équations algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3

MPSI MarietteTABLE DES MATIÈRES4:Transformations du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

IX Suites numériques 103

1:Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

2:Limite d"une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3:Théorèmes d"existence de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4:Suites à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5:Zoologie des suites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6:Retour sur la topologie du corps des réels . . . . . . . . . . . . . . . . 119

X Groupes, anneaux et corps 121

0:Lois de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

1:Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

2:Anneaux, corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

XI Limites, continuité 133

1:Étude locale d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

2:Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

3:Brêve extension aux fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . 145

XII Dérivation 147

1:Notion de dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

2:Accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

3:Brêve extension aux fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . 164

XIII Entiers relatifs, arithmétique 165

1:Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

2:PGCD, algorithme d"Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

3:Entiers premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

4:Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5:Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

XIV Équations différentielles 183

1:Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

2:Équations différentielles linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . 188

3:Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants193

XV Polynômes 197

1:L"algèbreK[X]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

2:Arithmétique des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

3:Fonctions polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

4:Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

5:Irréductibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

6:Interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

XVI Analyse asymptotique 217

1:Comparaison des suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

2:Comparaison des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

3:Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

4:Développements asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231math.webgirand.eu4

MPSI MarietteTABLE DES MATIÈRESXVII Fractions rationnelles 233

1:Corps des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

2:Éléments simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

Addendum : calcul de primitives 241

Second Semestre 243

XVIII Dénombrement, combinatoire 245

1:Ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

2:Zoologie cardinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

3:Un peu de combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

XIX Espaces vectoriels 255

1:Structures linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

2:Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

3:Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

4:Sous-espaces supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

5:Familles remarquables de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

XX Dimension finie 279

1:Notion de dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

2:Sous-espaces et dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

3:Zoologie dimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

4:Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

5:Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

XXI Intégration 295

0:Continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

1:Intégrale des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

2:Intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

3:Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

4:Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

5:Brève extension aux fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . 316

XXII Matrices 317

1:Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

2:Retour sur l"algèbre linéaire "classique" . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

3:Produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

4:Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

5:Bases, trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

6:Rang d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

XXIII Groupe symétrique, déterminant 339

1:Permutations d"un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

2:Formes multilinéaires alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

3:Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

4:Calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351math.webgirand.eu5

MPSI MarietteTABLE DES MATIÈRESXXIV Systèmes linéaires 361

0:Sous-espaces affines d"unK-e.v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

1:Notion de système linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

2:Systèmes de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

3:Opérations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

4:Pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

XXV Séries numériques 373

1:Qu"est-ce? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

2:Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

3:Comparaison série-intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

4:Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

XXVI Espaces préhilbertiens réels 389

1:Produits scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

2:Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

3:Projecteurs orthogonaux, symétries orthogonales . . . . . . . . . . . . 400

4:Hyperplans affines d"un espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . 402

XXVII Automorphismes orthogonaux 405

1:Isométries vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

2:Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

3:Le groupe orthogonal du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411

XXVIIIProbabilités 415

1:Notions liminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

2:Espaces probabilisés finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

3:Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

XXIX Variables aléatoires 427

1:Notion de variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

2:Zoologie des lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

3:Couples de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430

4:Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

XXX Espérance 435

1:Mais qu"est-ce donc? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435

2:Propriétés de l"espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

3:Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

4:Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444math.webgirand.eu6

Première partie

Premier semestre

7

Chapitre I

Rappels et compléments d"analyse

1:Fonctions à valeurs réelles

a) C"est quoi? SoitXun ensemble (pour le moment, un intervalle ou une réunion d"intervalles style[0;1],[0;12[ouR). On appellefonctiondeXà valeurs dansRtout "méca- nisme"f:X!Raffectant à tout pointx2Xune valeur numériquef(x)2R. àExemple I.1.Vous en avez vu des centaines en terminale (j"espère) :x7!x2, sin,expet j"en passe ... Notation.Nous utiliserons la convention suivante pour définir une fonction : f:X!R x7!f(x) ou, lorsqueXest clair,f:x7!f(x). Dans tous les cas, nous n"écrironsPAS d"horreurs du style "la fonctionf(x) =:::" J"aime à croire que nous sommes des gens civilisés. Définition I.1.L"ensembleXmaximal des valeurs dexpour lesquelles l"expression

f(x)a un sens est appeléensemble de définitionde la fonctionf.àExemple I.2.L"ensemble de définition dex7!px1est[1;+1[.

Définition I.2.Étant donné deux fonctionsf;g:X7!Rnous pouvons définir : leur sommef+g:x7!f(x) +g(x)surX; leur produitfg:x7!f(x)g(x)surX; leur quotientfg :x7!f(x)g(x)sur l"ensemble desx2Xtels queg(x)6= 0. De plus, si les valeurs d"une fonctiongsont comprises dans l"ensemble de définition d"une fonctionf, on peut définir lacomposéedefpargvia : fg:x7!f(g(x)): Nous aurons l"occasion de revenir en détails sur cette notion ultérieurement.9

MPSI MarietteCHAPITRE I. RAPPELS ET COMPLÉMENTS D"ANALYSEàExemple I.3.La fonction composée def:x7!pxetg:x7!x2est

fg:x7!px

2=jxj, définie surR(pourquoi?).

Définition I.3.Soientf;gdeux fonctions définies sur un ensembleX. On dira que festinférieure ou égaleàgsi, pourtoutx2X,f(x)g(x).Notation.fg ,Remarque I.1. On définit de la même façon les relations ;<;>et=sur les fonctions. -Attention : il s"agit d"ordres partiels.Comparer par exemplex7!xet x7! x. Graphiquemen t,fgsi la courbe représentative defesttoujoursau dessus de celle deg. b) Fonctions bornées Définition I.4.Soitf:X!Rune fonction. On dit quefest : -majoréesi il existe un réelMtel que pour toutx2X;f(x)M; -minoréesi il existe un réelmtel que pour toutx2X;f(x)m;

-bornéesi elle est majoréeetminorée.,Remarque I.2.Une fonctionfest bornée si et seulement si la fonctionjfj:x7! jf(x)j

est majorée. àExemple I.4.La fonctionx7!x2est bornée sur[0;1]mais pas surR. La fonctionx7!1x est bornée sur[1;1[. c) Monotonie Définition I.5.Soitf:X!Rune fonction. On dit quefest : -croissante(resp. strictement croissante) si pour tousx;y2Xtels quexy alorsf(x)f(y)(resp.f(x)< f(y)); -décroissante(resp. strictement décroissante) si pour tousx;y2Xtels que xyalorsf(x)f(y)(resp.f(x)> f(y));

-monotonesi elle est croissanteoudécroissante.àExemple I.5.La fonctionx7!x317est croissante surR. Elle y est donc

monotone. ,Remarque I.3. La s ommede deu xfonctions cro issantesest croissan te.P arcon tre,on ne peut rien dire de la différence d"une fonction croissante et d"une fonction décroissante ...math.webgirand.eu10

MPSI MarietteCHAPITRE I. RAPPELS ET COMPLÉMENTS D"ANALYSE-So yezgen tils,ne confondez pas monotone(croissant ou décroissant)et

constante(toujours égale à la même valeur, doncde factocroissante et décroissante). Proposition I.1.La composée de deux fonctions monotones suit la "règle des signes".àExemple I.6.Monotonie des fonctionsx7!ex2(croissante) etx7!ex2 (décroissante). d) ExtremaDéfinition I.6.SoitIun intervalle deRet soitf:I!Rune fonction. Sia2I, on dit que : -fadmet un maximum local enasi :

9 >0;(jxaj ))(f(x)f(a)) ;

-fadmet un minimum local enasi :

9 >0;(jxaj ))(f(x)f(a)):,Remarque I.4.

Explication sans les quan tificateurs,qui seron tin troduitsau c hapitresuiv ant.

La cohérence, c"est compliqué.

-Attention :caractèrelocalde ces notions; le voir sur des exemples type cos. Si la dernière inégalité de la définition est vraie sur I, on parle d"extremum global. Jeter un oeil àx7!sin(x)ex. e) Parité Définition I.7.SoitIun intervalle deRsymétriquepar rapport à0. On dit qu"une fonctionf:I!Rest : -pairesi, pour toutx2I,f(x) =f(x); -impairesi, pour toutx2I,f(x) =f(x).math.webgirand.eu11

MPSI MarietteCHAPITRE I. RAPPELS ET COMPLÉMENTS D"ANALYSEàExemple I.7.Puissances paires et impaires, cosinus, sinus.

,Remarque I.5.La parité apporte des informations intéressantes relatives aux courbes représentatives : celle d"une fonction paire est symétrique par rapport à l"axe des ordonnées, celle d"une fonction impaire par rapport à l"origine. Ceci permet

également de réduire le domaine d"étude.

2:Dérivation

Ce paragraphe a vocation à n"être qu"un assemblage de recettes de cuisine pour débuter l"année. Tout ce qui suit sera démontré et mis en place proprement ulté- rieurement. Demain, on rase gratis. a) Trucs de base à rappeler Sif:I!Rest une fonction dérivable sur un intervalleIdeR, on notef0sa fonc- tion dérivée. Si elle est dérivable plusieurs fois de suite, on noteraf00;f(3);:::;f(k) ses dérivées successives. On utilisera aussi quelques fois les notations de la physique,

à savoir

dfdx,dkfdxk. On n"écrirePASd"abominations du type(x2+1)0...Une dérivée est une fonction, traitons la comme telle. Proposition I.2.Sif:I!Rest dérivable ena2I, sa tangente a pour équation y=f(a) + (xa)f0(a):b) Opérations sur les dérivées Logiquement, presque tout ceci est connu, mais il vaut mieux prévenir que guérir. Proposition I.3.Soientf;gdeux fonctions dérivables sur un intervalleIdeRet

2R. Alors :

(i)f+gest dérivable surIet(f+g)0=f0+g0; (ii)fgest dérivable surIet(fg)0=f0g+fg0; (iii) si gne s"annule pas surI,fgquotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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