[PDF] 500 Programmer des fractales avec Python (2/2) 1 Ensemble de Julia

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Science et vision du monde : les Fractales500Programmer des fractales avec Python (2/2)

1 Ensemble de Julia

1.1 Définition

Un ensemble de JuliaJcest une fractale qui est para- métrée par un couple de réelscAE(a;b). Pour détermi- couples de nombres¡xn;yn¢par¡x0;y0¢AE¡x;y¢et par la relation de récurrence :

½xnÅ1AEx2n¡y2nÅa

y nÅ1AE2xn£ynÅb(1)Ensemble de Julia pourcAE(0,5;¡0,6) Par exemple si¡x0;y0¢AE(3; 4)et si(a;b)AE(2; 1)alors : •x1AE32¡42Å2AE¡5 ety1AE2x0£y0Å1AE2£3£2Å1AE13 •x2AE(¡5)2¡132Å2AE¡142 ety1AE2x1£y1Å1AE2£(¡5)£13Å1AE¡129

Le pointM¡x;y¢n"appartient pas à l"ensemble de JuliaJcsi le nombrex2nÅy2n(le carré de la distance du

point de coordonnées¡xn;yn¢à l"origine) tend vers l"infini lorsquentend vers l"infini. Une propriété permet

d"affirmer que six2nÅy2ndépasse 22à partir d"un certainnalors la suitex2nÅy2ndiverge vers l"infini1et le point

initialM¡x;y¢n"appartient pas àJc. Pour en savoir plus sur les ensembles de Julia on pourra consulter : la pag ew ebhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_de_Julia la r ubriqueensemb lede J uliadu didact icieldu l ogicielX aos

En général, on définit un ensemble de JuliaJcà l"aide desnombres complexes. Si on a un point du plan

M¡x;y¢on lui fait correspondre le nombre complexemAExÅiyoù i est un nombre imaginaire tel que i2AE¡1.

Le nombre complexemest l"affixe du pointM,xest sapartie réelleetysapartie imaginaire. Par exemple A

(3; 4)apouraffixeaAE3Åi4departieréelle3etdepartieimaginaire4.Lesrèglesdecalculsaveclesnombres

complexes sont les mêmes que celles avec les nombres réels en rajoutant la règle i

2AE¡1.

M¡x;y¢d"affixemAExÅiypar l"étude de la suite de Julia définie par :

½z0AExÅiy

z nÅ1AEz2nÅcoùznAExnÅiyn(2)1. Sia2Åb264

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Science et vision du monde : les Fractales500L"ensemble de Julia est l"ensemble des pointsM¡x;y¢tels quex2nÅy2nne tend pas vers l"infini lorsquentend

vers l"infini. Pour tracer un ensemble de JuliaJcavec l"ordinateur, on va dans l"ordre :

1.Choisir une zone du plan (xminAE ¡1.25;xmaxAE1.25;yminAE ¡1.25;ymaxAE1.25 en général) où il se

passe des choses intéressantes ...

Choisir une fenêtre graphique de l"écran comportant un nombre fini de pixels (par exemple 400 pixels

de largeur fois 400 pixels de hauteur). L"image affichée est constituée d"un tableau de pixels caractérisé

par ses dimensions (largeur x hauteur), chaque pixel apparaissant d"une certaine couleur. De plus on

doit associer chaque pixel à un point de la fenêtre du plan (soit 400£400AE1600 par exemple). Un

pixel étant repéré par un couple(ligne;colonne)on devra donc définir une fonction qui à un couple

(ligne;colonne)associe le couple de coordonnées¡x;y¢du point du plan représenté par le pixel.

2.Parcourir avec deux bouclesforimbriquées (parcours des colonnes puis des lignes de haut en bas et de

gauche à droite en général ),les pixels de notre fenêtre graphique et calculer pour chacun, les coordon-

nées¡x;y¢du point du plan associé.

3.Calculer dans une bouclewhile, les termes de la suite¡xn;yn¢. Pour ne pas rentrer dans une boucle

infinie, il nous faudra un compteur d"itérations et un teste d"arrêt : la boucle tournera tant que le test

d"appartenance à l"ensemble de JuliaJcest réalisé (x2nÅy2nÇAE22) et que le compteur d"itérations sera

inférieur à un nombre d"itérations maximum.

4.Choisir une couleur pour le pixel(ligne;colonne)selon la valeur du compteur d"itérations en sortie

de la bouclewhile.

S ile n ombred "itérationsest supér ieurau seu ilmaximal et si le t estd "appartenanceà Jcdu dernier

terme de la suite est vérifié, on considère que le pixel appartient àJc, on le colorie alors en noir.

S inonlepixeln"appartientpasàJcn"apasétévérifiéetoncolorielepixeld"unecouleurquidépend

du nombre d"itérations effectuées.

1.2 Programme de tracé en Python

Nous allons écrire un programme de tracé d"ensemble de Julia avec Python (version 2). de texte. Nous allons dérouler les étapes du programme dans l"ordre décrit ci-dessus.

1.On commence par le code suivant :1#pourque la division en python2 se comporte comme en python3 2from__future__ import division 3fromPIL import Image 4

5a = 0.396b = 0.67taille = 4008xmin = -1.259xmax = 1.2510ymin = -1.2511ymax = 1.2512iterationmax = 20013im = Image.new("RGB",(taille,taille),(255,255,255))

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Science et vision du monde : les Fractales50014pixels = im.load()•E nlign e2 on pa ramètrela fon ctionnementde la div isionet en l igne3 on imp ortele module I mage

de la bibliothèque PIL de qui contient des fonction spécifiques de traitement d"image. E nlign es5 et 6 on i nitialiseles v ariablesaetbdu paramètrecAE(a;b)de l"ensemble de Julia. E nlign e7 on init ialisel at aillede l af enêtregr aphique,v aleurcommune de sa lar geuret d esa hauteur.

D ansl esl ignes8 à 11 on initialise les v aleursdélimitan tl az onedu p lanet en lign e12 o ndéfinit le

nombre maximal d"itérations E nsuite,onutiliselesfonctionsspécifiquesdelabibliothèquePIL,pourcréerenligne13uneimage vide de dimensions 400x400 dont tous les pixels sont en blanc, puis pour charger en ligne 14 le tableau de pixels de cette image dans une variablepixels.

On utilise ici le codage (Rouge,Vert,Bleu) des couleurs. Chaque couleur est codée par trois entiers

compris entre 0 et 255. Pour en savoir plus on pourra consulter la page web :http://fr.wikipedia.org/wiki/Rouge_ vert_bleu

2.Suite du code (attention à l"indentation) :15forline in range (taille):16forcol in range (taille):17i = 118x = xmin+col*(xmax-xmin)/taille19y = ymax-line*(ymax-ymin)/taille20whilei<=iterationmax and (x**2+y**2)<=4: 21stock = x22x = x**2-y**2+a23y = 2*stock*y+b24i += 125ifi>iterationmax and (x**2+y**2)<=4: 26pixels[col,line] = (0,0,0)27else:28pixels[col,line] = ((4*i)%256,2*i,(6*i)%256)a.En lignes 15 et 16 on amorce nos deux bouclesforimbriquées pour parcourir les lignes et les co-

lonnes du tableau de pixels de notre image. Les lignes 17 à 28 seront exécutées pour chaque pixel

auquel on accède parpixels[colonne,ligne]. b.En ligne 17 on initialise notre compteur d"itérationià 1. c.En ligne 18 et 19 on associe au pixel(ligne,colonne)le point du plan¡x;y¢dont on souhaite déterminer s"il appartient à l"ensemble de JuliaJc. Les pixels sont repérés à partir d"un pixel origine (0; 0)situé dans le coin supérieur gauche de

l"image, l"axe des abscisses étant orienté vers la droite et l"axe des ordonnées vers le bas.

On en déduit donc la correspondance suivante entre pixels et points :Pixel(0;0)(taille;0)(0;taille)(taille;taille)

Point du plan(xmin;ymax)(xmax;ymax)(xmin;ymin)(xmin;ymin)Page 3/5http://lyceeduparc.fr/

Science et vision du monde : les Fractales500Sachant que l"abscissexet l"ordonnéeydu point sont respectivement des fonctions affines de

colonneetligne, expliquer les formules des lignes 18 et 19.

d.En ligne 20 on amorce la bouclewhilequi calcule les termes successifs de la suite de Julia définie

D ansqu elsca ssor t-ond ela boucle ?

E xpliquerle c odedes li gnes21 à 24. A q uoiser tla v ariablestockdéfinie en ligne 21?

e.En lignes 25 et 26, si le nombre d"itérations est supérieur au seuil maximum et si le test d"apparte-

nance àJcdu dernier terme de la suite est vérifié, le pixel est dansJcet on le colorie en noir.

Comment modifier la ligne 26 pour colorier le pixel en vert? en rouge? en jaune?

f.Si le test de la ligne 25 n"est pas vérifié,le pixel n"est pas dansJcet on paramètre ses composantes

(Rouge,Vert,Bleu) en fonction de la valeuridu compteur d"itérations (L"opérateur modulo % re- tourne le reste dans la division euclidienne).

g.Dernière partie du programme (indentation nulle) :29im.save("julia.png")30im.show()On sauvegarde l"image en ligne 29 puis on l"affiche à l"écran en ligne 30.

h.Tester ce programme pour représenter plusieurs ensembles de Julia selon les valeurs du couple de

paramètres (a;b): a;b)AE(¡0.5; 0.6),(a;b)AE(0.285; 0.013),(a;b)AE(0;¡0.8)

2 Ensemble de Mandelbrot

2.1 Définition

Un point de coordonnéescAE(a;b)du plan ap-

partient à l"ensemble de Mandelbrot s"il appartient à l"ensemble de JuliaJcc"est-à-dire si la suite dé- finie par¡x0;y0¢AE(a;b)etxnÅ1AEx2n¡y2nÅaet y l"infini lorsquentend vers l"infini. On peut explorer la fractale de Mandelbrot avec le lo- giciel Xaos.

Pour des compléments on pourra consulter :

la pag ew ebhttp://images.math.cnrs.fr/

L-ensemble-de-Mandelbrot.html

la p agew ebhttp://fr.wikipedia.org/ wiki/Ensemble_de_Mandelbrot la r ubriqueen semblede M andelbrotd ul ogiciel Xaos plan délimitée par : x minAE¡2;xmaxAE0.5;yminAE¡1.2;ymaxAE1.2Ensemble de Mandelbrot

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Science et vision du monde : les Fractales5002.2 Programmation En modifiant le programmejulia.py, écrire un programme Pythonmandelbrot.pyqui trace l"ensemble de

Mandelbrot.

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