[PDF] T.P. 1 : Fractales en Python. Complexes / réels Itératif / Récursif

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T.P. 1 : Fractales enPython.

Complexes / reels,

Iteratif / Recursif.Introduction

A la n de ce T.P., si tout va bien, vous saurez obtenir des dessins de ce genre avecPython:0.00.51.00.4

0.2

0.00.20.40.60.81.01.0

0.5

0.00.51.01.52.00.00.51.01.52.02.53.0Mais qu'importe le tresor,

ocon ou chou, l'essentiel est la qu^ete. Les vrais buts de ce T.P. sont en fait les suivants : ?Rafra^chir vos connaissance sur la gestion des tableauxnumpyqui peuvent ensuite ^etre aches viamatplotlib.pyplot. Pour ceux et celles qui ont fait duSciLab, legrosmodule pylabest un module python qui simplie beaucoup l'utilisation dePythona la maniere deSciLaben incluant directement aussi bien les fonctions denumpyque dematplotlib. ?Comparer les points de vue : utilisation des transformations complexes ou des matrices 2×2 pour la gestion d'operations geometriques dans le plan. ?Comparer les points de vue : algorithme iteratif (boucles vues en premieres annees) et algorithmerecursif: notion qui n'etait pas au programme d'I.P.T. en premiere annee, et que nous reprendrons en cours.

1 La courbe de Von Koch, en coordonnees complexes, et en

iteratif

1.1 Construction mathematique de la courbe de Von Koch

L'idee de base de la construction d'une courbe de Von Koch, sur le dessin suivant a partir du segment[A;B]?CavecAd'axe 0 etBd'axe 1, est de transformer ce segment en la ligne brisee suivante ouCest d'axe 1?3,Ed'axe 2?3 etCDEest equilateral : 1 Ensuite, on itere cette operation sur chacun des quatre segments de la gure precedente, ce qui donne :0.00.20.40.60.81.00.2 0.1

0.00.10.20.30.40.5

On peut alors recommencer autant de fois qu'on veut, par exemple apres cinq iterations :

0.00.20.40.60.81.00.2

0.1

0.00.10.20.30.40.5

1.2 Rappels dePythonavecpylab

Dans toute la suite, nous considerons que nous avons rentre la commande : 2 import pylab as pl Legrosmodulepylabcontientnumpy, matplotlib(mais passcipy). Neanmoins, a cause de l'importance denumpyen lui-m^eme et pour respecter les habitudes, on importera aussinumpyviaimport numpy as nppour invoquer les fonctionsnumpyavec le prexenp.

1.2.1 Comment manipuler des nombres complexes enPython?

Il y a au moins deux facons de rentrer un nombre complexe enPython: >>>z=1+2j >>>z=complex(1,2) En pratique l'entree sous formea+bjn'est pas tres commode (syntaxe penible : coller la partie imaginaire a j ...), et on recommande plut^ot la commandecomplex. Pour un nombre complexez, avecz.realetz.imagon aura ce que vous pensez. Remarque :Lehelp(complex)ne vous renseignera que si vous savez deja des choses sur les classes enPython... nous en reparlerons.

1.2.2 Comment acher des points relies par des segments?plot, exemple :

Pour tracer despoints relies par des segments, on va utiliser la commandepl.plot, a laquelle

on doit donner a mangerdeux tableaux: l'un sera la liste des abscisses des points successifs, l'autre

celle des ordonnees des points successifs. Voici un : Exemple tres simple :trace du segment[A;B]ouA=(1;2)etB=(3;4).

X=[1,3]

Y=[2,4]

pl.plot(X,Y,color="blue") # color est un argument optionnel... pl.show() # provoque l'affichage si vous ^etes chanceux pl.savefig('Desktop/segment.pdf') # enregistre dans un pdf. : marche mieux

Quelques fonctions graphiques utiles :

pl.axis('equal') # pour travailler en repere orthonorme pl.clf() # pour effacer la figure courante.

1.2.3 Les tableaux qu'on peut donner a manger aplot

Outre les listes duPythonde base,plotgere lesarraydenumpy. Cesarraysont geres par l'importation depylabdonc on peut taper :

X=pl.array([1,3])

Y=pl.array([2,4])

pl.plot(X,Y) On peut aussi, si on a l'habitude d'importernumpyfaireimport numpy as npet declarer des np.array. L'avantage destableaux numpy,pl.arrayounp.arraycomme on veut, vient desoperations qu'on peut faire sur ces tableaux : on peut appliquer des fonctions mathematiques (fonctions numpy) a un tableaunumpy. Unnp.arraypeut ^etre reduit a une ligne commeA=np.array([1,2])Il peut ^etre forme de plu- sieurs lignes commeM=np.array([[1,2],[3,4]])On obtient un joli achage avecprint(A)et print(M). 3

1.2.4 Trace a partir d'un tableau de nombres complexes

On reprend l'exemple du 1.2.2 ou cette fois on a stockeAetBdans un tableau contenant deux complexes.

A=complex(1,2)

B=complex(3,4)

L=np.array([A,B])

Cette fois pour faire le m^eme trace, nous devons d'abord fabriquer des tableaux d'abscisses et d'ordonnees et la, on voit la puissance denumpy.

X=np.real(L)

Y=np.imag(L)

pl.clf() # clf pour clearfigure pl.plot(X,Y) pl.savefig('Desktop/segment2.pdf')

1.3 A vous de jouer!

1.3.1 Fonction transformant un segment

Ecrire une fonctionTSC(pour Transformation Segment Complexe), qui prend en argument deux complexes A et B, et renvoie lalisteformee des complexes A,C,D,E de la construction de la courbe de Von Koch donnee au§1.1.

Indications :

?Les coordonnees complexes deC;D;Esontrelativesa celles deAetB. ?Une methode simple, qui fait l'inter^et des nombres complexes, est de considerer que le segment [C,D] s'obtient parrotationd'angle?3 (utilisernp.pi), qui se code bien en complexes. ?On pourra verier le resultat en leplottantcomme indique dans les paragraphes precedents.

1.3.2 Fonction donnant une transformation globale

Ecrire une fonctionTGC(pour Transformation Globale Complexe) qui prend en argument une listeLde nombres complexes et qui retourne une liste qu'on appelleraLTdans la fonction, qui est la liste obtenue a partir deLen intercalant entre deux nombres successifs A,B de la liste, les nombres C,D,E de la construction de Von Koch.

1.3.3 Fonction d'achage avec choix du nombre d'iterations

Ecrire une fonctionVonKochIC(pour Von Koch par Iteration en coordonnees Complexes) qui prend comme argument obligatoire un entiernet comme argument facultatif une listeLde nombres complexes, avec la valeur par defautL=[0,1]et qui ache la courbe de Von Koch obtenue enn iterations a partir du segmentLgr^ace a la fonctionTGCprecedente.

1.4 Passage de la courbe de Von Koch au triangle de Von Koch

En appliquant la fonctionVonKochICprecedente aux trois c^otes d'un triangleequilateral, obtenir le ocon de neige de l'introduction.

2 Le m^eme travail avec des coordonnees reelles

2.1 Memo : La multiplication matricielle avecnumpy

Ennumpy, pour coder la matriceRde la rotation vectorielle d'angle, on donne : 4 Une facon de faire la multiplication matricielleM.N, siMetNsont desnp.arrayde taille compatible : np.dot(M,N)

Attention :Ne pas faireM?N.

Cette fois, les pointsAetBde depart seront codes par des matrices colonnes 2×1 autrement dit, par exemple :

A=np.array([[0],[0]])

2.2 A vous de jouer :

2.2.1 M^eme depart

Ecrire une fonctionTSR(pour Transformation Segment Reelle) faisant la m^eme chose queTSC mais en coordonnees reelles et de m^eme une fonctionTGRanalogue aTGC.

2.2.2 Une petite gymnastique supplementaire necessaire pour l'achage

Ecrire une fonctionAffichagequi prend en argument unelisteL=[A1,...,An]dont les elementsAisont chacun desnp.arrayrepresentant des vecteurs colonnes 2×1 et ache (eventuellement dans un chierpdf) la ligne brisee[A1;A2][An-1;An].

2.2.3 M^eme n

Ecrire alors une fonctionVonKochIRavec les m^emes specications queVonKochICsauf que la liste par defaut est une liste de points deR2.

3 Le point de vue recursif sur Von Koch reel :

def KochRec(n,A=np.array([[0],[0]]),B=np.array([[1],[0]])): alpha=np.pi/3 [np.sin(alpha),np.cos(alpha)]]) if n==0: pl.plot([A[0],B[0]],[A[1],B[1]]) pl.axis('equal') pl.savefig('Desktop/essai-VonKoch.pdf') else :

Ecart=(B-A)/3

C=A+Ecart

E=B-Ecart

D=C+np.dot(R,Ecart)

KochRec(n-1,A,C)

KochRec(n-1,C,D)

KochRec(n-1,D,E)

KochRec(n-1,E,B)

Que fait ce code?executez-le et appelez cette fonction avec depetitesvaleurs den.

Que pensez vous du resultat?

5

4 Le Brocoli en recursif

On se donne quatre pointsA,B,C,Dqui sont les quatre sommets d'un carre. Ecrire unefonction recursiveappeleeBrocoliqui prend ces quatre points en argument, et un argumentnet qui eectue les taches suivantes :

D'abord la fonction trace le carreA,B,C,D.

Ensuite sin>0 la fonction denit les pointsE,F,G,I,Hdeduit deA,B,C,Dpour former la gure suivante (ou A,B,C,D sont les sommets du gros carre) ou l'angle=?CDEvaut?6 et appelle : brocoli(D,E,G,F,n-1)

brocoli(E,C,I,H,n-1)Appelez cette fonction pourn=6 et vous obtiendrez la seconde gure de l'introduction.

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