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IPT_TP_construction fractales_PCSI

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CONSTRUCTION DE FRACTALES

Une fractale est un objet géométrique qui a la propriété d'autosimilarité, c.a.d que lorsqu'on zoome sur cet objet, il

apparaît similaire à l'objet global. Un tel objet possède une dimension qui n'est pas entière en général.

Des courbes qu'on peut qualifier de fractales mais considérées comme objets exotiques étaient déjà connues avant que

le concept de fractale n'en soit dégagé par le mathématicien français B.Mandelbrot. Comme souvent en sciences, le plus

difficile est de dégager le concept; une fois la notion de fractale acquise, leur étude s'est avéré féconde et on s'est

aperçu que les fractales apportaient un nouveau regard dans la compréhension de phénomènes variés.

Dans ce TP, on va dessiner quelques objets fractals. On donne ci-dessous en python quelques transformations

géométriques de base qu'on pourra utiliser si nécessaire.

1 def rotation(centre, ang, point) :

2 | "point, centre = liste de deux réels, ang = angle de la rotation en radians"

3 | u = [point[0] - centre[0] , point[1] - centre[1]]

4 | x = centre[0] + math.cos(ang)*u[0] - math.sin(ang)*u[1]

5 | y = centre[1] + math.cos(ang)*u[1] + math.sin(ang)*u[0]

6 | return [x,y] # image de "point" par la rotation de centre "centre" et d'angle "ang"

1 def homothetie(centre, rapport, point):

2 | "point, centre = liste de deux réels, rapport = rapport de l''homothetie"

3 | u = [point[0] - centre[0] , point[1] - centre[1]]

4 | x = centre[0] + rapport*u[0]

5 | y = centre[1] + rapport*u[1]

6 | return [x,y] # image de "point" par l'homothetie de centre "centre" et de rapport "rapport"

Rappels sur les commandes graphiques Importation du module : import matplotlib.pyplot as plt

Principe général : Si X = [x1, ... , xn] est une liste d'abscisses et Y = [y1, ..., yn] une liste d'ordonnées correspondante

(et donc de même longueur que X), alors la commande plt.plot(X,Y, options) trace la ligne polygonale reliant les points de coordonnées [x1,y1], [x2,y2], ... , [xn,yn].

Les options concernent notamment la couleur : color = 'black' par exemple, la nature du trait (trait continu par défaut)

: '-k' pour un trait continu noir, 'or' pour marquer juste les points en rouge, etc ...

plt.fill(X, Y, options) permet de remplir le polygone délimité par la ligne polygonale X,Y, la ligne étant

automatiquement refermée.

plt.xlim(x_min, x_max) et plt.ylim(y_min, y_max) permettent de délimiter la fenêtre d'affichage.

plt.axis('equal') permet d'avoir un repère orthonormé.

Sauvegarder la figure : plt.savefig('nom_figure.format') # format peut-être par exemple jpeg, png ... La sauvegarde

s'effectue par défaut dans le dossier où est enregistré le programme.

Une fois toutes les commandes de préparation du graphique exécutées, on procède à l'affichage avec

plt.show()

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Exemple à analyser

1 def polygone_regulier(centre, rayon, n) :

2 | X = [centre[0] + rayon*math.cos(2*k*math.pi/n) for k in range(n+1)]

3 | Y = [centre[1] + rayon*math.sin(2*k*math.pi/n) for k in range(n+1)]

4 | plt.plot(X,Y, color = 'r') # respectivement plt.fill(X, Y, 'r')

5 | plt.axis('equal')

5 | plt.show()

Premier courbe fractale : le flocon de Von Koch

On décrit en images les premières étapes de la construction Etape 0 : on démarre avec le segment [0,1] sur l'axe Ox Etape 1 : on dessine un triangle équilatéral dont la base est le tiers central du segment de l'étape 0 puis on ôte la base qui a servi à la construction. On obtient la figure ci-contre composée de 4 segments de même longueur 1/3. Etape 2 : sur les 4 segments de l'étape 1, on recommence la transformation de l'étape 1. Cela donne en tout 4*4 = 16 segments de même longueur 1/9. Etape 3 : on recommence avec les segments de l'étape 2. et ainsi de suite. La figure fractale est la figure obtenue à la limite lorsque le nombre d'étapes devient infini.

En python, les points sont codés par des listes de deux réels et les segments par des listes de deux points.

Etant donné un segment [AB] quelconque, on souhaite calculer les points C, D, E comme ci-dessous.

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1) Ecrire une fonction transformation_segment(A, B) qui retourne la liste [A,C,E,D,B] (on pourra utiliser la fonction

rotation)

2) L'algorithme suivant construit la liste des points de la courbe fractale à l'étape N construite à partir du segment [AB] :

l'idée est de construire les points de l'étape k + 1 à partir des points de l'étape k, en appliquant la transformation

précédente pour chaque segment formé à partir de deux points consécutifs de l'étape k.

1 fonction VonKoch(A,B,N)

2 | initialiser une liste L = [A,B] # L va contenir les listes de points successives calculées à chaque étape

3 | répéter N fois

4 | | initialiser une liste L1 de points à vide

5 | | parcourir la liste L

6 | | | lire deux points consécutifs de L

7 | | | appeler transformation_segments avec ces deux points

8 | | | rajouter les points retournés par transformation_segments dans L1

9 | | L est remplacé par L1 # mise à jour de L

10 | retourner L

Implémenter cette fonction en python.

3) Ecrire une fonction tracer_ligne(L) qui prend en argument une liste de points et qui trace la ligne polygonale

correspondante.

4) Ecrire une fonction flocon_vonKoch(A,B,N)

qui assemble trois courbes fractales de Von Koch pour former la figure ci-contre (N est le nombre d'étapes comme en (2)). On pourra appeler trois fois la fonction VonKoch ou bien appliquer des rotations convenables sur les points de la fractale de Von Koch sur [0,1].

5) On peut généraliser en modifiant la fonction transformation_segment

On se donne un angle α dans [0,π] et on calcule x comme sur la figure ci-contre. On a x AB = 1

2(1 + sin(α/2)) et x

CD = 1

2sin(α/2)

Pour α = π/3, on retrouve x = 1/3 AB.

Réécrire la fonction transformation_segment en rajoutant le paramètre α, la fonction renvoyant toujours la liste [A,C,E,D,B]. Réécrire de même la fonction VonKoch en rajoutant le paramètre α.

6) Faire des tracés pour différentes valeurs de α.

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La courbe de Van Koch est de dimension ln(4)/ln(3) car lorsqu'on applique une réduction d'un facteur 1/3 à chaque

étape, le nombre de segments est multiplié par 4. La dimension est alors le réel d tel que 3

d = 4.

7) Etant donné un triangle ABC, on le partage en 4 triangles

semblables à ABC grâce aux droites des milieux. Le triangle central est laissé blanc tandis qu'on colorie les trois autres. Les triangles sont codés par une liste de trois points. Ecrire une fonction decoupe_triangle(triangle) qui prend en argument un triangle et qui retourne les quatre petits triangles. Tracer alors les quatre triangles comme ci-contre.

On peut itérer le procédé.

A chaque étape, on dispose d'une liste de triangles qui doivent tous être décomposés en quatre triangles. Une fois la décomposition achevée, on met à jour la liste des triangles et on passe à l'étape suivante. On obtient une figure fractale appelée triangle de Sierpinski. C'est un fractal de dimension ln(3)/ln(2) (2 d = 3 car 3 nouveaux triangles lorsqu'on applique une réduction de facteur 1/2).

8) Ecrire une fonction triangle_sierpinski(triangle, N) qui

retourne la liste des triangles à l'issue des N étapes d'évolution.

9) Ecrire enfin une fonction tracer_triangle_sierpinski(L, couleur) qui prend en paramètre une liste des triangles à

colorier et qui en fait l'affichage.quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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