[PDF] Cours de mathématiques - Exo7

Q=A=BetR=0.

B=bmXm++b0avecbm6=0. Sin

Sin>mon écritA=Banb

mXnm+A1avecdegA16n1. On applique l"hypothèse de récurrence àA1: il existe Q1,R12K[X]tels queA1=BQ1+R1et degR1DoncQ=anb

POLYNÔMES2. ARITHMÉTIQUE DES POLYNÔMES4Exemple 4.On pose une division de polynômes comme on pose une division euclidienne de deux entiers. Par exemple si

2X+12X2+X32X42X3+2X2

34X2+3X1X

3X2+2X13X2+3X3

X+2Exemple 5.

PourX43X3+X+1 divisé parX2+2 on trouve un quotient égal àX23X2 et un reste égale à 7X+5.X

43X3+X+1X

3X32X2+X+13X36X

2X2+7X+12X24

7X+52.2. pgcd

Proposition 4.

SoientA,B2K[X], avecA6=0ouB6=0. Il existe un unique polynôme unitaire de plus grand degré qui divise à la fois

A et B.Cet unique polynôme est appelé lepgcd(plus grand commun diviseur) deAetBque l"on note pgcd(A,B).

Remarque.

SiAjBetA6=0, pgcd(A,B) =1

A, oùest le coefficient dominant deA.

Pour tout2K, pgcd(A,B) =pgcd(A,B).

Comme pour les entiers : siA=BQ+Ralors pgcd(A,B) =pgcd(B,R). C"est ce qui justifie l"algorithme d"Euclide.

Algorithme d"Euclide.

SoientAetBdes polynômes,B6=0.

POLYNÔMES2. ARITHMÉTIQUE DES POLYNÔMES5

A=BQ1+R1degR1

B=R1Q2+R2degR2 R

1=R2Q3+R3degR3 R k2=Rk1Qk+RkdegRkk1=RkQk+1Le degré du reste diminue à chaque division. On arrête l"algorithme lorsque le reste est nul. Le pgcd est le dernier

reste non nulRk(rendu unitaire).

Exemple 6.

Calculons le pgcd deA=X41 etB=X31. On applique l"algorithme d"Euclide : X

41= (X31)X+X1

X

31= (X1)(X2+X+1)+0

Le pgcd est le dernier reste non nul, donc pgcd(X41,X31) =X1.

Exemple 7.

Calculons le pgcd deA=X5+X4+2X3+X2+X+2 etB=X4+2X3+X24. X

5+X4+2X3+X2+X+2= (X4+2X3+X24)(X1)+3X3+2X2+5X2

X

4+2X3+X24= (3X3+2X2+5X2)19

(3X+4)149 (X2+X+2)

3X3+2X2+5X2= (X2+X+2)(3X1)+0

Ainsi pgcd(A,B) =X2+X+2.Définition 4.

SoientA,B2K[X]. On dit queAetBsontpremiers entre euxsi pgcd(A,B) =1.

PourA,Bquelconques on peut se ramener à des polynômes premiers entre eux : sipgcd(A,B) =DalorsAetB

s"écrivent :A=DA0,B=DB0avec pgcd(A0,B0) =1.

2.3. Théorème de BézoutThéorème 2(Théorème de Bézout).

SoientA,B2K[X]des polynômes avecA6=0ouB6=0. On noteD=pgcd(A,B). Il existe deux polynômesU,V2K[X]

tels que AU+BV=D.

Ce théorème découle de l"algorithme d"Euclide et plus spécialement de sa remontée comme on le voit sur l"exemple

suivant.

Exemple 8.

Nous avons calculépgcd(X41,X31) =X1. Nous remontons l"algorithme d"Euclide, ici il n"y avait qu"une ligne :

X41= (X31)X+X1, pour en déduireX1= (X41)1+ (X31)(X). DoncU=1etV=X conviennent.

Exemple 9.

PourA=X5+X4+2X3+X2+X+2etB=X4+2X3+X24nous avions trouvéD=pgcd(A,B) =X2+X+2. En

partant de l"avant dernière ligne de l"algorithme d"Euclide on a d"abord :B= (3X3+2X2+5X2)19(3X+4)149

D donc 149

D=B(3X3+2X2+5X2)19

(3X+4).

La ligne au-dessus dans l"algorithme d"Euclide était :A=B(X1)+3X3+2X2+5X2. On substitue le reste pour

obtenir : 149

D=BAB(X1)19

(3X+4).

On en déduit

149
D=A19 (3X+4)+B1+(X1)19 (3X+4)

Donc en posantU=114

(3X+4)etV=114

9+(X1)(3X+4)=114

(3X2+X+5)on aAU+BV=D. Le corollaire suivant s"appelle aussi le théorème de Bézout.

POLYNÔMES3. RACINE D"UN POLYNÔME,FACTORISATION6Corollaire 1.SoientAetBdeux polynômes.AetBsont premiers entre eux si et seulement s"il existe deux polynômesUetVtels que

AU+BV=1.Corollaire 2.

Soient A,B,C2K[X]avec A6=0ou B6=0. Si CjA et CjB alors Cjpgcd(A,B).Corollaire 3(Lemme de Gauss). Soient A,B,C2K[X]. Si AjBC etpgcd(A,B) =1alors AjC.2.4. ppcm

Proposition 5.

SoientA,B2K[X]des polynômes non nuls, alors il existe un unique polynôme unitaireMde plus petit degré tel que

AjM et BjM.Cet unique polynôme est appelé leppcm(plus petit commun multiple) deAetBqu"on note ppcm(A,B).

Exemple 10.

De plus le ppcm est aussi le plus petit au sens de la divisibilité :Proposition 6. SoientA,B2K[X]des polynômes non nuls etM=ppcm(A,B). SiC2K[X]est un polynôme tel queAjCetBjC, alors MjC.Mini-exercices. 1. T rouverles diviseurs de X4+2X2+1 dansR[X], puis dansC[X]. 2.

Montrer que X1jXn1 (pourn>1).

3. Calculer les divisions euclidiennes deAparBavecA=X41,B=X31. PuisA=4X3+2X2X5et B=X2+X;A=2X49X3+18X221X+2 etB=X23X+1;A=X52X4+6X3etB=2X3+1. 4. Déterminer le pgcd deA=X5+X3+X2+1etB=2X3+3X2+2X+3. Trouver les coefficients de BézoutU,V.

Mêmes questions avecA=X51 etB=X4+X+1.

5.

Montrer que si AU+BV=1 avec degU

3.1. Racines d"un polynômeDéfinition 5.

SoitP=anXn+an1Xn1++a1X+a02K[X]. Pour un élémentx2K, on noteP(x) =anxn++a1x+a0. On associe ainsi au polynômePunefonction polynôme(que l"on note encoreP)

P:K!K,x7!P(x) =anxn++a1x+a0.Définition 6.

SoitP2K[X]et2K. On dit queest uneracine(ou unzéro) dePsiP() =0.Proposition 7.

P() =0()Xdivise P

POLYNÔMES3. RACINE D"UN POLYNÔME,FACTORISATION7

Démonstration.Lorsque l"on écrit la division euclidienne dePparXon obtientP=Q(X)+RoùRest une

constante car degR

pasP. Lorsquek=1 on parle d"uneracine simple, lorsquek=2 d"uneracine double, etc.On dit aussi queest uneracine d"ordrek.Proposition 8.

Il y a équivalence entre :

(i)est une racine de multiplicité k de P. (ii)

Il existe Q 2K[X]tel que P= (X)kQ,avec Q()6=0.

(iii) P () =P0() ==P(k1)() =0et P(k)()6=0.La preuve est laissée en exercice.

Remarque.

Par analogie avec la dérivée d"une fonction, siP(X) =a0+a1X++anXn2K[X]alors le polynômeP0(X) =

a1+2a2X++nanXn1est lepolynôme dérivédeP.

3.2. Théorème de d"Alembert-Gauss

Passons à un résultat essentiel de ce chapitre :Théorème 3(Théorème de d"Alembert-Gauss).

Tout polynôme à coefficients complexes de degrén>1a au moins une racine dansC. Il admet exactementnracines si

on compte chaque racine avec multiplicité.Nous admettons ce théorème.

Exemple 11.

SoitP(X) =aX2+bX+cun polynôme de degré 2 à coefficients réels :a,b,c2Reta6=0. Si=b24ac>0 alorsPadmet 2 racines réelles distinctesb+p

2aetbp

2a. Si<0 alorsPadmet 2 racines complexes distinctesb+ipjj2aetbipjj2a.

Si=0 alorsPadmet une racine réelle doubleb2a.

En tenant compte des multiplicités on a donc toujours exactement 2 racines.

Exemple 12.

P(X) =Xn1 admetnracines distinctes.

Sachant quePest de degrénalors par le théorème de d"Alembert-Gauss on sait qu"il admetnracines comptées avec

multiplicité. Il s"agit donc maintenant de montrer que ce sont des racines simples. Supposons -par l"absurde- que

2Csoit une racine de multiplicité>2. AlorsP() =0etP0() =0. Doncn1=0etnn1=0. De la seconde

égalité on déduit=0, contradictoire avec la première égalité. Donc toutes les racines sont simples. Ainsi lesn

racines sont distinctes. (Remarque : sur cet exemple particulier on aurait aussi pu calculer les racines qui sont ici les

racinesn-ième de l"unité.)

Pour les autres corps que les nombres complexes nous avons le résultat plus faible suivant :Théorème 4.

Soit P2K[X]de degré n>1. Alors P admet au plus n racines dansK.Exemple 13. P

(X) =3X32X2+6X4. Considéré comme un polynôme à coefficients dansQouR,Pn"a qu"une seule racine (qui

est simple)=23et il se décompose enP(X) =3(X23)(X2+2). Si on considère maintenantPcomme un polynôme

à coefficients dansCalorsP(X) =3(X23

)(Xip2)(X+ip2)et admet 3 racines simples. POLYNÔMES3. RACINE D"UN POLYNÔME,FACTORISATION8

3.3. Polynômes irréductiblesDéfinition 8.SoitP2K[X]un polynôme de degré>1, on dit quePestirréductiblesi pour toutQ2K[X]divisantP, alors,

soitQ2K, soit il existe2Ktel queQ=P.Remarque.

Un polynôme irréductiblePest donc un polynôme non constant dont les seuls diviseurs dePsont les constantes

ouPlui-même (à une constante multiplicative près).

La notion de polynôme irréductible pour l"arithmétique deK[X]correspond à la notion de nombre premier pour

l"arithmétique deZ.

Dans le cas contraire, on dit quePestréductible; il existe alors des polynômesA,BdeK[X]tels queP=AB, avec

degA>1 et degB>1.

Exemple 14.

Tous les polynômes de degré 1 sont irréductibles. Par conséquent il y a une infinité de polynômes irréductibles.

X21= (X1)(X+1)2R[X]est réductible.

X2+1= (Xi)(X+i)est réductible dansC[X]mais est irréductible dansR[X]. X22= (Xp2)(X+p2)est réductible dansR[X]mais est irréductible dansQ[X].

Nous avons l"équivalent du lemme d"Euclide deZpour les polynômes :Proposition 9(Lemme d"Euclide).

Soit P2K[X]un polynôme irréductible et soient A,B2K[X]. Si PjAB alors PjA ou PjB.Démonstration.

SiPne divise pasAalorspgcd(P,A) =1carPest irréductible. Donc, par le lemme de Gauss,Pdivise

B.3.4. Théorème de factorisation

Théorème 5.

Tout polynôme non constant A2K[X]s"écrit comme un produit de polynômes irréductibles unitaires :

A=Pk1 1Pk2 2Pkrr où2K, r2N, ki2Net les Pisont des polynômes irréductibles distincts.

De plus cette décomposition est unique à l"ordre près des facteurs.Il s"agit bien sûr de l"analogue de la décomposition d"un nombre en facteurs premiers.

3.5. Factorisation dansC[X]etR[X]Théorème 6.

Les polynômes irréductibles deC[X]sont les polynômes de degré1. Donc pourP2C[X]de degrén>1la factorisation s"écritP=(X1)k1(X2)k2(Xr)kr,où1,...,rsont

les racines distinctes de P et k1,...,krsont leurs multiplicités.Démonstration.Ce théorème résulte du théorème de d"Alembert-Gauss.Théorème 7.

Les polynômes irréductibles deR[X]sont les polynômes de degré1ainsi que les polynômes de degré2ayant un

discriminant<0. SoitP2R[X]de degrén>1. Alors la factorisation s"écritP=(X1)k1(X2)k2(Xr)krQ`1

1Q`ss,où les

isont exactement les racines réelles distinctes de multiplicitékiet lesQisont des polynômes irréductibles de degré2:

Qi=X2+iX+

iavec=2 i4 i<0.quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32