[PDF] LE NOMBRE DOR EN MATHÉMATIQUE Pierre de la Harpe 1er

View - Download LE NOMBRE DOR EN MATHÉMATIQUE Pierre de la Harpe 1er

Previous PDF

Next PDF

LE NOMBRE D"OR EN MATH

´EMATIQUE

Pierre de la Harpe

1er novembre 2008

ABSTRACT. This is a popularization essay of mathematics, in French, about the number

known as the golden ratio:?≈1.61803···. Several definitions of this number are shown to

be equivalent. The golden ratio is then shown to be relevant to some elementary geometric problems (proportions in a regular pentagon), and also to arithmetic considerations of both elementary and more advanced nature (diophantine approximation, Hilbert"s 10th problem). The mathematical background expected from the reader varies a lot from place to place. R

´ESUM´E. Texte de vulgarisation math´ematique `a propos du nombre d"or?≈1.61803···.

On y montre d"abord l"´equivalence de plusieurs d´efinitions de ce nombre. Puis on d´ecrit le

rˆole du nombre d"or dans divers probl`emes g´eom´etriques (proportions dans un pentagone

r´egulier), ainsi que dans diverses consid´erations arithm´etiques ´el´ementaires et plus avanc´ees

(approximation diophantienne, 10`eme probl`eme de Hilbert). Les pr´erequis math´ematiques sous-entendus varient consid´erablement de place en place. Chic J"ai

Compris

L"essentiel

Et c"est pour demain

Si le diable est dans les d´etails

1

Un choix de d´efinitions

En math´ematiques, le nombre d"or peut ˆetre d´efini de plusieurs mani`eres, diff´erentes,

mais toutes ´equivalentes au sens o`u elles d´efinissent le mˆeme nombre. Le choix des d´efinitions qui suivent, ainsi que leur ordre, rel`eve donc d"une bonne dose d"arbitraire.

D´efinition 1.Le nombre d"or est le nombre

?=⎷5 + 1 2 La notation choisie, la lettre grecque?, prononcer "fi", est l"un des usages courants (un autre estτ, prononcer `a mi-chemin entre "tau" et "tao"). Certains auteurs affirment que le choix de?honore le sculpteur grec Phidias, du V`eme si`ecle avant J´esus-Christ.1 Un fib est un po`eme de 6 vers comptant 20 syllabes, les 6 vers ayant dans l"ordre 1,1,2,3,5 et 8

syllabes. Wikip´edia mentionne l"existence de fibs en sanscrit remontant `a plus de 2000 ans. Pour un site

de fibs, dus `a Marc Lebel, voir http://mlebelm.ca/index.php?Fibs-a-la-fibonacci

2 PIERRE DE LA HARPE

Approximations d´ecimales.Pour les flemmards : de 4<5<9, on d´eduit d"abord

2<⎷5<3, et par suite 1,5< ? <2. En poussant les calculs un peu plus loin, d"abord

4,84<5<5,29 =?2,2<⎷5<2.3 =?1,6< ? <1,65,

puis

4,9729<5<5,0176 =?2,23<⎷5<2.24 =?1,615< ? <1,62,

etc., par exemple jusqu"`a ce qu"on trouve (comme dans au moins une page de Wikipedia) ?≈1,6180339887···,ou encore un peu plus : Voir http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/phi10000dps.txt (par ex- emple) pour les 10000 premi`eres d´ecimales de?. C"est une cons´equence de la proposition 2 (voir plus bas) qu"il n"est pas possible d"´ecrire une valeur exacte en notation d´ecimale avec un nombre fini de chiffres. D´efinition 2.Le nombre d"or est la solution positive de l"´equationx2-x-1 = 0. Equivalence avec la d´efinition 1.L"´equationx2-x-1 = 0 a deux solutions qui sont1+⎷5 2 et

1-⎷5

2 , comme on le v´erifie par exemple en ´ecrivant x-1 +⎷5 2 x-1-⎷5 2 x-12 2 ⎷5 2 2 x

2-x+14

-54 =x2-x-1. Par ailleurs, il est (presqu") ´evident que le nombre

1+⎷5

2 est positif et que le nombre1-⎷5 2 est n´egatif.? Remarques.Ainsi,?2-?-1 = 0 ; il est parfois avantageux d"´ecrire cela sous la forme 1? =?-1.

Notons par ailleurs que

1? =-2⎷5 + 1 =-2(⎷5-1)( ⎷5 + 1)( ⎷5-1)=-2(⎷5-1)4 =1-⎷5 2 c"est-`a-dire que l"autre racine de l"´equation de la d´efinition 2 est pr´ecis´ement 1? =1-⎷5 2 ≈ -0.618···. D´efinition 3.Le nombre d"or est la proportion?telle que, ´etant donn´e deux nombres positifsLet?tels queL > ? >0, le rapport deL+?`aLest ´egal au rapport deL`a?.

Equivalence avec la d´efinition 2.SiL+?L

=L? =?, alors??+??? =?, donc?+1? =?, ou encore ?+ 1 =?2, de sorte que?est bien le nombre de la d´efinition 2. R´eciproquement, soit?le nombre de la d´efinition 2. Choisissons arbitrairement un nombre? >0 et posonsL=??. On v´erifie facilement queL+?L =L? =?, de sorte que? est bien le nombre de la d´efinition 3.?

LE NOMBRE D"OR EN MATH

´EMATIQUE 3

Faisons d"abord de la g´eom´etrie ...

Proposition 1.Dans un pentagone r´egulier dont les cˆot´es ont longueur1, les diagonales ont longueur?.

D´emonstration.Consid´erons un pentagone r´egulier de sommetsP,Q,R,S,T, dont les cˆot´es

ont longueur long(PQ) = long(QR) = long(RS) = long(ST) = long(TP) = 1. Les cinq diagonales ont aussi mˆeme longueur, que nous notonsτ: long(PR) = long(QS) = long(RT) = long(SP) = long(TQ) =τ.

Il s"agit de montrer queτ=?.

INDISPENSABLE : dessiner une figure en lisant la suite ! Premi`erement, notonsUl"intersection des diagonalesQSetRT. Les trianglesUTQet URSont leurs cˆot´es parall`eles deux `a deux ; ils sont donc semblables, et on a long(QU)long(US)=long(QT)long(RS)=τ.

Deuxi`emement, le quadrilat`erePQUTest un losange (cˆot´es oppos´es parall`eles et de mˆeme

longueur) ; par suite : long(QU) = long(PT) = 1.

Il en r´esulte que

Vu la d´efinition 3, on a bienτ=?.?

Cette proposition montre donc l"´equivalence des d´efinitions pr´ec´edentes avec la d´efinition

suivante. D´efinition 4.Le nombre d"or est le rapport entre la longueur des diagonales et la longueur des cˆot´es dans un pentagone r´egulier. Remarque.Le nombre d"or apparaˆıt ainsi de mani`ere tr`es simple dans une figure, le pentagone r´egulier, qui a exerc´e depuis la nuit des temps une tr`es grande fascination. La d´ecouverte du fait que ce nombre soit irrationnel (voir plus bas) fut un choc consid´erable pour les g´eom`etres de la Gr`ece ancienne ; voir [OsWa]. Exercice.Si vous savez ce qu"est un cosinus, montrez que 2cos π5

[Indication : dans un pentagone r´egulier dont les cˆot´es ont longueur 1, on trouve un triangle

rectangle dont l"hypoth´enuse est de longueur 1 et un cˆot´e de l"angle droit de longueur?/2.]

Remarque,pour les lecteurs qui savent manipuler l"exponentielle d"un nombre complexe.

Voici une autre mani`ere de d´emontrer la relation de l"exercice pr´ec´edent : siz=e2iπ/5

4 PIERRE DE LA HARPE

etγ=?z+1z ?= 2cos(2π/5), alorsz4+z3+z2+z+ 1 = 0 etγ2+γ-1 = 0, et par suite cos(2π/5) =⎷5-14 . On en d´eduit d"abord que 2cos2(π/5) = 1 + cos(2π/5) =3+⎷5 4 et finalement que 2cos(π/5) =?3+ ⎷5 2 =1+⎷5 2 Voici une traduction trigonom´etrique des quatre lignes qui pr´ec`edent, sans nombre com- plexe. Choisissons l"origine du plan au centre du pentagone, et notons ses sommets dans l"ordre cyclique :z0,z1,z2,z3,z4. Montrons d"abord que la sommeS=z0+z1+z2+z3+z4de ces quatre vecteurs est nulle.

En effet, la moiti´e de la somme de deux sommets cons´ecutifs est le milieu du cˆot´e qui les

joint, par exemple 12 (z0+z1) =-ρz3, o`uρd´esigne la distance entre l"origine et le milieu d"un cˆot´e. Par suite S=12 (z0+z1) +12 (z1+z2) +12 (z2+z3) +12 (z3+z4) +12 (z4+z0) ce qui impliqueS= 0.

Les coordonn´ees des sommets s"´ecrivent

z

0= (1,0)

z

1= (cos2π5

,sin2π5 )z4= (cos2π5 ,-sin2π5 z

2= (cos4π5

,sin4π5 )z3= (cos4π5 ,-sin4π5 etS= 0 implique (†) 1 + 2cos2π5 + 2cos4π5 = 0.

Posons provioisrementx= 2cosπ5

. Alors 2cos2π5 =x2-2 et 2cos4π5 = (x2-2)2-2 = x

4-4x2+ 2, de sorte que la relation (†) s"´ecrit

1 +x2-2 +x4-4x2+ 2 =x4-3x2+ 1 = 0.

A priori, on trouve les deux solutionsx2=12

(3±⎷5). Or le signe-ne convient pas, car π5 <π3 ?cosπ5 >cosπ3 = 1?2cosπ5 >1?x2>1. On trouve donc bienx2=12 (3+⎷5), et donc aussix=12 (1 +⎷5) =?, comme promis.quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

[PDF] le nombre d'or devoir maison

[PDF] le nombre d'or devoir maison seconde

[PDF] le nombre d'or dm de maths 3ème

[PDF] le nombre d'or exercice seconde

[PDF] le nombre d'or maths

[PDF] le nombre d'or pour les nuls

[PDF] Le nombre de bons

[PDF] le nombre de brevet industrile dé-livres en france

[PDF] le nombre de carte qu'il faut pour construire un jeux de carte magique

[PDF] Le nombre de coup de golf

[PDF] Le nombre de la discorde

[PDF] Le nombre de nos ancêtres

[PDF] le nombre de participant ou participants

[PDF] le nombre e dm

[PDF] le nombre mystere