[PDF] BTS Electrotechnique Cours de Mathématiques

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BTS Electrotechnique

Cours de Mathématiques

François THIRIOUX

francois.thirioux@ac-grenoble.fr

Lycée René Perrin, Ugine

Mai 2003

Table des matières

Présentation du programme v

1 Préliminaires 1

1.1 Dé...nitions préalables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Factorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Sommations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.3 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2 Factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.3 Formule du binôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Rappels sur les nombres complexes et la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.2 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Intégration8

2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.1 Dé...nition de l"intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.2 Propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.3 Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Méthodes d"intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 Fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.2 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.3 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Séries numériques 14

3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1.1 Dé...nition d"une série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

i

TABLE DES MATIÈRESii3.1.2 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1.3 Condition nécessaire de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 Séries de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.1 Séries géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.2 Séries de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3 Critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3.1 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3.2 Séries à termes de signe quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Séries de Fourier 17

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1.1 Joseph Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1.2 Première approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2 Coe¢ cients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2.1 Formes exponentielle et réelle; somme de Fourier . . . . . . . . . . . . . 18

4.2.2 Propriétés des coe¢ cients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.3 Théorèmes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.3.1 Egalité de Bessel-Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.3.2 Convergence des séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.4 Sommes de Fourier de signaux usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.4.1 Signal en créneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.4.2 Signal en triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.1.2 Exemple fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.2.1 Dé...nitions et structure des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.2.2 Résolution de l"équation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.2.3 Recherche d"une solution particulière et solution générale . . . . . . . . . 31

5.2.4 Utilisation d"une condition initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.3.1 Dé...nitions et structure des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.3.2 Résolution de l"équation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.3.3 Recherche d"une solution particulière et solution générale . . . . . . . . . 36

TABLE DES MATIÈRESiii5.3.4 Utilisation d"une condition initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6 Développements limités 38

6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.1.1 Dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.1.2 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.2.1 Formule de Taylor avec reste intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.2.2 Inégalité de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.2.3 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.3 Opérations sur les développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.3.1 Somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.3.2 Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.3.3 Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.3.4 Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.3.5 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.4 Développements limités usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.4.1 Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.4.2 Logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.4.3 Puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.4.4 Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

7 Transformation de Laplace 44

7.1 Introduction et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.1.1 Pierre Simon de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.1.2 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.1.3 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7.1.4 Intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7.1.5 Impulsion de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.2 Transformée de Laplace d"une fonction causale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.2.1 Dé...nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.2.2 Résultats essentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7.2.3 Transformées fondamentales usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7.2.4 Théorèmes complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.3 Applications à l"analyse du signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.3.1 Transformée inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.3.3 Circuit RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Bibliographie 56

Présentation du programme

Ce cours traitegrosso mododes items suivants composant le programme :

1. Nombres complexes 2.

2. Suites numériques 2.

3. Fonctions d"une variable réelle.

5. Séries numériques et séries de Fourier.

6. Transformation de Laplace

7. Transformation enz.

9. Fonctions de deux ou trois variables.

10. Calcul matriciel.

11. Calcul des probabilités 1.

12. Calcul vectoriel.

v

Chapitre 1

Préliminaires

1.1 Dé...nitions préalables

1.1.1 Factorielle

1.1.1.1 Dé...nitionSoitnun entier naturel. Lafactorielleden, notéen!;est le nombre

entier : n! = 1:2:3::nsin>1;

0! = 1, par convention.

1.1.1.2 ExempleOn a :5! = 1:2:3:4:5 = 120:

1.1.1.3 RemarqueIl est souvent utile de noter que(n+ 1)! = (n+ 1):n!.

1.1.1.4 RemarqueLa croissance den!est extrêmement rapide. Par exemple,50! = 3;0414

10 64:

1.1.2 Sommations

1.1.2.1 NotationSi lesaisont des objets (nombres, matrices, fonctions...) que l"on peut

sommer, on dé...nit : nX k=1a k=a1+a2++an, oùnpourra être+1:

1.1.2.2 PropositionLa somme est unopérateur, i.e.C-linéaire :

X k(ak+bk) =X ka k+X kb k, X k(ak) =X ka k, pour tout2C. 1

1. Préliminaires21.1.2.3 ExempleOn a, pourz2C:

3 X p=0i:(zp+ 1)p!=i3X p=0z pp!+i3X p=01p! =i+iz+iz22 +iz36 +i+i+i2 +i6

1.1.2.4 ExerciceMontrer que :nX

k=1k=n(n+ 1)2

1.1.2.5 ExerciceMontrer que :

n X k=1k 2=13 (n+ 1)312 (n+ 1)2+16 n+16 =16 n(n+ 1)(2n+ 1):

1.1.3 Combinaisons

1.1.3.1 Dé...nitionOn appellecoe¢ cient binômialun nombre entier donné, pourk6n;

par : C kn=n!k!(nk)!:

1.1.3.2 RemarquePlusieurs observations sont nécessaires. D"abord, c"est bien un entier, ce

qui sera démontré dans la suite. Ensuite, ce nombre est parfois noté aussin k. En...n, plus

concrètement, il représente le nombre de façons de prendre (sans ordre)kéléments parmin.

Son rôle est très important en probabilités, mais aussi de manière générale dans les autres

domaines.

1.1.3.3 ThéorèmeSoientk6n:On a les relations très importantes suivantes :

C kn=Cnkn; C kn+Ck+1n=Ck+1n+1: Preuve.La première relation est évidente. La deuxième nécessite juste un calcul simple

(partir du membre de gauche).1.1.3.4 RemarqueLa deuxième relation estfondamentale. Elle prouve, de proche en proche,

que les coe¢ cients binômiaux sont bien des entiers. Mais aussi et surtout, elle fournit un moyen

bien simple de calculer et de représenter ces coe¢ cients : le triangle de Pascal (il semble en fait

que ce soit plus ancien...).

1. Préliminaires3nk012345678

01 111
2121
31331

414641

515101051

61615201561

7172135352171

818285670562881

Bien observer les propriétés de ce tableau (en particulier celles données par le théorème)

n"est pas une perte de temps!

1.2 Polynômes

1.2.1 Rappels

1.2.1.1 Dé...nitionOn dit qu"une fonctionP:C!Cest unpolynôme de degré ns"il

existe des coe¢ cients complexesa0;;an,anétant non nul, tels que :

P(z) =nX

k=0a k:zk=a0+a1:z++an:zn:

1.2.1.2 ExempleLes trinômes du second degré à coe¢ cients réels sont des polynômes de

degré 2. Les polynômes de degré 0 sont les nombres complexes.

1.2.1.3 PropositionSin2Net sizetasont deux complexes, alors :

z nan= (za)n1X k=0z n1kak= (za)(zn1+zn2:a++z:an2+an1): Preuve.Développer le membre factorisé; les termes s"annulent presque tous.1.2.2 Factorisation

1.2.2.1 ThéorèmeSoitP(z)un polynôme de degrén. AlorsP(b) = 0ssiP(z) = (zb)Q(z)

, oùQest un polynôme de degré(n1).

1. Préliminaires4Preuve.SiP(z) = (zb)Q(z);alors il est évident queP(b) = 0:

Réciproquement, notonsP(z) =a0+a1:z++an:zn:PuisqueP(b) = 0;on a0 = a

0+a1:b++an:bn:Ainsi, en utilisant la proposition précédente :

P(z)0 = (a0+a1:z++an:zn)(a0+a1:b++an:bn)

=a1:(zb) ++an:(znbn) =a1:(zb) ++an:(zb)(zn1+zn2:b++z:bn2+bn1) = (zb)Q(z), oùQest un polynôme de degré(n1):quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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