[PDF] IMN317 - Chapitre 3 - Analyse fréquentielle

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IMN317

Chapitre 3 - Analyse fréquentielle

Olivier Godin

Université de Sherbrooke

23 septembre 2013

Analyse fréquentielle1 / 194

Plan du chapitre

1Transformée de Fourier à temps discret

2Transformée enz3Classification des filtres

Analyse fréquentielle2 / 194

Transformée de Fourier à temps discret

Plan de la section

1Transformée de Fourier à temps discret

Transformée de Fourier à temps continu

DTFT : définition, propriétés et calcul

Réponse en fréquence d"un système

2Transformée enz3Classification des filtres

Analyse fréquentielle3 / 194

Transformée de Fourier à temps discretTransformée de Fourier à temps continu

Mise en contexte

Au chapitre précédent, on a vu quetoute séquence peut être représentée comme une combinaison linéaire d"impulsions unité décalée temporellement. Une conséquence de cette propriété est d"avoir permis de définir une relation entrée/sortie pour un système LTIdans le domaine temporel à l"aide de la convolution : y[n] =1X k=1x[k]h[nk]Analyse fréquentielle4 / 194 Transformée de Fourier à temps discretTransformée de Fourier à temps continu

Mise en contexte

Dans ce chapitre, on va définir cette même relation entrée/sortie, mais cette fois-cidans le domaine fréquentiel. On verra qu"il est parfois utile de savoirexprimer les effets d"un système en terme de fréquences plutôt qu"en terme d"échantillons.Analyse fréquentielle5 / 194 Transformée de Fourier à temps discretTransformée de Fourier à temps continu

Mise en contexte

Pour obtenir cette représentation fréquentielle, on étudiera la transformée de Fourier à temps discret, qui propose d"exprimer une séquence discrète à l"aide d"un espace continu de fréquences. Avant d"en arriver là, quelques rappels sur latransformée de Fourier continueest nécessaire.Analyse fréquentielle6 / 194 Transformée de Fourier à temps discretTransformée de Fourier à temps continu

Définition

Soitxa(t)unsignal continu, sa représentation dans le domaine fréquentiel est donnée par latransformée de Fourier à temps continu: X a(i ) =F[xa(t)] =Z 1 1 x a(t)ei tdtAnalyse fréquentielle7 / 194 Transformée de Fourier à temps discretTransformée de Fourier à temps continu

Définition

Le signalxa(t)peut être retrouvé à partir de sa transformée de Fourier grâce à latransformée de Fourier inverse: x a(t) =F1[Xa(i )] =12Z 1 1 X a(i )ei td

On notera alors cette paire

x a(t)F$Xa(i )Analyse fréquentielle8 / 194 Transformée de Fourier à temps discretTransformée de Fourier à temps continu

Définition

En général,Xa(i

)seraune fonction complexe, avec1< <1. Il est donc possible de l"exprimer sousforme polaire: X a(i ) =jXa(i )jeia( aveca( ) =arg(Xa(i

Chacune de ces parties porte un nom :jXa(i

)jest lespectre d"amplitudede la TF; a( )est lespectre de phasede la TF.Analyse fréquentielle9 / 194 Transformée de Fourier à temps discretTransformée de Fourier à temps continu

Définition

La transformée de Fourier à temps continu d"un signalxa(t)existe si

ce signal respecte lesconditions de Dirichlet:Le signal possèdeun nombre fini de discontinuitésetun

nombre fini de maximums et minimumssur tout intervalle fini.Le signal estabsolument intégrable, c"est-à-dire que

Z 1 1 jxa(t)jdt<1Analyse fréquentielle10 / 194 Transformée de Fourier à temps discretTransformée de Fourier à temps continu

Énergie d"un signal

L"énergieExd"un signal continuxa(t)est donnée par E x=Z 1 1 jxa(t)j2dt Il s"agit de laversion continuede la définition de l"énergie vue au chapitre 2 : E x=1X n=1jx[n]j2Analyse fréquentielle11 / 194 Transformée de Fourier à temps discretTransformée de Fourier à temps continu

Énergie d"un signal

On peut montrer qu"il est aussi possible d"exprimer l"énergie d"un signaldans le domaine fréquentiel.Analyse fréquentielle12 / 194 Transformée de Fourier à temps discretTransformée de Fourier à temps continu

Énergie d"un signal

Si on a que

x a(t)F$Xa(i alors E x=Z 1 1 jxa(t)j2dt=12Z 1 1 jXa(i )j2d

Cette propriété est connue sous le nom d"identité de Parseval.Analyse fréquentielle13 / 194

Transformée de Fourier à temps discretTransformée de Fourier à temps continu

Énergie d"un signal

Il est important de noter qu"un signal continu absolument intégrable x a(t)possède toujours une énergie finie. Z 1 1 jxa(t)jdt<1 )Z 1 1 jxa(t)j2dt<1Analyse fréquentielle14 / 194 Transformée de Fourier à temps discretTransformée de Fourier à temps continu

Largeur de bande d"un signal

On définit maintenant un nouveau concept relatif aux fréquences que l"on retrouve dans un signal, lalargeur de bande. Un signal continu à énergie finie sera dità bande complètesi son spectre de fréquences occupe l"étendu1< <1, tandis qu"il sera dità bande limitéesi seule une portion de cet étendu est couvert par les fréquences du signal.

Analyse fréquentielle15 / 194

Transformée de Fourier à temps discretTransformée de Fourier à temps continu

Largeur de bande d"un signal

Unsignal à bande limitée idéalaura un spectre qui sera nul en dehors d"un certain intervalle de fréquences a j j b, c"est-à-dire X a(i ) =8 :0 si 0 j j< a X a(i )si a j j b 0 si binférieur à un certain seuilà l"extérieur de l"intervalle.Analyse fréquentielle16 / 194

Transformée de Fourier à temps discretTransformée de Fourier à temps continu

Largeur de bande d"un signal

On appelle lalargeur de banded"un signal l"intervalle de fréquences où se trouve la plus grande partie de son énergie. Dans le cas précédent, la largeur de bande du signalxa(t)serait a j j b On dispose maintenant des atouts nécessaires pourtraverser dans le merveilleux monde du discret...Analyse fréquentielle17 / 194 Transformée de Fourier à temps discretDTFT : définition, propriétés et calcul

Définition

Latransformée de Fourier à temps discret(DTFT) d"un signal à temps discretx[n]est la représentation de celui-ci en terme d"une séquence d"expontielles complexesei!n, avec!2Rqui est la variable des fréquences.

Analyse fréquentielle18 / 194

Transformée de Fourier à temps discretDTFT : définition, propriétés et calcul

Définition

La DTFT d"une séquencex[n]est définie par

X(ei!) =F[x[n]] =1X

n=1x[n]ei!n Notons la différence des symboles :Fpour la transformée de Fourier à temps continu etFpour la DTFT.Analyse fréquentielle19 / 194 Transformée de Fourier à temps discretDTFT : définition, propriétés et calcul

Exemple 3.1

Analyse fréquentielle20 / 194

Transformée de Fourier à temps discretDTFT : définition, propriétés et calcul

Définition

De manière équivalente à tout à l"heure, on définit laDTFT inversepar x[n] =F1h

X(ei!)i

=12Z

X(ei!)ei!nd!

On notera alors

x[n]F$X(ei!)Analyse fréquentielle21 / 194 Transformée de Fourier à temps discretDTFT : définition, propriétés et calcul

Définition

Une question se pose alors : si la DTFT d"un signalx[n]est une fonction continue pour!,pourquoi l"intégrale de la DTFT inverse se limite-t-elle à l"intervalle[;]?Analyse fréquentielle22 / 194 Transformée de Fourier à temps discretDTFT : définition, propriétés et calcul

Périodicité de la DTFT

Contrairement à la transformée de Fourier continue,la DTFT d"un signal discret est une fonction périodiquede période 2pour!. En effet,

X(ei(!+2k)) =1X

n=1x[n]ei(!+2k)n 1X n=1x[n]ei!nei2kn 1X n=1x[n]ei!n =X(ei!)Analyse fréquentielle23 / 194 Transformée de Fourier à temps discretDTFT : définition, propriétés et calcul

Spectres d"amplitude et de phase

En général, la DTFTX(ei!)d"un signal est unefonction complexe d"une variable réelleet peut être écrit sous la forme

X(ei!) =X<(ei!) +X=(ei!);

oùX<(ei!)etX=(ei!)sont respectivementles parties réelle et imaginaire de la DTFT.Analyse fréquentielle24 / 194 Transformée de Fourier à temps discretDTFT : définition, propriétés et calcul

Spectres d"amplitude et de phase

On peut aussi exprimer la DTFTX(ei!)d"un signal sous la forme polaire :

X(ei!) =X(ei!)ei(!)avec(!) =arg(X(ei!))

Comme tout à l"heure, on a donné des noms à chacune des parties de cette représentation : X(ei!)est lespectre d"amplitude(!)est lespectre de phaseAnalyse fréquentielle25 / 194 Transformée de Fourier à temps discretDTFT : définition, propriétés et calcul

Spectres d"amplitude et de phase

Notons finalement qu"un lien existe entre les deux représentations de la DTFT.

En effet, on a que

tan((!)) =X=(ei!)X <(ei!)Analyse fréquentielle26 / 194 Transformée de Fourier à temps discretDTFT : définition, propriétés et calcul

Spectres d"amplitude et de phase

Géométriquement, le spectre de phase est l"angle par rapport à l"axe desxlorsqu"on considère le nombre complexeX(ei!)dans le plan.Le calcul avec l"équation tan((!)) =X=(ei!)X <(ei!) s"explique alors très bien d"un point de vue géométrique.

Analyse fréquentielle27 / 194

Transformée de Fourier à temps discretDTFT : définition, propriétés et calcul

Condition de convergence

Une série infinie de la forme

X(ei!) =1X

n=1x[n]ei!n peut ne pas converger. Or, on dira quela DTFT d"un signal existe si la sommation converge.Analyse fréquentielle28 / 194 Transformée de Fourier à temps discretDTFT : définition, propriétés et calcul

Condition de convergence

Une condition suffisante pour assurer la convergence de la série est que la séquencex[n]soitabsolument sommable, c"est-à-dire que 1 X n=1jx[n]j<1

En effet,

X(ei!)=

1 X n=1x[n]ei!n1X n=1jx[n]jei!n1X n=1jx[n]j<1Analyse fréquentielle29 / 194 Transformée de Fourier à temps discretDTFT : définition, propriétés et calcul

DTFT usuelles62 FOURIER ANALYSIS [CHAP. 2

Given X(eJw), the sequence x(n) may be recovered using the inverse DTFT,

The inverse DTFT may be viewed as adecomposition of x(n) into alinear combination of all complex exponentials

that have frequencies in the range -17 i w 5 IT. Table 2- 1 contains a list of some useful DTFT pairs.

Table 2-1 Some Common DTFT Pairs

Sequence Discrete-Time Fourier Transform

6(n)

S(n - no)

1 eJ"wO anu(n), la1 < I -anu(-n - I), la1 > 1 (n + I)anu(n), la1 < 1 EXAMPLE 2.5.2 Suppose X(eJ") consists of an impulse at frequency w = wo:

X(eJ") = 6(w - wO)

Using the inverse DTFT, we have

Note that although x(n) is not absolutely summable, by allowing the DTFT to contain impulses, we may consider the DTFT

of sequences that contain complex exponentials. As another example, if

X(eJ") = r6(w - 9) + r8(w + 9)

computing the inverse DTFT, we find x(n) = iejw + ie-l"wo = cos(nwo)

2.6 DTFT PROPERTIES

There are a number of properties of the DTFT that may be used to simplify the evaluation of the DTFT and its

inverse. Some of these properties are described below. A summary of the DTFT properties appears in Table 2-2.

Periodicity

The discrete-time Fourier transform is periodic in w with a period of 2n: ~(~jw) = x (,jW+zx) 1

This property follows directly from the definition of the DTFT and the periodicity of the complex exponentials: Analyse fréquentielle30 / 194

Transformée de Fourier à temps discretDTFT : définition, propriétés et calcul

Propriétés

On s"intéresse maintenant àcertaines propriétés importantes de la DTFT. Pour présenter celles-ci, on considère qu"on a les paires de transformées suivantes : g[n]F$G(ei!)eth[n]F$H(ei!)Analyse fréquentielle31 / 194 Transformée de Fourier à temps discretDTFT : définition, propriétés et calcul

Propriétés

Linéarité:g[n] +h[n]F$G(ei!) +H(ei!), avec;2RInversion temporelle:g[n]F$G(ei!)Décalage temporel:g[nn0]F$ei!n0G(ei!), avecn02ZAnalyse fréquentielle32 / 194

Transformée de Fourier à temps discretDTFT : définition, propriétés et calcul

Exemple 3.2

Analyse fréquentielle33 / 194

Transformée de Fourier à temps discretDTFT : définition, propriétés et calcul

Propriétés

Décalage fréquentiel:ei!0ng[n]F$G(ei(!!0)), avec!02R.Dérivation en fréquences:ng[n]F$idG(ei!)d!Analyse fréquentielle34 / 194

Transformée de Fourier à temps discretDTFT : définition, propriétés et calcul

Exemple 3.3

Analyse fréquentielle35 / 194

Transformée de Fourier à temps discretDTFT : définition, propriétés et calcul

Propriétés

Convolution:g[n]h[n]F$G(ei!)H(ei!)Modulation:g[n]h[n]F$G(ei!)H(ei!), avec

G(ei!)H(ei!) =12Z

G(ei)H(ei(!))dAnalyse fréquentielle36 / 194

Transformée de Fourier à temps discretDTFT : définition, propriétés et calcul

Propriétés

Soit l"énergieEgd"une séquence, telle que définie dans le chapitre 2. E g=1X n=1jg[n]j2 Comme dans le cas de la transformée de Fourier continue, on a l"identité de Parsevalqui met en relation le calcul d"énergie dans le domaine temporel et dans le domaine fréquentiel : E g=1X n=1jg[n]j2=12Z

G(ei!)2d!Analyse fréquentielle37 / 194

Transformée de Fourier à temps discretDTFT : définition, propriétés et calcul

Largeur de bande d"un signal

Comme le spectre d"un signal à temps discret est une fonction périodique de période 2pour!, un signalà bande complète occupera en entier l"étendu des fréquences, soit!. Un signalà bande limitéen"occupera quant à lui qu"une portion de cet étendu. Comme dans le cas des signaux continus,un signal à bande limité idéal(c"est-à-direnul en dehors d"un intervalle de fréquences) ne peut être généré.Analyse fréquentielle38 / 194 Transformée de Fourier à temps discretDTFT : définition, propriétés et calcul

Calcul de la DTFT avec Matlab

Évaluer la DTFT d"une séquence dans Matlab estune tâche plutôt ardue. On préférera évaluer celles-ci à la main. C"est une fois la DTFT obtenue queMatlab peut s"avérer très utile avec des fonctions commeabs,angle,unwrap,realetimag.Analyse fréquentielle39 / 194 Transformée de Fourier à temps discretDTFT : définition, propriétés et calcul

Calcul de la DTFT avec Matlab

Considérons par exemple la DTFT suivante :

X(ei!) =0:0080:033ei!+0:05e2i!0:033e3i!+0:008e4i!1+2:37ei!+2:7e2i!+1:6e3i!+0:41e4i! À l"aide de Matlab,on peut facilement obtenir ses représentations graphiques.Analyse fréquentielle40 / 194 Transformée de Fourier à temps discretDTFT : définition, propriétés et calcul

Calcul de la DTFT avec Matlab

t/ t/ t/ t/

Analyse fréquentielle41 / 194

Transformée de Fourier à temps discretDTFT : définition, propriétés et calcul

Calcul de la DTFT avec Matlab

MATLAB

>> k = 50; >> num = [0.008 -0.033 0.05 -0.033 0.008]; >> den = [1 2.37 2.7 1.6 0.41]; >> w = 0:pi/(k-1):pi; >> h = freqz(num, den, w);

Analyse fréquentielle42 / 194

Transformée de Fourier à temps discretDTFT : définition, propriétés et calcul

Calcul de la DTFT avec Matlab

MATLAB

>> subplot(2,2,1) >> plot(w/pi,real(h));grid >> title("Real part") >> xlabel("\omega/\pi"); ylabel("Amplitude") >> subplot(2,2,2) >> plot(w/pi,imag(h));grid >> title("Imaginary part") >> xlabel("\omega/\pi"); ylabel("Amplitude") >> subplot(2,2,3) >> plot(w/pi,abs(h));grid >> title("Magnitude Spectrum") >> xlabel("\omega/\pi"); ylabel("Magnitude") >> subplot(2,2,4) >> plot(w/pi,angle(h));grid >> title("Phase Spectrum") >> xlabel("\omega/\pi"); ylabel("Phase, radians")Analyse fréquentielle43 / 194 Transformée de Fourier à temps discretRéponse en fréquence d"un système

Définition

Laréponse en fréquences d"un système LTIfournit une description complète du système dans le domaine fréquentiel. La réponse en fréquence estla DTFT de la réponse impulsionnelleh[n].

H(ei!) =1X

n=1h[n]ei!nAnalyse fréquentielle44 / 194 Transformée de Fourier à temps discretRéponse en fréquence d"un système

Définition

Comme tout DTFT qui se respecte,H(ei!)est une fonction complexe et peut être exprimée en terme de composantes réelle et imaginaire, de même qu"en fonction de son amplitude et de sa phase :

H(ei!) =H<(ei!) +H=(ei!) =H(ei!)ei(!)

La quantité

H(ei!)sera laréponse en amplitudedu système, tandis que(!)sera saréponse en phase.Analyse fréquentielle45 / 194 Transformée de Fourier à temps discretRéponse en fréquence d"un système

Définition

Rappelons que si la réponse en fréquencesH(ei!)est une fonction complexe,il n"en est pas de même pour les réponses en amplitude et en phase, qui sont des fonctions réelles. Pour un système ayant une réponse impulsionnelle réelle, on trouvera quela réponse en amplitude est une fonction paire, tandis quelaquotesdbs_dbs9.pdfusesText_15

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