[PDF] Chapitre III : Réponse indicielle dun système linéaire 1. Définitions

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Spéciale PSI - Cours "Electronique des signaux et systèmes"1 Approfondissement de l'électronique des systèmes linéaires Chapitre III : Réponse indicielle d'un système linéaire

Les analyses fréquentielle et temporelle conduisent, l'une et l'autre, à la fonction de transfertH(p)des systèmes. La

première utilise les aspects fréquentiels de la réponses(t)et la seconde ses aspects temporels.

1. Dénitions

1.1. Echelon

On appelleéchelon unitéoufonction de Heavisideque l'on noterau(t), la fonction dénie par : u(t)=u(t)=0pourt<0 u(t)=1pourt0 Laréponse indicielled'un système est le signal en sorties u (t)lorsque l'entréee(t)est un échelon unitéu(t). Selon

le nature physique dee(t)on donnera à "1" la dimension nécessaire ou mieux, on utilisera le signale(t)=E.u(t);la

réponse du système est alorss(t)=E.s u(t) (t)car le système est linéaire.

Etudier la réponse à l'échelonu(t)consiste à observer l'e)et d'une discontinuiténie du signal d'entrée. Cette discon-

tinuité n'est qu'un modèle mathématique : elle correpond à un signal d'entrée dont le temps d'établissement est très

inférieur aux temps caractéristiques du système. Pour un système stable, la sortie tend vers un état d'équilibre pour

t+; cet état est caractérisé par le fait que les dérivées successives par rapport au temps des(t)tendent vers

0(cela correspond au cas pratique de l'établissement d'un régime permanent continu) ; Nous admettons le résultat

suivant :la valeurnale de la réponses u(t) (t)à l'échelonu(t)est donnée par : lim t+ s u(t) (t)=lim p0 H(p)

1.2. Temps de réponse à 5% et temps de monté

Letemps de réponse à5%,notét

r , est le temps nécessaire pour que la sortie du système évolue jusqu'à ce que son

écart à la valeurnale soitdénitivementinférieur à 5% de l'écart entre la valeur initiale et la valeurnale.

Le temps de monté de10%à90%est la duréet

m nécessaire pour que la sortie du système passe de10%à90%de sa valeurnale.

Si la sortie du système sort à certains instants de l'intervalle [valeur initiale, valeurnale], on dit qu'il y adépassement.

On l'évalue en pourcentage de l'écart entre valeurs initiale etnale.

1.3. Erreur statique

L'erreur statique

s

, ou erreur de position, d'un système est l'écarte(t)s(t)en régime permanent, lorsque le signal

d'entrée est un signal échelone(t)=E.u(t): s =lim t+ [E.u(t)s(t)]

1.4.Equation di&érentielle

Soit un système linéairestabledont la fonction de transfert estH(p)= S(p) E(p) n i=0 ai.p i mk=0 b k .p k ; les signaux d'entrée et de sortie sont alors liés par l'équation di)érentielle n i=0 a i d i e dt i m k=0 b k d k s dt k

Il faut alors résoudre cette équation en tenant compte des conditions initiales. Les étapes de cette résolution sont :

recherche durégime libres 1

(t)correspondant à la solution générale de l'équation di)érentielle sans second membre ;

cette solution tend vers0pour un temps inni. recherche durégime forcés 2

(t)correspondant à une solution particulière de l'équation di)érentielle complète ; cette

solution est constante. On e)ectuetout d'abord la sommede ces deux solutionss(t)=s 1 (t)+s 2 (t)puison détermine lesconstantes

d'intégrationà l'aide des conditions initiales en utilisant éventuellement les propriétés ci-dessous :

latension aux bornes d'un condensateurest une fonctioncontinuedu temps, lecourant circulant dans une bobineest une fonctioncontinuedu temps.

Dans les paragraphes suivants nous rappelons les principaux résultats concernant les réponses indicielles desltres du1

er et du2 nd ordre.

Approfondissement de l'électronique des systèmes linéaires. Chapitre III : Réponse indicielle d'un système linéaire2

2. Cas du1

er ordre Revoir le cours de première année et notamment : - étude générale de la réponse, - excitation en courant, en tension, cas du circuitRCetRL, - bilan énergétique. Lesltres étudiés dans la suite du cours sont supposés être initialement au repos.

2.1. Passe-bas d'ordre un

La fonction de transfert est de la formeH(p)=

Ho 1+p ce qui correpond à l'équation di)érentielle ds(t) dt +s(t)=H o .e(t) la solution est alorss(t)=H o .E.(1e t l'erreur statique est s =E(1H o il n'y a pas de dépassement et le temps de réponse à5%est r 3.

Tracé de

s(t) H o .E en fonction det/

Exercice n

01:Démontrer les résultats précédents.

2.2. Passe-haut d'ordre un

La fonction de transfert est de la formeH(p)=

Hop 1+p ce qui correpond à l'équation di)érentielle ds(t) dt +s(t)=H o de(t) dt la solution est alorss(t)=H o .E.e t l'erreur statique est s =E il n'y a pas de dépassement et le temps de réponse à5%est r 3. On notera la discontinuité de la réponse indicielle ent=0.

Tracé de

s(t) Ho.E en fonction det/

Exercice n

02:Soit unltre linéaire de fonction de transfertH(p)=

1+p 1+ap avea=0,2et=1ms.

1) Déterminer à partir de l'équation di)érentielle, puis en utilisant la transformation de Laplace, la réponse indicielle dultre.

2) Tracer la réponse obtenue et déterminer les limites en

0 et en+; interpréter.

Approfondissement de l'électronique des systèmes linéaires. Chapitre III : Réponse indicielle d'un système linéaire3

3. Cas du2

nd ordre

Revoir le cours de première année et notamment : étude générale de la réponse, excitation en courant, en tension, cas du

circuitRLC, régime apériodique, critique, pseudopériodique, pseudopériode, décrément logarithmique, bilan énergétique.

Leltre étudié est un passe bas d'ordre deux supposé être initialement au repos(lesltres passe bas sont

plus intéressant pour la réponse indicielle). Réponse d'un passe-bas du second ordre, initialement au repos, à un échelon (tracé de s(t) H0.E en fct de 0 tavec=0,2;0,5;0,7;1;1,1;1,5;4)

La fonction de transfert est de la formeH(p)=

H o 1+2p+ 2 p 2 (rappel2=1/Q) cequicorrepondt>0à l'équation di)érentielle : 2d 2 s(t) dt 2 +2 ds(t) dt +s(t)=H o .Eou d 2 s(t) dt 2 +2 ods(t) dt 2o s(t)=H o 2o .Eavec o =1/ la solution est : - si>1alorss(t)=H o .E.[1e ot cht+ o sht]avec= o \b 2

1(régime apériodique)

- si=1alorss(t)=H o .E.[1e o t (1 + o t)](régime critique) - si<1alorss(t)=H o .E.[1e o t cost+ o sint]avec= o \b 1 2 (régime pseudopériodique) l'erreur statique est s =E(1H o dépassement : - en régimeapériodique et critique(1)laréponses(t)croît vers sa valeur asymptotiquelim t+ s(t)=H o E sans jamais la dépasser. Il n'y apas de dépassement.

- en régime pseudopériodique (<1)laréponses(t)dépasse régulièrement sa valeur asymptotique. Deux pics

consécutifs sont séparés par une pseudopériodeT=2/. Il en résulte un dépassementD()=

smaxHoE H o E exp/\b 1 2

00.20.40.60.81

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Tracé du dépassementDen fonction de

Approfondissement de l'électronique des systèmes linéaires. Chapitre III : Réponse indicielle d'un système linéaire4

temps de réponse : leltre passe bas d'ordre deux, initialement au repos est soumis à un échelon d'amplitudeE.On

recherche le temps de réponset r à5%en fonction du facteur d'amortissement; Pour chaque valeur de,t r est donné par l'équation t>t r on a0,95s(t) H o E1,05

cette équation ne peut être résolu que numériquement ; nous obtenons alors les courbes ci-dessous. On remarque que :

- le temps de réponset r

à5%est minimal pour=0,69

- pour>0,69le temps de réponset r

à5%varie continûment avec

- pour<0,69le temps de réponset r

à5%présente des discontinuité.

Justication des discontinuités :elles apparaîssent pour=0,69,0,43...Elles sont explicables graphiquement en obser-

vant les réponses à l'échelon pour deux systèmes d'amortissement proches (gure ci dessous) : dès qu'un des extréma relatifs

de la réponse atteint la valeurnale augmentée ou diminuée de5%, le moindre accroissement du facteur d'amortissement

entraîne une diminution brutale du temps de réponse.

Remarque : les tracés des(t)pour di)érentes valeurs decorrespondent aucas très particulier (mais le plus

courant)où le système est initialement au repos. Dans le cas général on obtient :

Approfondissement de l'électronique des systèmes linéaires. Chapitre III : Réponse indicielle d'un système linéaire5

Réponse d'un passe-bas du second ordre, conditions initiales quelconques, à un échelon (tracé de s(t) H0.E en fct de 0 tavec=0,2;0,5;0,7;1;1,1;1,5;4)

Exercice n

03:Démontrer l'expression du dépassement :D()=

s max H o E HoE =e \b 1\b2

Exercice n

04:

On considère le montage ci-dessous. L'amplicateur opérationnel est parfait. Le condensateur étant initialement déchargé, on

applique à l'entrée du montage la tension échelon : v e (t)=u(t).E(ufonction de Heaviside). Déterminer en fonction deE,r,Let

C,pourt>0:

1) la loi de variation de l'intensité

id'entrée ; tracer le graphe dei(t).

2) l'équation di)érentielle qui régit la tension de sortie

v s (t).

3) la loi de variation de la tension de sortie au cours du temps.

+8 v s v e C r,L exercice n 4 8 v s v e r,L C RR exercice n 5

Exercice n

05:

Dans le montage à A.O. parfait ci-dessus on applique une tension créneau d'amplitudeE.On posea=C

0 /C1etb= (2r+R)C 0 ,oùC 0 est déni en 2)

1) Etablir l'équation di)érentielle du

2 `eme ordre env s (t).

2) Exprimer, en fonction de

r,RetL1a valeur minimaleC 0 de la capacitéCpour laquelle le signal de sortiev s (t)évolue apériodiquement avec t.

3) Etablir, pour

C4. Réponse à une impulsion

Il est parfois utile de savoir déterminer l'évolution d'un système consécutive à une pertubation très brève pour laquelle

on ne connaît pas forcément le détail de l'évolution. On recherche un modèle mathématique d'uneimpulsiontrès

brève mais apportant tout de même de l'énergie. On considère un système linéaire (stationnaire continu) et on notes u (t)sa réponse à l'échelon unitaireu(t)(rappel u(t)=u(t)=0pourt<0 u(t)=1pourt0).quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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