Le plan est muni dun repère orthonormé (O I
http://www.vauban95.com/_media/s4138.pdf
Correction Fiche TP 7 Le plan est muni dun repère orthonormé (O
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O;. ?? i ;. ?? j ). On considère une fonction f dérivable sur l'intervalle [?3 ; 2].
Le plan est muni dun repère orthonormé ) j i
https://www.alloschool.com/assets/documents/course-434/generalites-sur-les-fonctions-exercices-non-corriges-5-1.pdf
Le plan est muni dun repère orthonormal (OI
http://thalesm.free.fr/gestclasse/documents/troisieme/pb_synthese/PS02.pdf
Amérique du Nord juin 2006 Exercice 4 7 points Le plan est muni d
doc/revbac/suite/suite
Le plan est muni dun repère orthonormal (O; ? ) Le cercle
11 mai 2018 Soit M le point du cercle trigonométrique associé à un réel x. — Le cosinus du réel x noté cosx
Corrigé bac S
https://gbrassens-lyc.spip.ac-rouen.fr/IMG/pdf/bac_s_2012_cor.pdf
S Métropole juin 2016
L'espace est muni d'un repère orthonormé (O;?i ;?j;?k) On note H le point d'intersection du plan p et de la droite d orthogonale à p et passant par ...
Exercice 1 Lespace est muni dun repère orthonormé . On considère
Le but de cet exercice est de déterminer si elle existe
PRODUIT SCALAIRE
La notion de produit scalaire est apparue pour les besoins de la physique. deux vecteurs du plan. ... Le plan est muni d'un repère orthonormé O;i.
1YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frPRODUIT SCALAIRE La notion de produit scalaire est apparue pour les besoins de la physique. Le concept relativement récent et a été introduit au milieu du XIXe siècle par le mathématicien allemand Hermann Grassmann (1809 ; 1877), ci-contre. Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton (1805 ; 1865) en 1853. I. Définition et propriétés 1) Norme d'un vecteur Définition : Soit un vecteur
u et deux points A et B tels que u =AB . La norme du vecteur u , notée u , est la distance AB. 2) Définition du produit scalaire Définition : Soit u et v deux vecteurs du plan. On appelle produit scalaire de u par v , noté u .v , le nombre réel définit par : - u .v =0 , si l'un des deux vecteurs u et v est nul - u .v =u ×v×cosu
;v , dans le cas contraire. u .v se lit " u scalaire v ". Remarque : Si AB et AC sont deux représentants des vecteurs non nuls u et v alors : u .v =AB .AC =AB×AC
×cosBAC
2YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frExemple : Vidéo https://youtu.be/CJxwKG4mvWs Soit un triangle équilatéral ABC de côté a.
AB .AC =AB×AC
×cosBAC
=a×a×cos60° =a 2×0,5
a 2 2 Attention : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel. Ecrire par exemple u .v =0est une maladresse à éviter ! 3) Propriété de symétrie du produit scalaire Propriété : Pour tout vecteur
u et v , on a : u .v =v .uDémonstration : On suppose que
u et v sont non nuls (démonstration évidente dans la cas contraire). u .v =u ×v×cosu
;v =v ×u×cosu
;v =v ×u×cos-v
;u =v ×u×cosv
;u =v .u4) Opérations sur les produits scalaires Propriétés : Pour tous vecteurs
u v et w , on a : 1) u .v +w =u .v +u .w 2) u .kv =ku .v , avec k un nombre réel. - Admis -3YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 5) Identités remarquables Propriétés : Pour tous vecteurs
u et v , on a : 1) u +v 2 =u 2 +2u .v +v 2 2) u -v 2 =u 2 -2u .v +v 2 3) u +v u -v =u 2 -v 2Démonstration pour le 2) :
u -v 2 =u -v u -v =u .u -u .v -v .u +v .v =u 2 -2u .v +v 2II. Produit scalaire et norme Soit un vecteur
u , on a : u .u =u ×u×cosu
;u =u 2×cos0=u
2 et u .u =u 2On a ainsi :
u 2 =u .u =u 2Propriété : Soit
u et v deux vecteurs. On a : u .v 1 2 u 2 +v 2 -u -v 2 et u .v 1 2 u +v 2 -u 2 -v 2Démonstration de la première formule :
u -v 2 =u -v 2 =u 2 -2u .v +v 2 =u 2 -2u .v +v 2 donc u .v 1 2 u 2 +v 2 -u -v 24YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frPropriété : Soit A, B et C trois points du plan. On a :
AB .AC 1 2 AB 2 +AC 2 -BC 2Démonstration :
AB .AC 1 2 AB 2 +AC 2 -AB -AC 2 1 2 AB 2 +AC 2 -CB 2 1 2 AB 2 +AC 2 -BC 2Exemple : Vidéo https://youtu.be/GHPvfaHnysg
CG .CF 1 2 CG 2 +CF 2 -GF 2 1 2 6 2 +7 2 -3 2 =38 III. Produit scalaire et orthogonalité 1) Vecteurs orthogonaux Propriété : Les vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si u .v =0. Démonstration : Si l'un des vecteurs est nul, la démonstration est évidente. Supposons le contraire.
u .v =0 ⇔u ×v×cosu
;v =0 ⇔cosu ;v =0Les vecteurs
u et v sont orthogonaux5YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 2) Projection orthogonale Définition : Soit une droite d et un point M du plan. Le projeté orthogonal du point M sur la droite d est le point d'intersection H de la droite d avec la perpendiculaire à d passant par M. Propriété : Soit
u et v deux vecteurs non nuls du plan tels que u =OA et v =OB . H est le projeté orthogonal du point B sur la droite (OA). On a : u .v =OA .OB =OA .OHDémonstration :
OA .OB =OA .OH +HB =OA .OH +OA .HB =OA .OHEn effet, les vecteurs
OA et HB sont orthogonaux donc OA .HB =0 . Exemple : Vidéo https://youtu.be/2eTsaa2vVnI Soit un carré ABCD de côté c. AB .AC =AB .AB =AB 2 =c 2 IV. Produit scalaire dans un repère orthonormé Le plan est muni d'un repère orthonormé O;i ;j . Propriété : Soit u et v deux vecteurs de coordonnées respectives x;y et x';y' . On a : u .v =xx'+yy' . Démonstration : u .v =xi +yj .x'i +y'j =xx'i .i +xy'i .j +yx'j .i +yy'j .j =xx'i 2 +xy'i .j +yx'j .i +yy'j 2 =xx'+yy' car i =j =1 , le repère étant normé, et i .j =j .i =0le repère étant orthogonal. Exemple : Vidéo https://youtu.be/aOLRbG0IibY Vidéo https://youtu.be/cTtV4DsoMLQ Soit
u 5;-4 et v -3;7 deux vecteurs. u .v =5×-3 +-4×7=-15-28=-43
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