[PDF] Le plan est muni dun repère orthonormal (O; ? ) Le cercle

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Lycée JANSON DE SAILLY11 mai 2018

TRIGONOMÉTRIE2nde10

IREPÉRAGE SUR UN CERCLE

1CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE

Le plan est muni d"un repère orthonormal?O;?ı,??? Le cercle trigonométrique est le cercleCde centre O, de rayon 1 orienté dans le sens direct.

OIJ#»i#»

j C

2ENROULEMENT DE LA DROITE RÉELLE SUR LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE

Le plan est muni d"un repère orthonormal?O;?ı,??? La droiteDest tangente enIau cercle trigonométriqueC. Aest le point de coordonnées(1;1). La droiteDest munie du repère(I;A). Par enroulement de la droite réelleDsur le cercle trigonométriqueC: — àtout point de la droite d"abscissexon peutassocier un unique pointM du cercle trigonométrique, image du réelx; — tout pointMdu cercle trigonométrique est l"image d"une infinité de réels. Si le pointMest associé à un réelx, alors il est associé à tout réel de la formex+k×2πoùkest un entier relatif.

OIJ#»i#»

j D A 1x M C

3MESURE D"UN ANGLE EN RADIAN

DÉFINITION

SoitCle cercle trigonométrique de centre O, de rayon 1. Un radian est la mesure d"un angle au centre qui intercepte lecercleC suivant un arc de longueur 1.

OIJ#»i#»

j M 1 rad

REMARQUE:

Les mesures en radians et en degrés d"un angle géométrique sont proportionnelles : xen radians0π 6 4 3 2 2π 3π

A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 1 sur8

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VALEURS REMARQUABLES

OIJ

43π4

3π

4-π4π

65π6

5π

6-π6π

32π3

2π

3-π3π

2 2

IICOSINUS ET SINUS D"UN NOMBRE RÉEL

1DÉFINITION

SoitMle point du cercle trigonométrique associé à un réelx. — Le cosinus du réelx, noté cosx, est l"abscisse du pointM. — Le sinus du réelx, noté sinx, est l"ordonnée du pointM. OIJ M cosxsinx x

2PROPRIÉTÉS

— Pour tout réelxet pour tout entier relatifk, cos(x+k×2π)=cosxet sin(x+k×2π)=sinx

— Pour tout réelx,-1?cosx?1 et-1?sinx?1

— Pour tout réelx, cos2x+sin2x=1

EXEMPLE:

Sachant que sinx=-?

5

3avec-π2

Pour tout réelx, cos2x+sin2x=1 donc cos2x+5

9=1, soit cos2x=49.

Il existe deux valeurs possibles du cosinus :

cosx=-2

3ou cosx=23

Comme-π

20 donc cosx=23.

A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 2 sur8

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3VALEURS REMARQUABLES

x0π 6 4 3 2 cosx1 ?3 2 ?2 2 1 20 sinx01 2 ?2 2 ?3 21
O 6 ?3 21
2 4 ?2 2? 2 2 3 1 2? 3 2 21
1

4ANGLES ASSOCIÉS

Pour tout réelx:

cos(-x)=cosx sin(-x)=-sinx OIJ M N x -x

MetNsont symétriques par

rapport à (OI)

Pour tout réelx:

cos(π-x)=-cosx sin(π-x)=sinx OIJ MN xπ-x

MetNsont symétriques par

rapport à (OJ)

Pour tout réelx:

cos(π+x)=-cosx sin(π+x)=-sinx OIJ M N xπ+x

MetNsont symétriques par

rapport àO

EXEMPLES:

1. cos

4π

3=cos?

π+π3?

=-cosπ3=-12

2. sin

3π

4=sin?

π-π4?

=sinπ4=? 2 2

5ÉQUATIONS

—Équationcosx=cosa

sont :?x=a+k×2π x=-a+k×2πoùkest un entier relatif. OIJ M(a) N(-a) cosa

A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 3 sur8

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—Équationsinx=sina

Soitaunréeldonné. Lessolutions dansRde l"équation sinx=sina sont :?x=a+k×2π x=π-a+k×2πoùkest un entier relatif. OIJ

M(a)N(π-a)

sina

EXEMPLES:

1. Résoudre dansRl"équation cosx=?

3 2

Comme cos

6=? 3

2l"équation est équivalente à l"équation cosx=cosπ6

OIJ 6 6 cosπ6

Les solutions dansRde l"équation cosx=?3

2. Résoudre dansRl"équation sinx=sin7π

10. OIJ 7π

10π-7π10

sin7π10

Les solutions dansRde l"équation sinx=sin7π10sontx=7π10+k×2πoux=3π10+k×2πaveckentier

relatif.

A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 4 sur8

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EXERCICE 1

1. Convertir en radians les mesures d"angle géométriques donnés en degrés :

quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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