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Chapitre 1

Géométrie ordonnée

Nous adoptons dans ce livre le point de vue formaliste de Hilbert dansLes fondements de la géométrie[7]. On appellegéométriela donnée d"un ensemble appeléespace, dont les éléments sont appelés lespoints , de sous-ensembles ap- pelésdroitesetplans, et d"une liste d"axiomes, qui sont des énoncés considérés comme vrais dans ladite géométrie. Nous ne donnons pas de définition des mots points,droites,plans, cela conduirait de toute façon à des cercles logiques. Les axiomes sont les règles d"usage de ces mots permettant de construire le discours de la démonstration. Ainsi les démonstrations peuvent être vérifiées de manière purement langagière, indépendamment de toute signification des termes utilisés. C"est notre critère de vérité. Cela n"exclut pas le recours à la signification de ces termes, ni à l"intuition visuelle, pourcomprendreces démonstrations (cela est même vivement conseillé!). Dans la première partie de cet ouvrage, on s"intéresse à la géométrie absolue. Il s"agit d"une géométrie vérifiant les axiomes d"incidence (axiomes 1 à 6), d"ordre (axiomes 7 à 11), et de déplacement (axiomes 12 à 22). Dans ce chapitre, on commence par étudier la géométrie ordonnée. C"est une géométrie vérifiant les axiomes d"incidence (axiomes 1 à 6) et d"ordre (axiomes

7 à 11). On trouvera en annexe à la fin de l"ouvrage la liste des axiomes.1.1 Axiomes d"incidence

1.1.1 Entre un point et une droiteAu sens ensembliste, un point peutappartenir àune droite. Pour des ques-

tions de style, nous utiliserons librement les formulations équivalentes suivantes : le point estsitué surla droite, le point estun point dela droite, la droitecontient le point, la droitepasse parle point. Nous utiliserons par ailleurs le symbole d"appartenance?lorsque cela permet d"alléger l"exposé.978

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4CHAPITRE 1. GÉOMÉTRIE ORDONNÉE

Axiome 1Une droite contient au moins deux points distincts. Par deux points distincts passe une droite et une seule. SiAetBsont deux points distincts, on note (AB) la droite passant parAetB. Cet axiome implique que deux droites distinctes (au sens où il existe un point de l"une n"appartenant pas à l"autre) ont au plus un point commun. Lorsqu"elles ont exactement un point commun, on dit qu"elles sontsécantes. Si deux droites d 1 etd 2 sont sécantes en un pointM, on s"autorisera à noterd 1 ∩d 2 =M. Axiome 2Étant donnée une droite, il existe un point non situé sur cette droite.

1.1.2 Entre un point et un plan

Au sens ensembliste, un point peutappartenir àun plan. On utilisera les formulations équivalentes suivantes : le point estsitué surle plan, le point est un pointduplan, le plancontientle point, le planpasse parle point. On dit que des points sontalignéss"ils appartiennent à une même droite. Axiome 3Un plan contient au moins trois points non alignés. Par trois points non alignés passe un plan et un seul. SiA,B,Csont trois points non alignés, on note (ABC) le plan passant parA, B,C. Axiome 4Étant donné un plan, il existe un point non situé sur ce plan.

1.1.3 Entre une droite et un plan

Axiome 5Si deux points d"une droite appartiennent à un plan alors tous les points de la droite appartiennent au plan.

Soitdune droite, et soit Π un plan.

-Sidet Π n"ont aucun point commun, on dit que la droitedestparallèle au plan Π, et on noted?Π. -Sidet Π ont un unique pointMcommun, on dit quedet Π sontsécants enM,etonnoted∩Π=M. -Sidet Π ont deux points communs, alors, d"après l"axiome 5, tous les points dedsont contenus dans Π, auquel cas on dit quedestcontenue dansΠ, et on noted?Π.

1.1.4 Entre deux droites

Proposition 1.1Étant donnés un point et une droite ne passant pas par ce point, il existe un unique plan contenant la droite et le point.

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1.1. AXIOMES D"INCIDENCE5

Preuve.SoitAun point, soitdune droite ne passant pas parA.SoientBetC deux points ded, non confondus (axiome 1). Alors le plan (ABC)contientla droited(axiome 5), et c"est le seul possible (axiome 3). Proposition 1.2Si deux droites sont sécantes, alors il existe un unique plan contenant ces deux droites.

Preuve.Soientdetd

deux droites sécantes en un pointO.SoitAun point de d distinct deO,alorsAn"appartient pas àd(axiome 1). D"après la proposition précédente, il existe un plan et un seul contenantAetd.CeplancontientA etO,doncilcontientd . Il ne peut y avoir d"autre plan contenantdetd .En effet un tel plan contientdetA, son unicité est donc garantie par la proposition précédente. On dit que deux droites sontcoplanairessi elles sont situées dans un même plan. Entre deux droites distinctesdetd trois cas sont possibles : - Les droites sont coplanaires et sécantes. - Les droites sont coplanaires et non sécantes, auquel cas on dit qu"elles sont parallèles. Lorsque deux droitesdetd sont parallèles, on noted?d - Les droites sont non coplanaires et non sécantes.

Lorsque les droitesdetd

ne sont pas distinctes, on pourra aussi dire qu"elles sontconfondues.

1.1.5 Entre deux plans

Axiome 6Si deux plans ont un point commun, alors ils ont un deuxième point commun distinct du premier. Des axiomes 3, 5 et 6, on déduit facilement qu"entre deux plans distincts Π et deux cas sont possibles. Soit les points communs aux deux plans sont les points d"une droited, auquel cas on dit que les plans sontsécants,etonnote =d. Soit les deux plans n"ont aucun point commun, auquel cas on dit qu"ils sontparallèles,cequel"onnoteΠ?Π . Lorsque les plans Π et Π ne sont pas distincts, on pourra aussi dire qu"ils sontconfondus. Proposition 1.3Si deux plans sont parallèles, et si un troisième les coupe tous deux, alors les droites d"intersection sont parallèles.

Preuve.Soient Π et Π

deux plans parallèles. Supposons qu"un troisième plan coupe Π suivant une droitedet Π suivant une droited .Lesdroitesdetd ne peuvent être sécantes, sinon les plans Π et Π seraient sécants. Par ailleursdet d sont coplanaires. On en conclut qued?d

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6CHAPITRE 1. GÉOMÉTRIE ORDONNÉE

Proposition 1.4 (Théorème du toit)SoientΠetΠ deux plans sécants sui- vant une droitek. S"il existe une droitedcontenue dansΠ, et une droited contenue dansΠ ,tellesqued?d , alors les droitesketdsont parallèles ou confondues. Preuve.Supposons que les droitesketdne sont pas parallèles. Comme elles sont coplanaires, elles ont un point communA.LepointAn"est pas surd ,car d?d . On en déduit qu"il existe un unique plan contenantAetd . Or, d"une part le plan Π contientAetd , d"autre part le plan défini par les droitesdet d contientAetd . Donc ces deux plans sont confondus, ce qui prouve quedest dans Π .Onenconclutquedest la droite d"intersection de Π et Π ,ainsidetk sont confondues.

1.2 Axiomes d"ordre

Axiome 7Pour tout triplet(A,B,C)de points alignés deux à deux distincts, il existe une relation binaire s"énonçant ainsi : soitBest entreAetC,soitB n"est pas entreAetC.

Axiome 8SiBest entreAetC,alorsBest entreCetA.

Axiome 9SiBest entreAetC,alorsAn"est pas entreBetC. Axiome 10SiAetBsont deux points distincts, alors il existe un pointC aligné avecAetBtel queBsoit entreAetC. SiAetBsont deux points, on appellesegmentABl"ensemble des points situés entreAetB. D"après l"axiome 8, les segmentsABetBAcontiennent les mêmes points. On dit queAetBsont lesextrémitésdu segmentAB. Puisque la relationêtre entreporte sur des points deux à deux distincts, d"une part les pointsAetBn"appartiennent pas au segmentAB, d"autre part le segmentAAest vide. On dit qu"un segment dont les extrémités sont confondues est unsegment nul. On appellesegment fermé[AB] l"union du segmentABet des pointsAetB. On dit qu"une droitedcoupeun segment non nulABsidest sécante avec la droite (AB), et si le point d"intersection appartient au segmentAB(il est donc distinct deAetB). Axiome 11 (Pasch)SoientA,B,C, trois points non alignés, etdune droite ne passant par aucun de ces trois points. Sidcoupe un des trois segmentsAB,

BC,ouCA,alorsden coupe un second.

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1.2. AXIOMES D"ORDRE7

Figure1.1 - Lemme de Pasch

Lemme 1.5 (Pasch)SoientA,B,Ctrois points non alignés (figure 1.1). Soit Iun point de la droite(BC)tel queCsoit entreIetB.Soitdune droite passant parI.Siladroitedcoupe un des segmentsACouAB, alors elle coupe l"autre. De plus, siJetKsont les points d"intersection respectifs dedavecACetAB, alorsJest entreIetK. Preuve.Étudions le cas où la droitedcoupelesegmentABenK, l"autre cas se traitant de façon analogue. PuisqueCest entreIetB,In"est pas entreCetB (axiome 9). Il en résulte que la droitedne coupe pas le segmentBC. Par ailleurs, la droitedne passe ni parA,niparB, car elle coupe le segmentAB, et elle ne passe pas parC, sinon elle serait confondue avec la droite (IC), et passerait donc parB. D"après l"axiome de Pasch, la droitedcoupe nécessairement le segment ACen un pointJ. Il reste à prouver queJest entre

IetK. Il suffit d"appliquer

la première partie du lemme de Pasch, que nous venons de démontrer, aux points

B,I,K,etàladroite(AC).

Proposition 1.6SiAetBsont deux points distincts, alors il existe un point

Ksitué entreAetB.

Preuve.D"après l"axiome 2 , il existe un pointJn"appartenant pas à la droite (AB) (figure 1.1). D"après l"axiome 10, il existe un pointCtel queJsoit entre AetC,etunpointItel queCsoit entreBetI. Il suffit alors d"appliquer le lemme de Pasch aux pointsA,B,Cpour démontrer que la droite (IJ)coupele segmentABen un pointK. Proposition 1.7Si trois points deux à deux distincts sont alignés, alors l"un d"entre eux est situé entre les deux autres. Preuve.SoientA,B,Ktrois points alignés et deux à deux distincts. Supposons queAn"est pas entreBetK,etqueBn"est pas entreAetK, démontrons que Kest entreAetB(figure 1.1). SoitJun point n"appartenant pas à la droite

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8CHAPITRE 1. GÉOMÉTRIE ORDONNÉE

(AB) (axiome 2). SoitIun point tel queJsoit entreIetK. On applique le lemme de Pasch aux pointsB,I,K, ce qui prouve que la droite (AJ)coupe le segmentBIen un pointC,etqueJest entreAetC. On applique alors le lemme de Pasch aux pointsA,B,C, ce qui prouve que la droite (IJ)coupele segmentAB. Comme le point d"intersection estK,onadémontréqueKest entreAetC.

Figure1.2 - Régionnement du plan

1.3 Demi-plan, demi-droite, demi-espace

1.3.1 Demi-plan

Considérons un plan Π et une droitedcontenue dans Π. On dit que deux pointsAetB, contenus dans Π mais pas dansd,sontde part et d"autrededsi la droitedcoupelesegmentAB. Dans le cas contraire, on dit queAetBsont dumême côtéded. Proposition 1.8La relationêtre du même côtéde la droitedest une relation d"équivalence 1 sur les points du planΠn"appartenant pas àd. Il y a deux classes d"équivalence pour cette relation. Une classe d"équivalence est appelée undemi-plan (ouvert).Ladroitedest ap- pelée lebord,ouencorelafrontière. Les deux demi-plans ayant le même bord sont ditsopposés. On appelledemi-plan fermél"union d"un demi-plan ouvert et de son bord. Preuve.La relation est trivialement réflexive et symétrique, il reste à prouver qu"elle est transitive. SoientA,B,CtroispointsduplanΠnonsituéssurla droited. On suppose queAetBsont du même côté ded,etqueBetCsont du

1. Pour la notion de relation d"équivalence on pourra consulter par exemple [11].

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1.3. DEMI-PLAN, DEMI-DROITE, DEMI-ESPACE9

même côté ded, on veut montrer queAetCsont du même côté ded.Dansle cas où les pointsA,B,Cne sont pas alignés, c"est une conséquence directe de l"axiome de Pasch. Dans le cas où les pointsA,B,C, sont alignés, si la droite qui les contient ne coupe pasd, c"est trivial. Si elle coupeden un pointO,soit Pun point deddistinct deO,etsoitDun point du segmentAP(figure 1.2). La droitedne coupe ni le segmentAB,nilesegmentAD. D"après l"axiome de Pasch, elle ne coupe pas le segmentBD. Comme elle ne coupe pas le segment BC, d"après l"axiome de Pasch elle ne coupe pas le segmentCD. Comme elle ne coupe pas le segmentAD, d"après l"axiome de Pasch elle ne coupe pas le segmentAC.OnenconclutqueAetCsont du même côté ded.

Figure1.3 - Régionnement du plan

Il reste à démontrer qu"il y a deux classes d"équivalence. Il y en a au moins deux. En effet soitAun point non situé surd(axiome 2), soitOun point ded,et soitBun point de la droite (AO)telqueOsoit entreAetB(axiome 10). Alors les classes d"équivalence deAetBsont deux classes distinctes. Vérifions qu"il n"y en a pas d"autres. SoitCun point n"appartenant pas à la classe d"équivalence de B, démontrons queCest dans la classe d"équivalence deA, c"est-à-dire queA etCsont du même côté ded.SilespointsA,B,Cne sont pas alignés, il suffit d"appliquer le lemme 1.9. Si les pointsA,B,Csont alignés (figure 1.3), soitP un point deddistinct deO,etsoitDun point du segmentAP. On applique le lemme de Pasch aux pointsA,B,D,etàladroited, ce qui permet de démontrer que la droitedcoupe le segmentBD.LespointsBetDsont donc de part et d"autre ded. Par ailleurs les pointsBetCsont de part et d"autre ded,etles pointsB,C,Dne sont pas alignés. On en déduit que les pointsC etDsont du même côté ded. Comme les pointsAetDsont du même côté ded, et que l"on

a déjà démontré la transitivité de la relationêtre du même côté,onenconclut

queAetCsont du même côté ded. Lemme 1.9SoientA,B,Ctrois points non alignés. Si une droitedcoupe les segmentsABetAC, alors elle ne coupe pas le segmentBC.

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10CHAPITRE 1. GÉOMÉTRIE ORDONNÉE

Preuve.Supposons que la droitedcoupe le segmentBC. NotonsP,Q,Rles points d"intersection respectifs des segmentsBC,CA,ABavec la droited(figure

1.4). Appliquons le lemme de Pasch aux pointsB,Q,C, cela prouve que la droite

(AP) coupe le segmentBQen un pointNsitué entreAetP. Par conséquent, le même lemme, appliqué aux pointsB,Q,R, permet d"affirmer que la droite (AN) coupe le segmentRQen un pointMsitué entreAetN. PuisqueNest entreAetP,Pn"est pas entreAetN(axiome 9). Par conséquent MetPsont distincts. Or ce sont deux points communs aux droitesdet (AP). Celles-ci sont donc confondues, ce qui implique queAest surd. Ceci contredit le fait quedet (AC) sont sécantes enQsitué entreAetC.Onenconclutque la droitedne coupe pas le segmentBC.

Figure1.4 - Sécante avec un triangle

1.3.2 Demi-droite

Considérons une droitedet un pointOsitué surd.SoientAetBdeux points de la droiteddistincts deO.SiOest entreAetB,onditqueAetBsontde part et d"autredeO. Sinon, on dit queAetBsontdu même côtédeO. Notons que siAetBsont du même côté deO(resp. de part et d"autre), alorsAetB sont du même côté (resp. de part et d"autre) de toute droite coupantdenO. Réciproquement, s"il existe une droite coupantdenOtelle queAetBsoient du même côté (resp. de part et d"autre) de cette droite, alorsAetBsont du même côté (resp. de part et d"autre) deO. Ceci permet de faire le lien avec l"ordre dans le plan, et nous en déduisons facilement la proposition suivante. Proposition 1.10La relationêtre du même côtédeOest une relation d"équi- valence sur les points deddistincts deO. Il y a deux classes d"équivalence pour cette relation. Une classe d"équivalence est appelée unedemi-droite (ouverte).LepointOest appelé l"origine. Les deux demi-droites ayant la même origine sont ditesoppo- sées. On appelledemi-droite ferméel"union d"une demi-droite ouverte et de son

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