[PDF] LE POINT DUN FERM´E LE PLUS VISIT´E PAR LE MOUVEMENT

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The Annals of Probability

1997, Vol. 25, No. 2, 953-996

LE POINT D'UN FERM´E LE PLUS VISIT´E

PAR LE MOUVEMENT BROWNIEN

Par Christophe Leuridan

Universit´e de Grenoble

Soit?B

t t?R+ un mouvement brownien dansR, issu de 0. Soit?L xt x?R t?R+ une version continue de ses temps locaux.F´etant un ferm´edeR, contenant

0, on s"int

´eresse au processus c`adl`ag?

AF t t?R+ ,o`uA Ft est “le" point deF le plus visit ´e`a l"instantt, c"est-`a-dire “le" pointa?Ftel queL at =L Ft ,en notantL Ft =max x?F L xt On d

´emontre que le processus?A

Ft t?R+ est` a variation localement born ee (et mˆ eme purement de sauts) et que le processus croissant?LFt t?R+ majore le temps local sym´etrique en 0 de la semi-martingale?B t -A Ft t?R+ LorsqueF=R, on montre que cette majoration est en fait une´egalit´e et que les sauts du processus?A Ft t?R+ ne sont ni isol´es, ni “oblig´es." Introduction.On consid`ere dans cet article un mouvement brownien B=?Bt t?R dansR, issu de 0,`a trajectoires continues, d´efini sur un espace probabilis

´e?????P?.?L

xt x?Rt?R d´esigne une version presque sˆurement con- tinue du temps local associ

´e`aB.

F ´etant un ferm´e non vide deR, on note pourt?R +?L Ft =sup x?F L xt

Comme presque s

ˆurement, pourt?R

, l"applicationx?→L xt est continue`a support compact,L Ft est en fait un maximum de temps locaux. On s"int´eresse aux pointsa?Fr´ealisant ce maximum, c"est-`a-dire tels queL at =L Ft : ce sont les points deFles plus visit´es par le mouvement brownienB`a l"instantt. En fait, ilyaeng´en´eral un seul point r´ealisant le maximum`a un instant donn ´e (voir Th´eor`eme 1.1.1). Des r´esultats sur le point le plus visit´e ont d´ej`a et´e obtenus par Bass, Griffin et Eisenbaum dans les cas particuliers o`uF=R etF=R+

Bass et Griffin ont publi

´e en 1985 [2] des r´esultats remarquables d´ecrivant le comportement asymptotique du plus petit point deR le plus visit´e, d´efini a tout instantt≥0 par la formule AR t =inf?x?R ?L xt =L R t

Leur r

´esultat le plus surprenant est le suivant

pour toutγ>11?A R t t -1/2 ?lnt? →+∞?commet→+∞? ce qui entra

ˆıne en particulier queA

R+ t tend vers+∞quandttend vers+∞, ce qui est loin d" ˆetre´evident. Ils ont´egalement montr´e que pour toutγ<2?liminf t→+∞ A R t t -1/2 ?lnt? =0

Received September ˆ88V0 revised May ˆ88JN

AMS1991subject classifications. 60J65, 60J55.

Key words and phrases. Brownian motion, local time, maxima of local time, most visited point. 953

954C. LEURIDAN

et limsup t→+∞ A R t ?2tln?lnt?? -1/2 =1? et ils ont transpos ´e tous ces r´esultats`a une marche al´eatoire surZ.

Dans sa th

`ese de doctorat [5], soutenue en 1989, Eisenbaum a prouv´eun th ´eor`eme d"unicit´e: presque sˆurement,`a tout instantt>0,ilyaunseul point deRle plus visit´e, sauf pour un ensemble au plus d´enombrable d"instants o`u il y a exactement deux points,B t

´etant l"un d"eux.

Eisenbaum a

´egalement obtenu plusieurs lois explicites concernant le point le plus visit ´e par une excursion, ou par le mouvement brownien au premier instant o `u le temps local en 0 atteint une valeurr>0, ainsi qu"un th´eor`eme de type “Ray-Knight" donnant la loi des temps locaux `a l"instant o`u leur max- imum surR atteint la valeur 1.

L"objet de ce travail est de d

´ecrire le comportement trajectoriel du processus du point deFle plus visit´e,F´etant un ferm´edeRfix´e. Je reprends ici l" ´etude que j"ai faite dans ma th`ese de doctorat [10], en g´en´eralisant l"un des principaux r

´esultats.

On supposera toujours que le ferm

´eFcontient le point 0, ce qui nous´evitera

le probl `eme de d´efinir le processus du point deFle plus visit´e avant le pre- mier instant d"atteinte deFpar le mouvement brownien, et ce qui simplifie certaines formules. Cette restriction ne constitue pas vraiment une perte de g ´en´eralit´e puisqu"on peut toujours se ramener`a ce cas en ne regardant le mouvement brownienBqu"`a partir de son premier instant d"atteinte deF.

Nous commençons dans la premi

`ere partie, par d´emontrer un th´eor`eme d"unicit ´eg´en´eralisant celui de Eisenbaum: nous prouvons que presque s ˆurement,`a tout instantt>0, il existe un seul pointa?Ftel queL at =L Ft sauf pour un ensemble au plus d

´enombrable d"instants o`u il y a exactement

deux points. Cet ensemble d"instants est inclus dans l"ensemble des extr

´emit´es

droites des intervalles de constance du processus?L Ft t?R

De façon imag

´ee, nous´etudions une “course de temps locaux"`a laquelle ne participent que les temps locaux index

´es par les points deF.`A tout instant,

ilyaunseul temps local en tˆete de la course, sauf pour un ensemble au plus d ´enombrable d"instants o`u un temps local en double un autre.

Eisenbaum a prouv

´ecer´esultat dans le cas o`uF=Ren utilisant le th ´eor`eme de Ray [12] donnant la loi du processus?L xT x?R pour un temps Texponentiel ind´ependant du mouvement brownien. La d´emonstration que nous donnons ici a l"avantage d" ˆetre valable pour n"importe quel ferm´eFet de n"utiliser que des propri ´et´es´el´ementaires du mouvement brownien: propri´et´e de Markov, continuit ´e des temps locaux, constance du temps local enxsur tout intervalle de temps o `u le mouvement brownien ne passe pas enx. Ce th ´eor`eme nous permet de d´efinir un processus c`adl`ag?A Ft t?R `a valeurs dansFet v´erifiant`a tout instantt?R l"´egalit´eL A Ft t =L Ft . Il montre que ce processus est constant sur les intervalles ouverts de constance de?L Ft t?R et ne peut sauter qu"aux extr

´emit´es droites de ces intervalles.

Nous prouvons

´egalement deux r´esultats utiles par la suite: presque s ˆurement l"ensemble des z´eros du processusB-A F et l"image du processus

LE MOUVEMENT BROWNIEN955

A F sont de mesure nulle. Le premier sera utile pour montrer que le processus A F est`a variation born´ee. L"un des referees m"a fait remarquer que pourF=R, le second r´esultat se d ´eduisait facilement du th´eor`eme de Bass et Griffin assurant que?A Rt quandt→+∞, et qu"il permettait de montrer que le processusA R est de saut plus simplement que je le faisais dans [10]: cette nouvelle d

´emonstration

n"utilise plus le calcul difficile de la quatri `eme partie.

Il m"a sugg

´er´e aussi que l"on pourrait peut-ˆetre prouver le r´esultat pour un ferm ´eFquelconque, ce que j"ai r´eussi`a faire depuis.

Le processusA

F ´etant`a variation born´ee et purement de sauts, la diff´erence B-A F est donc une semi-martingale poss´edant une famille continue de temps locaux?λ xt x?Rt?R . Le fait que l"ensemble des z´eros de la semi-martingale soit´egal a l"ensemble des points de croissance du processusL F conduit`a chercher unquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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