[PDF] ETOILES RELATIVISTES ET TROUS NOIRS

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Nathalie Deruelle

ETOILES RELATIVISTES ET TROUS NOIRS

Fluides newtoniens auto-gravitants

1. Equations d"Euler et de Poisson

Nous consid´erons ici desfluides parfaits, caract´eris´es par leur densit´e de masse?(t,xα), leur pression

p(t,xα) et leur champ de vitessev(t,xα), dont les mouvements ou configurations d"´equilibre sont d´etermin´es

par leur ´equation d"´etat (p=p(?) pour un fluide barotropique) et par le potentiel de gravitationU(t,xα)

cr´e´e en un point par les autres ´el´ements du fluide.

Les ´equations `a r´esoudre sont donc, une ´equation d"´etat ´etant donn´ee : les ´equations de continuit´e,

d"Euler et de Poisson, qui s"´ecrivent, en rep`ere inertiel et coordonn´ees quelconquesxα: ∂?∂t =-? ·(?v),dvdt ≡∂v∂t + (v· ?)v=-?U-1? ?p ,?U= 4π G? , p=p(?).(1)

Le fluide est stationnaire si aucune grandeur ne d´epend explicitement du temps ; statique si de plusv= 0.

Lesconditions de raccordement`a la surface Σ du fluidexr=Const.se lisent sur les ´equations (1) : si?

y subit une discontinuit´e finie, l"´equation de Poisson implique queUet∂rUy sont continus (car l"int´egrale

d"une fonction discontinue est continue) ; l"´equation de continuit´e impose ensuite quevrsoit nul en Σ (pour

´eliminer le terme en∂r?qui est une distribution) ; l"´equation d"Euler dit enfin que∂rpsubit au plus une

discontinuit´e finie en Σ et par cons´equent quepy est continu, de sorte quep= 0 en Σ puisquep= 0 `a

l"ext´erieur du fluide. L"´energie gravitationnelle du fluide est donn´ee par W=12 ?U dV=-18πG? (?U)2dV(2)

o`u la premi`ere int´egrale est prise sur tout le volume du fluide, la seconde sur tout l"espace (l"une se d´eduisant

de l"autrevial"´equation de Poisson) et o`udV=⎷detedx1dx2dx3, dete´etant le d´eterminant des coefficients

de la m´etrique dans les coordonn´eesxα.

2. Equations des mod`eles statiques `a sym´etrie sph´erique

Consid´erons une distribution de mati`ere `a sym´etrie sph´erique confin´ee enr < r0(rest la coordonn´ee

radiale des coordonn´ees sph´eriques) cr´eant un champ de gravitation `a sym´etrie sph´erique lui-aussi de sorte que

U=U(t,r). A l"ext´erieur de la mati`ere l"´equation de Laplace,?U= 0, se r´eduit `a :d2Udr 2+2r dUdr =(r2U?)?r 2= 0 dont la solution est r > r

0:U=-GMr

(1)

o`uGMest une "constante" d"int´egration ne d´ependant que du temps (U´etant d´efini `a une constante additive

pr`es, on peut poser cette derni`ere `a z´ero). Remarquons que, en accord avec le th´eor`eme de Gauss, la solution

vaut quel que soit le mouvement de la mati`ere cr´eant ce champ du moment qu"il reste `a sym´etrie sph´erique.

Supposons maintenant que la distribution de mati`ere soit de plus statique :?=?(r),v= 0. A l"int´erieur

de la mati`ere les ´equations d"Euler et de Poisson se r´eduisent alors `a r < r

0:dpdr

=-?dUdr ,ddr r 2dUdr = 4πG?r2.(2)?

Cette section est extraite du livre "M´ecanique et Gravitation Newtoniennes" par N.D. et J.P. Uzan, Vuibert, 2006

1

Ces ´equations peuvent se r´e´ecrire sous la forme d"un syst`eme d"´equations diff´erentielles du premier ordre

selondmdr = 4π?r2,dUdr =Gmr

2,d?dr

=-?dp/d? dUdr .(3)

Une ´equation d"´etatp=p(?) ´etant donn´ee, le syst`eme (2) ou (3) s"int`egre (num´eriquement le cas ´ech´eant)

avec comme conditions initiales : m(0) = 0, U(0) =U0, ?(0) =?0.(4)

La valeur choisie pourU0est sans importance car le potentiel est d´efini `a une constante pr`es ; on peut le

renormalisera posterioripour qu"il soit nul `a l"infini. On voit ainsi que, pour une ´equation d"´etat donn´ee, il

existe tout une famille de mod`eles param´etr´ee par la densit´e centrale?0.

L"int´egration s"ach`eve au point o`u la pression s"annulle, qui d´efinit le rayonr0de la distribution et sa

masseM=m(r0).

Cas d"une densit´e constante

Dans l"exemple o`u la densit´e est constante les ´equations (2) s"int`egrent `a vue :

U(r) =D+2πG3

?r2, p(r) =p0-2πG3 ?2r2(5)

(o`u on a exclu un terme en1/rdans l"expression du potentiel pour qu"il reste fini `a l"origine). La solution ext´erieure est

donn´ee par (1). Les conditions de continuit´e deUetdUdr et de nullit´e dep`a la surface du fluide d´eterminentD,GMet p

0selon

M=4π3

?r30, D=-3GM2r0, p

0=GM?2r0,(6)

de sorte que

U(r) =-GM2r0?

3-r2r 20? , p(r) =GM?2r0? 1-r2r 20? .(7)

Dur´ee de vie gravitationnelle du Soleil

Le potentiel gravitationnel `a l"int´erieur d"un corps statique, `a sym´etrie sph´erique et de densit´e constante?est (cf(7)) :

U=-GM2r0?

3-r2r 20? o`ur0est le rayon de l"objet etM=4π3 ?r30sa masse. Son ´energie gravitationnelle est donc : W=12 ??UdV=-GM?4r0?? 3-r2r 20? r

2sinθdφdθdrsoit :

W=-35 GM 2r 0.(8)

|W|est l"´energie `a fournir pour disperser `a l"infini les constituants du corps. Si le corps se contracte il perd de l"´energie.

Si l"´energie rayonn´ee par le Soleil ´etait due `a une telle contraction, quelle serait alors sa dur´ee du vie ?

En ´ecrivant

dWdt

=-4πr2TSPro`urTSest la distance Terre-Soleil, on obtient une dur´ee de vie :τ=-W/(4πr2TSPr).

Pour les donn´ees du Soleil on trouve :W=-2.3×1041Joules ; par ailleursPr≈1kwatt par m2`a la surface de la

Terre ; d"o`uτ≈2.4×107ans, alors que la dur´ee de vie du Soleil est estim´ee `a5×109ans si l"on impute son rayonnement

`a des r´eactions nucl´eaires.

3. Polytropes et ´equation de Lane-Emden

L"´equation d"´etat d"unpolytropeestp=K?γo`uKetγ≡1 +1n sont des constantes.1L"´equation d"Euler

(2.2) s"int`egre alors pour donner la densit´e en fonction du potentiel selon :?=?0θnavecθ≡C1-UK(n+1)?-1n

0;1

nest l"index polytropique,γl"index adiabatique; plusγest ´elev´e plus l"´equation d"´etat est dite "dure" ; les valeurs

γ= 5/3etγ= 4/3d´ecrivent lesnaines blanches. Pour un expos´e d´etaill´e de la physique des ´etoiles compactes, voir, par

exemple,"Objets compacts"par Eric Gourgoulhon, sur le site http://luth2.obspm.fr/ luthier/gourgoulhon/index-en.html. Voir

aussi"The fundamentals of stellar structure"par A. Collins, 2003, sur le site http://ads.harvard.edu/books/1989fsa..book/.

2 C

1est une constante d"int´egration et?0une constante arbitraire introduite par commodit´e. L"´equation de

Poisson devient alors l"´equation de Lane-Emden 1ξ

2ddξ

2dθdξ

=-θn(1)

ξ´etant reli´e `arpar :r=αξavecα≡?K(n+1)4πG?1-n2n0. Les conditions initiales enξ= 0 sontθ(0) = 1 (ce qui

d´efinit la constante?0comme la densit´e centrale de l"´etoile) etdθdξ |0= 0 (afin que le potentielUsoit lisse `a l"origine).

On ne connait de solution analytique de l"´equation de Lane-Emden que pourn= 0 (θ0= 1-ξ2/6, cas

o`u la densit´e est constante),n= 1 (θ1= sinξ/ξ) etn= 5 (θ5= (1 +ξ2/3)-1/2). Dans les autres cas il

faut recourir `a des d´eveloppements de Taylor (θn(ξ) = 1-ξ2/6 +nξ4/120-(8n2-5n)ξ6/15120 +...) ou `a

une int´egration num´erique. Pourn >5 (γ <6/5) il s"av`ere queθn(ξ) ne s"annulle jamais et d´ecrit donc des

configurations d"extension infinie.

Une foisθn(ξ) (c.-`a-d.?oup) connu, le rayon de l"´etoile l"est aussi, en fonction deK,net?0: il est

donn´e parr0=αξavecθn(ξ) = 0. La masse est connue ´egalement :M= 4π?r0

0?r2dr= 4π?r0

0?0θnr2dr=

4π?0α3?ξ

0θnξ2dξqu"on peut r´e´ecrire, en utilisant l"´equation de Lane-Emden (1) :

M= 4π?0α3ξθ

?avecα≡?K(n+ 1)4πG?1-n2n0.(2)

On remarque que sin= 3 (γ=43

)Mne d´epend pas de la densit´e centrale ; c"est lamasse de Chandrasekhar.2 Quant au potentiel gravitationnel il est donn´e parU=-K(n+1)?1/n

0θ+C1`a l"int´erieur de l"´etoile, et

parU=-GM/r`a l"ext´erieur, ce qui d´etermineC1:C1=-GM/r0.

L"´energie gravitationnelle,Wgrav= 2π??Ur2dr, est aussi une fonction des param`etres du probl`eme

(c.-`a-d.K,net?0). Il existe en fait une relation simple entreM,r0etW, `a savoir :3 W grav=-35-nGM 2r

0soit encoreWgrav=-3(γ-1)5γ-6GM

2r 0.(3)

(Pourn= 0 on retrouve l"expression (59.8) pour une sph`ere homog`ene.) La densit´e d"´energie interne?est

d´efinie parp= (γ-1)?.4Un calcul analogue donneWint=??dV=15γ-6GMr

20. Ainsi l"´energie totale de

l"´etoile ou´energie de liaisonest

W=Wgrav+Wint=3-n5-nGM

2r

0soit encoreW=-3γ-45γ-6GM

2r

0.(4)2

Apr`es int´egration num´erique de l"´equation de Lane-Emden (1) dans ce cas particulier (n= 3) on obtient :M=

2.024⎷π

KG

3/2. Reste `a d´eterminerK; des consid´erations de m´ecanique quantique (Chandrasekhar, Landau) conduisent `a :

M= 1.46M?cfopus cit.en Note 1.

3 En effet, en utilisant l"´equation de Lane-Emden (1), on a :Wgrav2πα3?0=?ξ

0ξ2θnU=GMr

0ξ 2θ ?-K(n+ 1)?1/n

0IavecI=?ξ

0ξ2θn+1dξ. I se calcule en utilisant (1) et en effectuant des int´egrations par parties : on montre d"abord queI=?ξ

0ξ2θ?2dξ

et aussi queI=-n+13

0ξ3θ?θndξ; on montre ensuite que?ξ

0ξ3θ?θndξ=?ξ

0ξ2θ?(ξ2θ?)?dξξ

=12 3θ ?2+?ξ

0ξ2θ?2dξ); on

a ainsiI=n+16 3θ ?2+I)d"o`u on tireI=n+15-nξ 3θ ?2. On exprime enfinθ ?en fonction deM(´equation (2)), on introduit r

0=αξet on remplaceαpar sa valeur en fonction de?0.

4

En effet la force exerc´ee sur un ´el´ement du fluide de massem=?τcontenue dans un petit volumeτd´elimit´e par la surface

Sest-?

SpdS, par d´efinition de la pression (cf&31). La densit´e d"´energie associ´ee au petit volumeτ, est donc-pdV; comme

τ=m?

=?dV, on a :dV=-m?

2d?. Ainsi :-pdV=mpd??

2. Pour un polytrope :p=K?γet donc-?

τpdV=τpγ-1.

Par cons´equent la densit´e d"´energie interneest?=pγ-1. 3 Pourγ >6/5, le syst`eme est li´e siγ >4/3.

On remarque enfin que l"´equation de Lane-Emden poss`ede une propri´et´e d"homologie, `a savoir qu"elle

est invariante dans les changements d"´echelleξ?→Aξetθ?→BθsiA2Bn-1= 1,AetB´etant des constantes.

Ceci est une indication qu"elle peut ˆetre transform´ee en une ´equation du premier ordre. On voit facilement

en effet que si l"on introduit (avec Chandrasekhar) les fonctions invariantes par changements d"´echelle

u=-ξθnθ ?, v=-ξθ?θ o`uθ?≡dθdξ (5) alors l"´equation de Lane-Emden se r´e´ecrit sous la forme uv dvdu =-u+v-1u+nv-3(6)

avec comme conditions initiales :v= 0,u= 3 (qui s"obtiennent par d´eveloppement limit´e de la solution de

l"´equation de Lane-Emden (1)).

4. La sph`ere isothermale

L"´equation d"´etat d"un gaz parfait `a temp´erature constante estp=w?o`uwest constant. L"´equation

d"Euler `a sym´etrie sph´erique (2.2) d´ecrivant une tellesph`ere isothermales"int`egre en?=?0e(-U/w)et celle

de Poisson devient (r2U?)?= 4πG?0r2e(-U/w)qui peut se mettre sous une forme d"´equation de Lane-Emden :

1ξ

2ddξ

2dψdξ

=e-ψ(1) apr`es avoir pos´eU≡wψetr=αξavecα=?w

4πG?0. Les conditions initiales sontψ= 0 (ce qui d´efinit?0

comme la densit´e centrale) et dψdξ |0= 0. L"´equation (1) s"int`egre num´eriquement.5Il s"av`ere que la densit´e d´ecroˆıt et a chut´e de pr`es de la moiti´e enξ0= 3, lerayon de King.

On note que l"ansatzψ= 2logξ-ln2, dit "sph`ere isothermale singuli`ere" (car?= 2?0/ξ2diverge `a

l"origine), la r´esout (et approxime bien la solution r´eguli`ere pourξgrand).

L"´equation (1) poss`ede une propri´et´e d"homologiepuisque elle est invariante dans les transformations

ξ?→eB/2ξ,ψ?→ψ+B,B´etant une constante. En introduisant les fonctions invariantes d"´echelle (ditesde

Milne)

u=ξe-ψdψ/dξ , v=ξdψdξ (2)

on peut donc la r´e´ecrire (la solution singuli`ere ´etant exclue) sous forme d"une ´equation du premier ordre

uv dvdu =-u-1u+v-3(3)

avec comme conditions initialesv= 0,u= 3 (qui s"obtiennent par d´eveloppement limit´e de la solution de

(1)).

Th´eorie cin´etique et sph`ere isothermale

Consid´erons un syst`eme deNparticules identiques de massemn"interagissant que gravitationnellement. Nous

supposons le syst`eme isol´e si bien que son ´energie totaleEainsi queNsont constantes (descriptionmicrocanonique).

Dans un ´etat sationnaire un tel syst`eme est d´ecrit statistiquement par une fonction de distributionf(R,v)telle que

fd

3Xd3Vrepr´esente le nombre de particules dans le volumed3Xcentr´e enXαdont les composantes de la vitessevsont

comprises entreVαetVα+dVα(Xα´etant des composantes cart´esiennes deRdans un rep`ere inertiel).

Si la fonction de corr´elation `a deux points de la distribution peut ˆetre n´eglig´ee alors,cf& 42,fsatisfait `a l"´equation

de Boltzmann stationnaire, que l"on peut ´ecrire selon v· ?f-∂f∂v

· ?U= 0 (4)5

Voir par exemple "Galactic dynamics"par J. Binney et S. Tremaine, Princeton University Press, 1994. 4

o`uUest le potentiel gravitationnel moyen cr´e´e par la distribution (cf& 47 l"expression deWen fonction deU).

L"´energie totale du syst`eme est la somme de ses ´energies cin´etique et gravitationnelle, soit (cf& 47 ; nous noterons ici

l"´energie cin´etique parK, et non parT) :

E=K+Wavec?

??K=m2 v

2f(R,v)d3Xd3V

W=12 ?Ud

3X=-18πG?

(?U)2d3X .(5)

La fonction de distribution

f(R,v) =?0m

βm2π?

3/2 e-βm(12 v2+U)(6)

o`u?0etβsont des constantes r´esout l"´equation de Boltzmann et extr´emise l"entropie, d´efinie parS=-?flnf d3Xd3V,

`aEetNconstants.6On en d´eduit que la densit´e massique?et l"´equation de Poisson que doit satisfaire le potentiel

moyenU, donn´ees par :?=m?f(R,v)d3Vet?U= 4πG?, sont ?=?0e-βmU,?U= 4πG?0e-βmU.(7)

Ainsi la fonction de distribution (6) d´ecrit-elle une sph`ere isothermale d"´equation d"´etatp=w?avecw=1βm

On d´eduit aussi de (6) et (5) par une int´egration ´el´ementaire que l"´energie cin´etique de ce gaz parfait estK=3N2β

ce qui permet d"identifierβ`a l"inverse de la temp´erature :β=1kT o`ukest la constante de Boltzmann. Enfin c"est en

utilisant le th´eor`eme du viriel scalaire :2K+W= 0(cf& 35) que l"on obtient le plus facilement l"´energie gravitationnelle

Wde la distribution. En r´esum´e

K=32

NkT , W=-2K ,E=-K ,(8)

de sorte que lachaleur sp´ecifiquedu syst`eme,CV=dEdT V,N, qui caract´erise l"accroissement d"´energie lorsqu"on augmente la temp´erature est donn´ee par C V=-32

Nk <0.(9)

Ainsi, en perdant de l"´energie (E<0) le syst`eme devient plus chaud et se contracte. Ceci implique qu"un syst`eme

auto-gravitant ne peut pas ˆetre, sous les hypoth`eses faites, `a l"´equilibre thermodynamique.

7

5. Sph´ero¨ıdes de MacLaurin

Le potentiel gravitationnel `a l"int´erieur d"un ellipso¨ıde de r´evolution homog`ene limit´e par la surface

d"´equation X

2+Y2+Z21-e2=a2,(1)6

L"´equation d"extr´emisation deSest, en introduisant les multiplicateurs de Lagrangeαetβ(cf& 37) :δS-βδE -

αδN= 0. Seul le calcul deδWrequiert un peu d"attention. On a :δW=12 ?(Uδ?+?δU)d3Xmais aussiδW=

18πG?δ(?U)2d3X=??δUd3Xapr`es int´egration par partie et utilisation de l"´equation de Poisson. Ainsi :??δUd3X=?Uδ?d3XetδW=?Uδ?d3X=m?Uδf d3Xd3V. Par cons´equent l"´equation d"extr´emisation est

δS=?

lnf+βm(12 v2+U)(α+ 1)?

δf d

3Xd3V= 0

dont la solution est bien (6) apr`es red´efinition de la constanteα. 7

Une telle instabilit´e peut conduire `a unecatastrophe gravothermale,cfD. Lynden-Bell et R. Wood, Month. Not. Roy.

Astron. Soc., 157 (1968) 495.

5 solution de l"´equation de Poisson?U= 4πG?avec?=const, a ´et´e obtenu par Mac Laurin :8

U(X,Y,Z) =-πG??1-e2?a2I-(X2+Y2)A1-Z2A3?avec?

??????I= 2Arcsinee A

1=Arcsine-e⎷1-e2e

3 A

3= 2e-⎷1-e2Arcsinee

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