[PDF] Ensembles de nombres rationnel et que le produit

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Activit´e de math´ematiques (correction)

Ensembles de nombres

1 (Ir)rationalit´e et Op´erations

1. Soientx=p

qety=mndeux nombres rationnels. Alorsx+y=pn+mqqnest un nombre rationnel.

2. Soitx=p

qun nombre rationnel etyun nombre irrationnel. La sommex+yne peut pas

ˆetre un nombre rationnelx+y=m

ncar sinony=mn-x=mn-pqserait un nombre rationnel d"apr`es la question pr´ec´edente. La sommex+yest donc un nombre irrationnel.

3. La somme de deux nombres irrationnels n"est pas forc´ement un nombre irrationnel comme

le montre l"exemple suivant : Soientx=-⎷

2 qui est un nombre irrationnel ety= 1+⎷2

qui est aussi un nombre irrationnel d"apr`es la question pr´ec´edente, alorsx+y= (-⎷ 2)+ (1 +⎷

2) = 1 est un nombre rationnel.

4. On montre de la mˆeme fa¸con que le produit de deux nombres rationnels est un nombre

rationnel et que le produit d"un nombre rationnel par un nombre irrationnel est un nombre irrationnel. En revanche, le produit de deux nombres irrationnels n"est pas forc´ement irrationnel comme le montre l"exemple suivant :⎷

2×⎷2 = 2.

2 Le"nombre d"or»

1. La construction est la suivante :

OIJ K L P

2. En utilisant le th´eorˆeme de Pythagore dans le triangleKILrectangle enI, on obtient

LK=⎷

5

2d"o`u :OP=OL+LP=12+⎷

5

2=1+⎷

5 2. 3. 2=?

1 +⎷

5 2? 2 =1 + 2⎷ 5 + 5

4=3 +⎷

5 2

φ+ 1 =1 +⎷

5

2+ 1 =1 +⎷

5 + 2

2=3 +⎷

5 2

Donc :

2=φ+ 1

1/2 Activit´e de math´ematiques (correction)Ensembles de nombres

4. En divisant parφ(qui est non nul d"apr`es l"´egalit´e pr´ec´edente) on obtient :

φ= 1 +1

3 Irrationalit´e de

2

1. On ´el`eve au carr´e la relation

2 =pqce qui donne 2 =p2q2d"o`u 2×q2=p2.

2. (a)

dernier chiffre dep0123456789 dernier chiffre dep20149656941 (b)dernier chiffre deq0123456789 dernier chiffre de 2×q20288202882

3. (a) Le dernier chiffre dep2= 2×q2est donc obligatoirement 0.

(b)pse termine donc par 0 etqpeut donc se terminer par 0 ou 5.

4. La fraction

p qn"est donc pas irr´eductible carpetqsont tous deux divisibles par 5.

5. On ne peut donc pas ´ecrire

2 sous la forme d"un fractionpqirr´eductible et donc⎷2 n"est

pas un nombre rationnel. 2/2quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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