[PDF] Chapitre 1 exercice 3 1. Vrai : la somme dun nombre rationnel et d

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Chapitre 1, exercice 3

1.Vrai :la somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel est irrationnelle.

Demonstration.Soientx1;x22Rtels quex1est rationnel etx2est irrationnel. Montrons que x

1+x2est un nombre irrationnel.

Raisonnons par l'absurde et supposons quex1+x2est rationnel. Il existe alorsp2Z;q2N tels que x

1+x2=pq

Puisque, par hypothese,x1est rationnel, il existep02Z;q02Ntels que x 1=p0q 0:

On a donc

x

2= (x1+x2)x1=pq

p0q

0=pq0qp0qq

0: Doncx2s'ecrit comme le quotient de deux entiers, avec l'entier au denominateur qui est non- nul (qq06= 0). C'est donc un rationnel. C'est une contradiction avec nos hypotheses (x2etait

suppose irrationnel); on a donc obtenu une absurdite.2.Faux :la somme de deux nombres irrationnels positifs est irrationnelle.

Demonstration.Pour montrer que l'armation est fausse, il sut de trouver deux nombres irrationnels positifs dont la somme est rationnelle. Posonsx1= 10p2 etx2=p2. Ce sont deux nombres irrationnels :x2est irrationnel d'apres le cours etx1= 10 + (p2) est la somme d'un rationnel et d'un irrationnel; c'est donc un nombre irrationnel d'apres la premiere question.

Ces deux nombres sont egalement positifs.

Pourtant,x1+x2= 10 doncx1+x2est un nombre rationnel.3.Vrai :la racine carree d'un nombre irrationnel positif est irrationnelle.

Demonstration.Soitx1un nombre irrationnel positif. Montrons que sa racine carree est irrationnelle.

On raisonne par l'absurde et on suppose quepx

12Q. Alors il existep2Z;q2Ntels que

px 1=pq

En elevant au carre, on obtient :

x 1=p2q 2: Doncx1s'ecrit comme un quotient d'entiers, dont le denominateur est non-nul. Doncx1est rationnel. C'est en contradiction avec nos hypotheses.1quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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