[PDF] ANNEXES Travaux Académiques Mutualisés 2012-2013

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ANNEXES

Travaux Académiques Mutualisés 2012-2013

Développer des compétences calculatoires afin de résoudre de manière autonome des problèmes et développer l'intelligence de calcul Production d'un Ġlğǀe de 3ème du Collège Jean Le Toullec. Document rédigé par le groupe académique de la Réunion, composé de :

Matthieu Bober - collège Jean Le Toullec

Sophie Fur-Desoutter - lycée Jean Hinglo

David Michel - lycée Bellepierre

Thierry Nourigat - lycée professionnel Jean Hinglo

Terrence Vellard - lycée Jean Hinglo - IATICE

Sous la coordination de Philippe JANVIER, IA-IPR de mathématiques

INSPECTION PEDAGOGIQUE REGIONALE DE MATHEMATIQUES

http://maths.ac-reunion.fr/ 2

Sommaire

I. Avant-propos ................................................................................................................................... 3

II. Activités : " Vers une utilisation autonome et raisonnée des outils numériques » ........................ 3

1. Activités " fil rouge » sur le " quadrilatère tournant » ............................................................... 3

2. Activités données en devoirs à la maison ................................................................................... 7

III. Annexes du collège ...................................................................................................................... 9

1. " Une année de calcul littéral en 3ème » ....................................................................................... 9

a. Introduction ............................................................................................................................. 9

b. Contexte .................................................................................................................................. 9

c. Progression ă l'annĠe .............................................................................................................. 9

d. Explicitation complète de la progression concernant le calcul littéral ................................. 11

2. Activité : défi " factorisations » ................................................................................................. 26

a. Énoncé ................................................................................................................................... 26

b. Contexte et tableau récapitulatif .......................................................................................... 26

c. Objectifs et analyse a priori ................................................................................................... 27

d. Différentes phases du déroulement en classe ...................................................................... 28

e. Analyse a posteriori ............................................................................................................... 29

IV. Annexes du lycée ....................................................................................................................... 36

1. Activité en 2nde : " Recherche des edžtremums d'une fonction » .............................................. 36

a. Énoncé ................................................................................................................................. 36

b. Contexte et tableau récapitulatif .......................................................................................... 37

c. Objectifs et analyse a priori ................................................................................................... 39

e. Analyse a posteriori ............................................................................................................... 43

a. Énoncé ................................................................................................................................... 45

b. Contexte et tableau récapitulatif .......................................................................................... 47

c. Objectifs et analyse a priori ................................................................................................... 48

3. Activité en 2nde : " Recherche de " N » tel que la somme de 1 à N soit égale à un nombre

donné» .............................................................................................................................................. 54

a. Énoncé ................................................................................................................................... 54

b. Contexte et tableau récapitulatif .......................................................................................... 56

c. Objectifs et analyse a priori ................................................................................................... 57

d. Différentes phases du déroulement en classe ...................................................................... 60

e. Analyse a posteriori ............................................................................................................... 60

f. Séance annexe : Calcul de la somme de 1 à 100 ................................................................... 65

4. Activité en Terminale S : " Vers les dérivées des fonctions composées » ................................ 68

a. Enoncé ................................................................................................................................... 68

b. Contexte et tableau récapitulatif .......................................................................................... 70

c. Objectifs................................................................................................................................. 71

d. Analyse a posteriori ............................................................................................................... 71

e. Fiche professeur .................................................................................................................... 76

V. " Pistes de rĠfledžion sur l'apprentissage du calcul » ..................................................................... 78

1. Le Français et les Mathématiques, plus proches que jamais ! .................................................. 78

2. Des exemples génériques permettant de mieux appréhender une définition ou une propriété.

80

3. Avant le calcul littéral ͗ le calcul rĠflĠchi permettant d'apprĠhender une rğgle de calcul ....... 81

4. Les objets mathématiques de type nombre ............................................................................. 81

3

I. Avant-propos

Les annexes ci-dessous proposent des activités, des pistes de réflexions des professeurs du groupe

académique de la Réunion en lien avec la problématique TRAAM. Elles ne constituent pas un " modèle » à suivre. activités.

Le groupe académique de la Réunion

II. Activités : " Vers une utilisation autonome et raisonnée des outils numériques »

1. Activités " fil rouge » sur le " quadrilatère tournant »

Ces 3 activitĠs n'ont pas ĠtĠ faites au mġme moment de l'annĠe : cela a permis de revoir la notion de fonction pour relier une grandeur à une autre. Les ǀariations d'une fonction ont aussi été introduites.

- La 2ème activité a été faite plus tard en accompagnement personnalisé (AP). Elle a permis de

retrouver les résultats obtenus cette fois-ci avec le logiciel de calcul formel Xcas et de

résoudre le problème sous un autre angle, plus " algébrique et fonctionnel ».

- La 3ème activité a été faite en devoir à la maison (DM) lors du chapitre " fonction polynôme

du second degré ». Là encore, cela a permis de traiter le problème sous un autre angle, toutes les démonstrations pouvant ainsi se faire avec les nouveaux outils du chapitre. 4 Activité 1 : Le quadrilatère " tournant » - TD Salle informatique

Partie " technique »

™ Construction de la figure avec Géogébra (affichage ou raccourci ) avec un repère orthonormé (clic droit axe X:axe Y choisir 1:1) Pour zoomer ou dézoomer, jouer avec la mollette de la souris

Construction des points A, B, C, D

o Dans la fenêtre saisie, écrire : A=(0,0) o Faire de même pour B, C et D après avoir déterminé leurs coordonnées dans le repère.

Construction du carré ABCD

o : (segment entre deux points)

Construction des points M, N, O, P

o objet)

Pour renommer le point : clic droit sur le point

renommer o Dans la fenêtre saisie, écrire : N=(4,x(M)) (x(M) dési o Dans la fenêtre saisie, écrire : O=(4-x(M),4) o M. o eur) o o (aire) ™ Tracé de la courbe représentative (point par point) de la fonction A quadrilatère MNOP en fonction de la distance AM= x o Dans la fenêtre de saisie, écrire Aire = (x(M),poly1) : Aire est un point dont les coordonnées sont (x, A(x)) o Pour obtenir la courbe représentative de la fonction A : clic droit sur le point Aire

Activer Trace

bouger le point M

ENONCE :

ABCD est un carré de côté 4 cm.

M est un point mobile du segment [AB] tel que AM = x. On place alors les points N, O et P respectivement sur [BC], [CD], [DA] tels que :

AM = BN = CO = DP = x.

Objectif : Comment var ?

minimale ? 5

Partie " mathématique »

™ Conjectures, observations

En faisant bouger le point M répondre aux questions suivantes :

1. La distance AM = x est comprise entre quels nombres ?

2. Si on connait la valeur de AM, peut- ?

3. Quelle fonction peut-on définir ? Repérer les grandeurs mises en jeu.

4. NOP ?

5. Est-

possible ?

6. Traduire graphiquement les réponses aux questions 4 et 5

Activité 2 : Le quadrilatère " tournant » - AP Salle informatique On reprend le problème du quadrilatère " tournant » vu dans le chapitre " variations sur les fonctions » :

1. Justifier que le quadrilatère ABCD est un carré

2. du quadrilatère MNOP pour

a. AM = 1 b. AM = 2

Indication :

- Quelles figures usuelles composent la figure ? - Connais-tu les formules qui donnent leur aire ?

3. Soit la fonction A P en fonction de la distance AM= x.

Démontrer que A(x) = 16 2x(4-x)

4. Reproduire la feuille Xcas suivante

6 a. Reproduire et compléter le tableau suivant :

Ligne Explication - Interprétation

1 Explication : On a définit la fonction A :

A(x) = 16-2x*(4-x)

Interprétation : x

2 Explication :

Interprétation :

3 Explication :

Interprétation :

4 Explication :

Interprétation :

5 Explication :

Interprétation :

b. x

à 8,72.

Activité 3 : Le quadrilatère " tournant » - DM

On reprend le problème du quadrilatère " tournant » vu dans le chapitre " variations sur les

fonctions » :

Soit la fonction A x. Nous

avons déjà vu que : A(x) = 16 2x(4-x).

1. Montrer que la fonction A est une fonction polynôme du second degré.

2. :

1. a mieux adaptée pour résoudre le problème ?

2. Résoudre le problème avec les outils de ce chapitre.

7

2. Activités données en devoirs à la maison

Ce devoir à la maison a été donné au mois de janvier après avoir introduit les fonctions principales du

logiciel Xcas et après avoir vu les généralités sur les fonctions.

Il a pour but d'accompagner les Ġlğǀes ǀers une utilisation autonome du logiciel de calcul formel

afin de résoudre un problème de mathématiques dans le cadre fonctionnel.

Devoir à la maison : énoncé

Exercice1 : f(x

Partie 1 : Exercice guidé

On considère la fonction

: (2 1) (4 2)(5 7)f x x x x ( ) 0fx Voici une feuille de calcul donnée par le logiciel Xcas : f(x) en 1ère ligne (ne pas oublier le " : »)

1. Xcas affiche : " 2*x+1+ (4*x+2)*(5*x-7) »

a. Quelle(s) différence(s) observes-tu par rapport f(x) ? b. Ces deux expressions sont bien égales. Pourquoi ?

2. f(x) (Ligne 2 et 3).

a. f(x) = 0 ? b. Résoudre alors " à la main f(x) = 0

3. Retrouver " à la main » les résultats obtenus par Xcas en ligne 2 et 3.

(" à la main » signifie que vous devez faire les calculs sans les outils numériques)

Partie 2 : En autonomie

On considère la fonction :

: 8 ² 2 15f x x x ( ) 0fx en vous aidant du logiciel Xcas. Tu expliqueras soigneusement toutes les étapes de ta démarche Tu joindras avec ta copie tous tes calculs faits avec Xcas 8 Exercice 2 : Equations et inéquations Exercices techniques Vérification avec Xcas

1. Résoudre les équations suivantes " à la main » :

-8x+2=0 ; 4x-1 = 5x-2 ; (4x-2)(5x-3) = 0 ; x² +7x + 20 = 20

2. Résoudre les inéquations suivantes " à la main » :

4x-5 0 ; -7x + 3 < 0

3. Vérifier vos résultats

Le signe

se traduit sur Xcas par <= Le signe se traduit sur Xcas par <= Exercice 3 : Coût de production Utilisation de Xcas pour résoudre un problème. Tu expliqueras soigneusement toutes les étapes de ta démarche Tu joindras avec ta copie tous tes calculs faits avec Xcas l met en vente. On suppose que tous les vases fabriquées sont estime que le coût de production de x vases est modélisé par la fonction C on est :

C(x) = x²-10x+500 où x ; 60].

1. Calculer le coût de production pour 15 vases fabriqués.

2. (Indication : Reprendre la partir quadrilatère tournant »)

BONUS :

Déterminer ensuite ce coût maximal.

(Indication : Reprendre la partir approfondissement sur l quadrilatère tournant ») 9

III. Annexes du collège

1. " Une année de calcul littéral en 3ème »

a. Introduction

Cette annexe se veut comme étant un compte-rendu chronologique de ce qui a été réalisé durant

une année scolaire en classe de 3ème concernant le calcul littéral.

Plus prĠcisĠment, l'edžposĠ ǀa concerner le dĠǀeloppement, la factorisation d'edžpressions littĠrales, la

équations produits.

Les moyens d'arriǀer progressiǀement ă une maŠtrise du calcul littĠral seront ainsi dĠtaillĠs :

l'utilisation des TIC en classe ă petites touches (tableur, calcul formel aǀec le logiciel WdžMadžima), le

b. Contexte

Les travaux présentés ici concernant trois classes de 3ème générale du Collège Jean Le Toullec (LE

PORT) faisant partie du programme ECLAIR. Chaque semaine, les élèves ont deux sĠances d'1h30min

et une séance de 45 min dans leur emploi du temps, concernant les mathématiques. Les classes ont

des effectifs raisonnables (respectivement 26, 25, 21) et sont très hétérogènes, les deux classes les

plus chargées incluant quelques élèves latinistes et/ou issus de section bi-langue. La classe de

groupes, les élèves peuvent disposer de 3 à 4 ordinateurs portables. c. Progression ă l'annĠe

La progression annuelle est une progression en spirale. Les thèmes centraux durent de 1 à 2

semaines et sont listés ci-dessous. Chaque thème central est abordé de manière " classique » :

actiǀitĠs d'introduction, synthğse du cours, edžercices d'application et d'approfondissement.

Thèmes du programme Connaissances et/ou capacités

Figures planes

Configuration de Thalès (Connaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour les côtés des deux triangles déterminés par deux parallèles coupant deux droites sécantes)

Equations et inéquations du 1er

degré

Equations du premier degré (Mettre en

équation un problème, le résoudre)

Statistique

Caractéristiques de position (moyenne,

médiane), Approche de caractéristiques de dispersion (étendue), exprimer et exploiter les résultats de mesures d'une grandeur

Ecritures littérales Puissances

Figures planes

Triangle rectangle, relations

trigonométriques (définitions et calculs de longueurs et d'angles) Ecritures littérales Identités remarquables (développements)

Fonction Notion de fonction

Ecritures littérales

Factorisation (Factoriser des expressions

algébriques dans lesquelles le facteur est apparent) 10

Notion de probabilité

Notion de probabilité (Comprendre et

utiliser des notions élémentaires de probabilité, calculer des probabilités dans des contextes familiers) Grandeurs et mesures Proportionnalité, grandeurs composées, changements d'unitĠs

Configurations dans l'espace

Problèmes de sections planes de solides

(cube, parallélépipède rectangle, cylindre de révolution, cône de révolution, pyramide)

Fonction Fonction linéaire

Ecritures littérales Identités remarquables (factorisations)

Equations et inéquations du 1er

degré

Problèmes se ramenant au premier degré :

équations produits

Calculs élémentaires sur les

radicaux Racine carrĠe d'un nombre positif

Figures planes Effet d'une rĠduction ou d'un

agrandissement Nombres entiers et rationnels Nombres entiers et rationnels

Fonction Fonction affine

Configurations dans l'espace

Grandeurs et mesures

Sphğre, sections planes d'une sphğre, aire,

volume

Notion de probabilité

Notion de probabilité (Entretien des

capacités, notion d'ĠǀĠnements incompatibles, d'ĠǀĠnement contraire)

Equations et inéquations du 1er

degré Résoudre une inéquation du premier degré ; représenter ses solutions sur une droite graduée.

Figures planes Angle inscrit, angle au centre

Calculs élémentaires sur les

radicaux Produit et quotient de deux radicaux Figures planes Configuration de Thalès (utiliser un énoncé réciproque)

Equations et inéquations du 1er

degré

Problèmes du premier degré : système de

deux équations à deux inconnues

Figures planes Polygones réguliers

Statistique Quartiles

Figures planes Relations trigonométriques (cos²Â + sin²Â = 1 et tan  = sin  / cos Â) Notion de probabilité Expériences aléatoires à deux épreuves

Problèmes de synthèse

Les " apprentissages parallèles »1 ne sont pas précisés dans ce paragraphe. Dans le reste de cette

annedže, on s'intĠressera edžclusiǀement ă l'apprentissage parallğle sur le calcul littĠral afin de

apprentissages parallèles sont abordés de deux façons : soit sur un temps très court pendant la

séance (en début ou en fin), soit lors des devoirs à la maison (exercices à faire pour la séance

suivante, devoirs à rendre sur copie - ils seront appelés ici " devoirs non surveillés » en abrégé DNS,

consolider les compétences attendues (un DNS chaque semaine sauf les semaines comportant une

évaluation sommative). En dĠbut d'annĠe, un temps important rĠparti sur les premiğres semaines

est consacré à la méthode de travail ; à chaque séance, il est demandé aux élèves où ils en sont dans

leur travail à la maison, des aides sont éventuellement apportées. Lors de la restitution des DNS, des

1 Voir paragraphe II. du document de synthèse.

11

conseils sont donnés, un travail spécifique sur un exercice moins bien réussi peut être engagé avec à

d. Explicitation complète de la progression concernant le calcul littéral

™ Semaine 1

consolider rapidement en vue de permettre un bon départ en classe de 3ème. Il est également précisé

aux élèves que cette évaluation ne sera pas restituée. Concernant le calcul littéral, seule une question (technique) est posée : DĠǀelopper et rĠduire l'edžpression littĠrale suiǀante :

2 1 3 2E x x

Les élèves ont 2 min 30 s pour y répondre.

Sur les 70 élèves présents (issus des trois classes présentées plus haut), aucun ne trouve la solution

correcte, trois élèves seulement parviennent à appliquer la formule de double-distributivité (mais se

trompent ensuite dans la réduction).

parallèles sont également menés de front grâce à un devoir à réaliser à la maison et à rendre la

semaine suiǀante. L'un de ces apprentissages parallğles concerne le dĠǀeloppement d'edžpressions

suivant : Exercice 3 (Objectif : savoir développer une expression littérale simple) Développer et réduire les expressions suivantes : 43Ax
96By

2 3 5C z z

47D a a

5 2 3E b b

36F c c

Ainsi en début de séance, il est proposé des calculs similaires, la technique est retravaillée avec les

invités à installer le logiciel chez eux, il est par ailleurs présent sur le réseau pédagogique du collège.

L'intĠrġt du logiciel de calcul formel est pour l'instant double : - Permettre aux élèves de vérifier leurs calculs.

- Etre conscient des simplifications d'Ġcriture, WdžMadžima ne les intĠgrant pas, il faut alors

préciser tous les signes de multiplication.

™ Semaine 2

sens aux équations au travers de petits problèmes (mise en équation, puis résolution). Un lien est

Ġgalement fait aǀec le thğme central prĠcĠdent sur le thĠorğme de Thalğs (recherche d'une longueur

L'intĠrġt du logiciel pour l'instant reste le mġme : vérifications des calculs, prise de conscience des

signes de multiplication implicites. 12 de séances sont également mis en place. Exercice 3 (Objectif : maîtrise du calcul littéral) Développer et réduire les expressions suivantes :

62E y y

34F y y

2 5 7G y y

5 3 4H y y

Exercice 4 (Objectif : maîtrise du calcul littéral)

Soit l'edžpression

23 2 5 2 25 4 3 2 5E x x x x

1) Développer et réduire E.

2) Calculer la valeur exacte de E lorsque : a)

0x b) 1 3x

™ Semaine 3

et l'utilisation du tableur est encouragée en classe. Le lien est également fait avec les expressions

littérales, en écho aussi avec le DNS2 (dans l'exercice 4, des calculs d'edžpressions littĠrales pour des

valeurs de la variable étant proposés). L'intĠrġt du logiciel de tableur est double : - Obtenir rapidement un grand nombre de calculs.

- Travailler le lien entre calculs numériques et calcul littéral par le biais des formules sur le

tableur. La notion de variable prend son sens. lien entre calcul littéral et géométrie. Exercice 2 (Objectif : maîtrise du calcul littéral)

1) Développer et réduire les expressions suivantes.

53A x x

3 7 2B y y

3 5 2C z z

5 2 3 7D x x

12 3 3 1 5 4 2E u u u

2-a) Calculer l'edžpression B lorsque y = 2.

2-b) Calculer l'edžpression D lorsque x = -1.

Exercice 3 (Objectif : maîtrise des programmes de calcul)

Voici un programme de calcul :

" Choisis un nombre, lui ajouter 5, tripler le résultat obtenu puis lui retrancher 10, retrancher au

nombre obtenu le double du nombre choisi. »

1) Appliquer ce programme pour les nombres 2 ; 5 ; 10.

2) Ecrire une expression littérale correspondant à ce programme en appelant x le nombre choisi.

Exercice 5 (Objectif : résoudre des équations du 1er degré)

Résoudre les équations suivantes :

3 4 2 1xx

5 1 4 7yy

8 2 3 5 4 1zz

13 Exercice 6 (Objectif : calcul littéral et géométrie) Dans cet exercice, x est un nombre supérieur à 2.

On considère un rectangle VOUS tel que

27VO x

et

23VS x

1) On donne

2 7 2 3E x x

et

2 2 7 2 2 3G x x

a) Développer et réduire E. b) Développer et réduire G.quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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