[PDF] Chapitre 2 Rayonnement du corps noir

View - Download Chapitre 2 Rayonnement du corps noir

Previous PDF

Next PDF

Chapitre 2Rayonnement du corps noir2.1 Définition, propriétés du corps noir2.1.1 Processus d"interaction rayonnement-matière

transmisdiffusé réfléchi incident

émis

émis

absorbé λ=flux spectral transmisflux spectral incident=transmission

λ=flux spectral réfléchi

flux spectral incident=coefficient de réflexion

λ=flux spectral absorbé

flux spectral incident=coefficient d"absorption

Conservation du flux spectral :

λ+λ+λ= 1

2.1.2 Définition du corps noir

Lecorps noir1est un corps idéal qui, à toutes les longueurs d"onde, absorbe tout le

rayonnement incident, quelle que soit sa direction d"incidence, sans transmettre, sans réfléchir

ni diffuser :

λ() = 1

oùλest le coefficient d"absorption du rayonnement (ou absorptivité) à la longueur d"onde.

En pratique, on réalise une bonne approximation du corps noir avec une enceinte solide iso- therme fermée vide et imperméable au rayonnement; on ménageun petit orifice dans l"enceinte pour pouvoir mesurer ou utiliser le rayonnement du corps noir.

On montre que :

- le rayonnement du corps noir est indépendant de la nature etde la forme des parois; - la luminance spectrale du corps noir est uniforme (indépendante de la position du point considéré);

1. À la température ambiante, un tel corps ne réfléchit pas la lumière et n"émet pas dans le domaine visible,

il apparaît donc noir. Mais au fur et à mesure qu"il est porté àune température plus élevée, il émet d"abord

dans le rouge, puis dans tout le visible, ce qui lui donne un aspect blanc. 8

CHAPITRE 2. RAYONNEMENT DU CORPS NOIR

- le rayonnement du corps noir est non polarisé et indépendant de l"orientation par rapport

à, la normale à la surface;

- la luminance spectrale du corps noir est une fonction universelle :λne dépend que de la température absolueet de la longueur d"onde:λ=λ(). En conséquence, le rayonnement du corps noir suit la loi de Lambert et

λ()cosoùest l"angle d"émergence

λ=λdonc==fct()

2.1.3 Loi de Kirchhoff - émissivité

Considérons l"équilibre thermodynamique entre un corps noir et un corps quelconque placé dans la cavité du corps noir à température. Dans le vide, le seul processus d"échange d"énergie possible est le rayonnement et l"équi-

libre radiatif entre les deux corps s"écrit :Φémise= Φabsorbée. Si on noted5Φλetd5Φλles flux

élémentaires respectivement émis et absorbé par le corps dans le tube élémentaire de lumière

d"étendue géométriqued4et dans le domaine spectrald, l"équilibre radiatif s"écrit :????

U?

λ?d5Φλ?d5Φλ?= 0

Or ces flux élémentaires s"expriment en fonction de la luminance spectraleλdu corps quelconque et de celleλdu corps noir : d oùλest le coefficient d"absorption spectral et directionnel du corps quelconque. Si on définit l"émissivité(spectrale et directionnelle) de ce corps comme le rapport de sa luminance spectrale à celle du corps noir à la même température,

λ() =λ()λ()(2.1)

l"égalité des températures des deux corps permet d"exprimer le flux émis en fonction de la

luminance du corps noir àet d"écrire :???? U?

λ?d5Φλ?d5Φλ?=????

U? (λ?λ)λd4d= 0 ou encore, compte tenu du fait que la géométrie des corps est arbitraire,? (λ?λ)λd= 0() ou encore, compte tenu du fait que la température des corps est arbitraire,

λ() =λ()loi de Kirchhoff(2.2)

Ainsi, pour un corps quelconque, l"émissivitéspectrale et directionnelleest égale au coefficient

d"absorptionspectral et directionnel. Ne pas croire qu"il en est forcément de même entre émissi-

vité moyenne et absorption moyenne (cf.

2.2.6, p.15), sauf pour les corps gris à surface diffuse.

Dans le cas du corps noir,λ=λ= 1.

Pour un corps quelconque à la température,λ=λ?1, doncλ?λ(). À température donnée, le corps noir est celui qui émet le plus!

Un corps pour lequel émissivité et coefficient d"absorption sont indépendants de la longueur

d"onde est qualifié decorps gris.

2018-2019-v.3399/3403 9 UPMC-M1

2.2. LUMINANCE DU CORPS NOIR2.2 Luminance du corps noir2.2.1 Loi de Planck : luminances spectralesλ()etν()

λ() =d

d=225? exp?? ?1? (Wm2sr1m1)(2.3)

λ() =d

d=15? exp?2? ?1? où

1= 22et2=

et constante de Planck= 66261034Js constante de Boltzmann= 1381023JK1 vitesse de la lumière= 300108ms1

Ainsi,11191016Wm2sr1,2144102mK.

ν() =d

d=() =232? exp?? ?1? (Wm2sr1Hz1)(2.4)

2.2.2 Luminance et émittance énergétiques totales : loi de Stefan

0 ()d=? 0 ()d =2 2? 0

3dhν/kT?1où=

=2 2? 4? 0

3dx?1= 24423où=?

0

3dx?1=415

B==4où=25

15 423
est la constante de Stefan :567108Wm2K4.

B=4loi de Stefan(2.5)

UPMC-M1 10 2018-2019-v.3399/3403

CHAPITRE 2. RAYONNEMENT DU CORPS NOIR

102
104
106
108
1010
1012
1014

0.1 1 10 100 1000

Luminance spectrale en W.m-2.sr-1.m-1

longueur d'onde (micromètres)

Luminance spectrale du corps noir

6000 K

2000 K

1000 K

300 K
100 K
50 K

T=50 KT=100 K

T=300 K

T=1000 KT=2000 K

T=6000 K

loi de Wien Figure2.1 - Luminance spectrale du corps noirλ()à différentes températures

2018-2019-v.3399/3403 11 UPMC-M1

2.2. LUMINANCE DU CORPS NOIR

10810910101011101210131014

0.1 1 10 100

Luminance spectrale en W.m-2.sr-1.m-1

longueur d'onde (micromètres)Corps noir à T=5800 K

101102103104105106107

1 10 100
1000

Luminance spectrale en W.m-2.sr-1.m-1

longueur d'onde (micromètres)Corps noir à T=255 K Figure2.2 - Luminance du Soleil et de la planète Terre considérés comme corps noirs

UPMC-M1 12 2018-2019-v.3399/3403

CHAPITRE 2. RAYONNEMENT DU CORPS NOIR

2.2.3 Loi de Wien : déplacement du maximum deλ

d (1λ) d= 054?C2/λT?1??522C2/λT= 0

Si on pose=2

, l"abscisse du maximum0est définie par : x0=5 5?0 dont la solution numérique est04965(voir figure 2.3). 0 50
100
150
200
250
300
350
400

0 1 2 3 4 5 6

exp(x)5/(5-x) 120
125
130
135
140
145
150
155
160

4.9 4.91 4.92 4.93 4.94 4.95 4.96 4.97 4.98 4.99 5

exp(x)5/(5-x)

Figure2.3 - Recherche graphique de0(loi de Wien)

max= 2898µmKloi de Wien(2.6) La densité spectrale de luminance à la longueur d"ondemaxdu maximum ne dépend plus que de la température : (max) =1505

52(x0?1)=5140552x0=5où41106Wm2sr1K5m1

Application : émission solaire et terrestre

Si on considère que la Terre et le Soleil émettent comme des corps noirs :

TerreT288Kmax10µmT(max)81106Wm2sr1m1

2018-2019-v.3399/3403 13 UPMC-M1

2.2. LUMINANCE DU CORPS NOIRLe rapport des deux luminances maximalesS(max)T(max)33106est tellement

grand qu"elle ne peuvent être comparées sans tenir compte dufacteur (purement géométrique)

de dilution du flux solaire lorsqu"il est intercepté par la Terre.

2.2.4 Déplacement du maximum deν

Si on recherche la fréquence du maximum de densité spectralede luminance du corps noir, exprimée par unité de fréquence, on obtient une longueur d"ondemaxplus grande quemax. dν d= 032?hν/kT?1?=3hν/kT

Si on pose=

, l"abscisse du maximum1est définie par : x1=3 3?1 dont la solution numérique est1282. 0 20 40
60
80
100

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

exp(x)

3/(3-x)

0 5 10 15 20 25
30
35
40

2.6 2.65 2.7 2.75 2.8 2.85 2.9 2.95 3

exp(x)

3/(3-x)

Figure2.4 - Recherche graphique de1

max=2

1= 5100µmK(2.7)

Application : émission solaire et terrestre

Si on considère que la Terre et le Soleil émettent comme des corps noirs :

SoleilS5777Kmax088µm

TerreT288Kmax177µm

UPMC-M1 14 2018-2019-v.3399/3403

CHAPITRE 2. RAYONNEMENT DU CORPS NOIR

2.2.5 Formes asymptotiques de la loi de Planck

Courtes longueurs d"onde : loi de Wien

Si (i. e.), ()22 5hc kλT ()23

2hν

kT

L"écart est inférieur à 1 % siexp?

100, c"est à dire si46

3100µmK

donc cette expression approchée est utilisable jusqu"au maximum de()donné par la loi de Wien.

Grandes longueurs d"onde : loi de Rayleigh-Jeans

Si (i. e.),x?1, donc ()22 5= 24 ()23

2= 222

L"écart est inférieur à 1 % si :

x??1 001 que l"on peut traduire grossièrement par2001. Plus précisément, il faut vérifier 0018, c"est à dire : 08mK Donc le domaine de validité est restreint aux très grandes longueurs d"onde.

Exemples :

Terre= 288K 28mmondes radio

Soleil= 5777K 138µmIR lointain

2.2.6 Remarque concernant la loi de Kirchhoff

La loi de Kirchhoff établit l"égalité entre émissivité et coefficient d"absorption définis à partir

des luminances, donc de quantités dépendant à la fois de la longueur d"onde et de la direction :

() =()?1 Ne pas croire que cette relation vaut systématiquement pourles quantités moyennées, que ce soit sur la direction ou sur le spectre.

2018-2019-v.3399/3403 15 UPMC-M1

2.2. LUMINANCE DU CORPS NOIRMoyenne hémisphérique :()et()

B()=??

Ω=2π(#-Ω)cosd2Ω??

Ω=2π(#-Ω)cosd2Ω

Mais,(#-Ω)est isotrope et vaut(). Or(#-Ω) =(#-Ω) (), donc

Ω=2π(#-Ω)()cosd2Ω

Ω=2π()cosd2Ω=??

Ω=2π(#-Ω)cosd2Ω??

Ω=2πcos()d2Ω=??

Ω=2π(#-Ω)cosd2Ω

On procède de la même manière pour(), mais()est défini par référence au rayonne- mentincidentqui n"est pas forcément isotrope. Ainsi, en général, Les deux conditions suivantes sont cependant (chacune) suffisantes pour assurer l"égalité :

- la surface est diffuse donc à la fois l"émissivité et le coefficient d"absorption sont indépen-

dants de la direction; - le flux incident est isotrope.

Moyenne sur le spectre

L"émissivité globale est obtenue par moyenne sur le spectredu corps noir, alors que le coeffi-

cient d"absorption est calculé en pondérant le coefficient d"absorption spectral par l"éclairement

incident.

B=?()B()dB()=?()()d?()d

Comme la distribution spectrale de l"éclairement n"est pasen général celle du corps noir (ou

gris)à la même température que le corps qui émet,=. Les deux conditions suivantes sont cependant (chacune) suffisantes pour assurer l"égalité :

- l"éclairement est celui d"un corps noir (ou gris)à la même température que le corps qui

émet;

- le corps considéré est un corps gris :() =()sont indépendants de.

Noter enfin que l"émissivité reste une propriété intrinsèque du matériau même dans le cas

hémisphérique alors que l"absorptivité hémisphérique dépend de la répartition angulaire du

rayonnement incident. De la même façon, l"intégration sur le spectre ne fait intervenir que la

température pour l"émissivité, alors qu"elle dépend de la répartition spectrale du flux incident

pour l"absorptivité.

UPMC-M1 16 2018-2019-v.3399/3403

CHAPITRE 2. RAYONNEMENT DU CORPS NOIR

Exemple d"un corps sélectif froid

Considérons une surface diffuse : son

émissivité spectrale et son absorp-

sivité spectrale sont égales. Placée dans l"espace loin de la Terre, on peut considérer qu"elle est soumise au seul rayonnement solaire : si elle possède une émissivité grande en infra-rouge et très faible dans le domaine UV- visible et très proche infra-rouge, son

émissivité spectrale présente l"allure

suivante. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.1 1 10 100

e (l) = k(l) l (mm)émissivité

Conformément à la loi de Wien et

compte tenu des températures du So- leil et de la surface terrestre, le spectre de l"éclairement solaire et de sa propre

émission se recouvrent très peu. Donc

son coefficient d"absorption hémisphé- rique vis à vis du flux solaire est beau- coup plus faible (solaire0) que son

émissivité hémisphérique (surf.1).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.1 1 10 100

unités arbitraires l (mm)

éclairement solaire émission propre

2.3 Températures radiatives

On introduit la notion de température radiative pour caractériser le rayonnement émis par rapport à celui du corps noir, soit de façon globale, soit en fonction de la longueur d"onde.

2.3.1 Température équivalente d"émission

Pour un corps quelconque, on définit latempérature équivalente d"émission(effective en anglais) comme celle que devrait prendre le corps noir pour avoir la même émittance.équ. est donc définie implicitement par : =B(équ.)

Grâce à la loi de Stefan, on en tire :

équ.=4?

Comme l"émissivité globale est définie par : B()

oùest la température réelle du corps considéré, et comme?1,équ.?. L"égalité est

obtenue pour le corps noir.

2018-2019-v.3399/3403 17 UPMC-M1

2.3. TEMPÉRATURES RADIATIVES2.3.2 Température monochromatique de brillance

Pour un corps quelconque, et pour chaque longueur d"onde et chaque direction d"émission, on définit latempérature monochromatique de brillancecomme celle que devrait prendre

le corps noir pour avoir la même luminance spectrale.brill(#-Ω)est donc définie implicitement

par : (#-Ω) =(brill(#-Ω))

En utilisant la formule de Planck, on en tire :

brill(#-Ω)) = ln? 1 +

225(#-Ω)?

Comme le corps noir est celui qui émet le plus à une température donnée,brill(#-Ω)?. La température monochromatique de brillance permet donc decaractériser la luminancequotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

[PDF] LE RAYONNEMENT SOLAIRE

[PDF] le realisme

[PDF] le réalisme a la manier de flaubert

[PDF] Le réalisme au 19ème siècle

[PDF] le réalisme en littérature pdf

[PDF] Le réalisme et le naturalisme

[PDF] le réalisme et le naturalisme seconde

[PDF] le réalisme et maupassant

[PDF] Le Réalisme et Naturalisme

[PDF] le réalisme evaluation de fin de séquence

[PDF] le realisme exposé

[PDF] Le realisme francais

[PDF] Le réalisme, une révolution artistique La représentation du corps : Le scandale réaliste

[PDF] le recensement

[PDF] LE RECHAUFFEMENT CLIMATIQUE